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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章 5.3


§ 5.3

平面向量的数量积

1. 两个向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫作向量 a 与 b 的夹角. 2. 平面向量的数量积 已知两个向量 a 和 b,它们的夹角为 θ,我们把|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a· b=|

a||b|cos θ. 3. 平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos θ 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos θ 的乘积. 4. 平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e=|a|cos θ; (2)a,b,a⊥b?a· b=0; (3)|a|= a· a; a· b (4)cos θ= ; |a||b| (5)|a· b|__≤__|a||b|. 5. 平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=b· a; (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb); (3)(a+b)· c=a· c+b· c. 6. 平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2. (2)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0.

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量,而不是向量. ( √ ) )

(2)两个向量的数量积是一个实数, 向量的加、 减、 数乘运算的运算结果是向量. ( √

→ → → → → → → (3)△ABC 内有一点 O,满足OA+OB+OC=0,且OA· OB=OB· OC,则△ABC 一定是等 腰三角形. → → → → (4)在四边形 ABCD 中,AB=DC且AC· BD=0,则四边形 ABCD 为矩形. π (5)两个向量的夹角的范围是[0, ]. 2 ( √ ( × ( × ) ) )

4 (6)已知 a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是 λ<- 或 3 λ>0. 2. (2012· 陕西)设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于 A. 2 2 1 B. 2 D.-1 ( × ( ) )

C.0 答案 C

解析 利用向量垂直及倍角公式求解. a=(1,cos θ),b=(-1,2cos θ). ∵a⊥b,∴a· b=-1+2cos2θ=0, 1 ∴cos2θ= ,∴cos 2θ=2cos2θ-1=1-1=0. 2 3. 已知向量 a,b 的夹角为 60° ,且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与向量 a+2b 的夹角等于( A.150° 答案 D 解析 |a+2b|2=4+4+4a· b=8+8cos 60° =12, B.90° C.60° D.30° )

∴|a+2b|=2 3, a· (a+2b)=|a|· |a+2b|· cos θ =2×2 3cos θ=4 3cos θ, 又 a· (a+2b)=a2+2a· b=4+4cos 60° =6, ∴4 3cos θ=6,cos θ= ∴θ=30° ,故选 D. 3 ,θ?[0° ,180° ], 2

→ → → → AC· AB BC· BA 4. 在△ABC 中, =1, =2,则 AB 边的长度为 → → |AB| |BA| A.1 答案 B 解析 → AB → 表示在AB方向上的单位向量. → |AB| B.3 C.5 D.9

(

)

→ → AC· AB 设△ABC 各边分别为 a,b,c,则 =b· cos A=1, → |AB| → → BC· BA 同理, =a· cos B=2. → |BA|

由余弦定理可得

? ? a +c -b ?a· 2ac =2,
2 2 2

b2+c2-a2 b· =1, 2bc

解方程组得 c=3 或 0(舍).故选 B. 5. 已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的射影为______. 答案 65 5

a· b 解析 设 a 和 b 的夹角为 θ,|a|cos θ=|a| |a||b| = 2×?-4?+3×7 13 65 = . 2 2 = 5 65 ?-4? +7

题型一 平面向量数量积的运算 例1 → → (1)在 Rt△ABC 中,C=90° ,AC=4,则AB· AC等于 A.-16 B.-8 C.8 D.16 → → (2)(2012· 北京)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· CB的值为 → → ________;DE· DC的最大值为________. 思维启迪 → → (1)C=90° ,可选取向量CA,CB为基底表示向量或者利用数量积的几何意义; ( )

(2)建立坐标系求向量的坐标,也可利用数量积的几何意义. 答案 (1)D (2)1 1

解析

→ → → → → (1)方法一 AB· AC=(CB-CA)· (-CA)

