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§3.2 均值不等式(二)


§3.2 【学习目标】 均值不等式(二) 1. 通过学习,进一步加深对均值不等式的理解,能灵活地用均值不等式解决有关问题. 预习案 Ⅰ.复习前知 认真研读教材 P69-73,进行基础知识梳理. 1.均值 定理:_______________________________________________________ ___ 三步口决:__________________

_____ 2.均值不等式的变形: (1)a+b≥ (3)a +b 2 2 ( ). ) ; (2)ab≤ ( ) ; ( 3.两个正数的积 为定值时,它们的和有最_____值;和为定值时,它们的积有最_____值. Ⅱ.预习自测 1. 下列结论正确的是( ) A.当 x ? 0且x ? 1 时, lg x ? C.当 x ? 2 时, x ? 1 ?2 lg x B.当 x ? 0 时, x ? 1 ?2 x 1 1 的最小值是 2 D.当 0 ? x ? 2 时, x ? 无最大值 x x 12 ? 3x 的最小值,并求取最小值时 x 满足的条件. 2.已知 x>0,求 f ? x ? ? x 3. 已知 0<x<1,求 y = x(1-x)的最大值. 探究案 【问题 1】如果有 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,? , an ,是否也可应用均值定理? a1 ? a 2 ? ? ? a n n n a1a2 ?an 【问题 2】求两个正数和的最小值时,如果积不是定值,还能应用均值定理吗? 同样,求两个正数积的最大值时,如果和不是定值,还能应用均值定理吗? 【问题 3】解决实际应用问题时,如何应用均值定理? 【探究题】 1 1.求函数 y ? x ? 3 (x> 2)的最小值及相应的 x 的值. x?2 2. 已知 0 ? x ? 1 ,求 y=x(1-2x)的最大值,及相应 x 的值. 2 3.(1)一个矩形的面积为 100m .问这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多 少? (2)已知矩形的周长为 36m.问这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少? 2 Ⅲ.当堂检测 1.求 y ? 4 ? x (x>3)的值域. x?3 2.设 a、b∈R,且 a+b=5,求 2 ? 2 的最小值. a b 2 训练案 1.已知 x、y∈R+,且 A、最小值 12 4 9 ? ? 1 ,则 xy 有( x y B、最大值 12 ). C、最小值 144 D、最大值 144 2.求函数 y ? (3 ? 2 x)(2 x ? 1) ( ? 1 3 ? x ? ) 的最大值及相应的 x 的值. 2 2 3. 求函数 y ? 2 ? 4 ? x (x>0)的最大值以及相应的 x 的值. x 4. 已知 a, b, c 是正数, 且 a ? b ? c ? 1 ,求证: ?1 ? a ??1 ? b ??1 ? c ? ? 8abc 3

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