→ → →2 =-CB· CA+CA =16. → → 方法二 ∵AB在AC方向上的射影是 AC, → → →2 ∴AB· AC=|AC| =16. (2)方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), 设 E(t,0),t?[0,1], → → 则DE=(t,-1),CB=(0,-1), → → 所以DE· CB=(t,-1)· (0,-1)=1. → → → 因为DC=(1,0),所以DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, → → 故DE· DC的最大值为 1. → → 方法二 由图知, 无论 E 点在哪个位置, DE在CB方向上的射影都是 CB =1, → → → ∴DE· CB=|CB|· 1=1, → → → → → 当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的射影最大即为 DC=1,∴(DE· DC)max=|DC|· 1=1. 思维升华 求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数 量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题,充分利用了已知条件. → → → → → → → → → 已知点 A,B,C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB· BC+BC· CA+CA· AB 的值是________. 答案 -25 解析 方法一 如右图,根据题意可得△ABC 为直角三角形, π 3 4 且 B= ,cos A= ,cos C= , 2 5 5 → → → → → → ∴AB· BC+BC· CA+CA· AB → → → → =BC· CA+CA· AB =4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A) =-20cos C-15cos A 4 3 =-20× -15× 5 5 =-25.

→ → → 方法二 易知AB+BC+CA=0, 将其两边平方可得 → → → → → → → → → AB2+BC2+CA2+2(AB· BC+AB· CA+BC· CA)=0, → → → → → → 故AB· BC+AB· CA+BC· CA 1 → → → =- (AB2+BC2+CA2)=-25. 2 题型二 求向量的夹角与向量的模 例2 (1)(2012· 课标全国)已知向量 a, b 夹角为 45° , 且|a|=1, |2a-b|= 10, 则|b|=________. → → → → → → → (2)(2013· 山东)已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若 A P =λAB+AC, → → 且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. 思维启迪 利用数量积的定义 a· b=|a|· |b|cos θ. 答案 解析 (1)3 2 7 (2) 12

(1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解.

∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = |2a-b|2=4-4× 2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2

→ → → → (2)由AP⊥BC知AP· BC=0, → → → → → → 即AP· BC=(λAB+AC)· (AC-AB) → → → → =(λ-1)AB· AC-λA B 2+AC2 1 7 - ?-λ×9+4=0,解得 λ= . =(λ-1)×3×2×? ? 2? 12 思维升华 (1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其

对|a|= a· a要引起足够重视,它是求距离常用的公式. (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律, 达到简化运算的目的. (1)已知向量 a、b 满足|a|=1,|b|=4,且 a· b=2,则 a 与 b 的夹角为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 ( ) )

(2)已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于 A.1 答案 B. 2 (1)C (2)C C.2 D.4

解析

π a· b 1 (1)∵cos〈a,b〉= = ,∴〈a,b〉= . |a||b| 2 3

(2)|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4-4×1+4=4, ∴|a+2b|=2. 题型三 数量积的综合应用 例3 已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sin B, sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 思维启迪 (1)由 m∥n 可得△ABC 的边角关系, 再利用正弦定理边角互化即可证得结论;

(2)由 m⊥p 得 a、b 关系,再利用余弦定理得 ab,代入面积公式. (1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B, a b 即 a· =b· ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, 2R 2R ∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意可知 m· p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0.

∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0, ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S= absin C= ×4×sin = 3. 2 2 3 思维升华 以向量为载体考查三角形问题时,要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的 应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法. (2013· 江苏)已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. (1)证明 由|a-b|= 2,即(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=2,整理得 cos αcos β +sin αsin β=0, 即 a· b=0,因此 a⊥b. (2)解
? ?cos α+cos β=0 由已知条件? , ?sin α+sin β=1 ?

又 0<β<α<π,

cos β=-cos α=cos(π-α),则 β=π-α, sin α+sin(π-α)=1, 1 π 5π sin α= ,α= 或 α= , 2 6 6 π 5π 当 α= 时,β= (舍去), 6 6 5π π 当 α= 时,β= . 6 6

三审图形抓特点

→ 典例: (5 分)如图所示, 把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, 若AD → → =xAB+yAC,则 x=________,y=________.

图形有一副三角板构成 ↓(注意一副三角板的特点) 令|AB|=1,|AC|=1 ↓(一副三角板的两斜边等长) |DE|=|BC|= 2 ↓(非等腰三角板的特点) |BD|=|DE|sin 60° = 2× 3 6 = 2 2

↓(注意∠ABD=45° +90° =135° ) → → AD在AB上的射影即为 x ↓x=|AB|+|BD|cos 45° =1+ → → ↓AD在AC上的射影即为 y ↓y=|BD|· sin 45° = 6 2 3 × = . 2 2 2 6 2 3 × =1+ 2 2 2

→ → → → → 解析 方法一 结合图形特点,设向量AB,AC为单位向量,由AD=xAB+yAC知,x,y → → → 分别为AD在AB,AC上的射影.又|BC|=|DE|= 2, 6 → → ∴|BD|=|DE|· sin 60° = . 2

→ → ∴AD在AB上的射影 x=1+ 6 6 2 3 cos 45° =1+ × =1+ , 2 2 2 2

6 3 → → AD在AC上的射影 y= sin 45° = . 2 2 → → → → → → 方法二 ∵AD=xAB+yAC,又AD=AB+BD, → → → → ∴AB+BD=xAB+yAC, → → → ∴BD=(x-1)AB+yAC. → → → → → 又AC⊥AB,∴BD· AB=(x-1)AB2. → → → 设|AB|=1,则由题意|DE|=|BC|= 2. 6 → → → 又∠BED=60° ,∴|BD|= .显然BD与AB的夹角为 45° . 2 → → → ∴由BD· AB=(x-1)AB2, 得 6 ×1×cos 45° =(x-1)×12. 2 3 +1. 2

∴x=

3 → → → 同理,在BD=(x-1)AB+yAC两边取数量积可得 y= . 2 答案 1+ 温馨提醒 3 2 3 2

突破本题的关键是,要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成).根据图形的特

点,利用向量分解的几何意义,求解方便快捷.方法二是原试题所给答案,较方法一略 显繁杂.

方法与技巧 1. 计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有 关的不要忽略数量积几何意义的应用. 2. 求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.

失误与防范 1. (1)0 与实数 0 的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a· 0=0≠0;(2)0 的方向是任意的, 并非没有方向,0 与任何向量平行,0 与任何向量垂直. 2. a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有可能 a⊥b. 3. a· b=a· c(a≠0)不能推出 b=c,即消去律不成立.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 已知向量 a=(1,2),b=(x,-4),若 a∥b,则 a· b 等于 A.-10 C.0 答案 A 解析 由 a∥b 得 2x=-4,x=-2,故 a· b=(1,2)· (-2,-4)=-10. 2. (2012· 重庆)设 x,y?R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a +b|等于 A. 5 C.2 5 答案 B 解析 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1), ∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 3. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( 7 7? A.? ?9,3? 7 7? C.? ?3,9? 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0. ① 7 7? B.? ?-3,-9? 7 7? D.? ?-9,-3? ) B. 10 D.10 ( ) B.-6 D.6 ( )

又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0. 7 7 联立①②解得 x=- ,y=- . 9 3



→ → 4. 向量AB与向量 a=(-3,4)的夹角为 π,|AB|=10,若点 A 的坐标是(1,2),则点 B 的坐标为 ( A.(-7,8) 答案 D → 解析 ∵AB与 a=(-3,4)反向, → ∴可设AB=(3λ,-4λ),λ>0. → → 又|AB|=10,∴λ=2,∴AB=(6,-8), 又 A(1,2),∴B 点坐标为(7,-6). → → → 5. (2012· 天津)在△ABC 中,∠A=90° ,AB=1,AC=2.设点 P,Q 满足AP=λAB,AQ=(1 → → → -λ)AC,λ?R.若BQ· CP=-2,则 λ 等于 1 A. 3 答案 B → → → → → 解析 BQ=AQ-AB=(1-λ)AC-AB, → → → → → CP=AP-AC=λAB-AC, 2 → → → → BQ· CP=(λ-1)AC2-λAB2=4(λ-1)-λ=3λ-4=-2,即 λ= . 3 二、填空题 6. (2012· 安徽)设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________. 答案 2 2 B. 3 4 C. 3 D.2 ( ) B.(9,-4) C.(-5,10) D.(7,-6) )

解析 利用向量数量积的坐标运算求解. a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=- .∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 2 → → 7. (2013· 课标全国Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点, 则AE· BD=________. 答案 2 → → → → → → 解析 由题意知:AE· BD=(AD+DE)· (AD-AB) → 1→ → → =(AD+ AB)· (AD-AB) 2

→ 1 → → 1→2 =AD2- AD· AB- AB =4-0-2=2. 2 2 8. 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是____________. 答案 3? (-∞,-6)∪? ?-6,2?

3 解析 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ< ,由 a∥b 得: 2 3 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ< ,且 λ≠-6. 2 三、解答题 π 9. 已知向量 a=(4,5cos α),b=(3,-4tan α),α?(0, ),a⊥b,求: 2 (1)|a+b|; π (2)cos(α+ )的值. 4 解 (1)因为 a⊥b,所以 a· b=4×3+5cos α×(-4tan α)=0,

3 解得 sin α= . 5 π 又因为 α?(0, ), 2 4 sin α 3 所以 cos α= ,tan α= = , 5 cos α 4 所以 a+b=(7,1), 因此|a+b|= 72+12=5 2. π π π (2)cos(α+ )=cos αcos -sin αsin 4 4 4 4 2 3 2 2 = × - × = . 5 2 5 2 10 10.已知△ABC 的内角为 A、B、C,其对边分别为 a、b、c,B 为锐角,向量 m=(2sin B, B - 3),n=(cos 2B,2cos2 -1),且 m∥n. 2 (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值. 解 B (1)m∥n?2sin B· (2cos2 -1)+ 3cos 2B=0 2

π ?sin 2B+ 3cos 2B=0?2sin(2B+ )=0(B 为锐角) 3 2π π ?2B= ?B= . 3 3 a2+c2-b2 (2)cos B= ?ac=a2+c2-4≥2ac-4?ac≤4. 2ac

1 1 3 S△ABC= a· c· sin B≤ ×4× = 3. 2 2 2 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) → → → → → → → 1. △ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2,OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,则CA在CB方向 上的射影为 A.1 答案 C → → → 解析 如图,设 D 为 BC 的中点,由OA+AB+AC=0, → → 得AO=2AD, → → ∴A、O、D 共线且|AO|=2|AD|, 又 O 为△ABC 的外心, ∴AO 为 BC 的中垂线, → → → → ∴|AC|=|AB|=|OA|=2,|AD|=1, → → → ∴|CD|= 3,∴CA在CB方向上的射影为 3. 2. (2013· 湖南)已知 a,b 是单位向量,a· b=0,若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围 是 A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1] 答案 A 解析 ∵a· b=0,且 a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1. 又∵|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1, ∴2c· (a+b)=c2+1. ∵|a|=|b|=1 且 a· b=0,∴|a+b|= 2, ∴c2+1=2 2|c|cos θ(θ 是 c 与 a+b 的夹角). 又-1≤cos θ≤1,∴0<c2+1≤2 2|c|, ∴c2-2 2|c|+1≤0, ∴ 2-1≤|c|≤ 2+1. → → → 3. 如图所示, 在平面四边形 ABCD 中, 若 AC=3, BD=2, 则(AB+DC)· (AC → +BD)=________. 答案 5 B.[ 2-1, 2+2] D.[1, 2+2] ( ) B.2 C. 3 D.3 ( )

→ → → → → → 解析 由于AB=AC+CB,DC=DB+BC, → → → → → → 所以AB+DC=AC+CB+DB+BC → → =AC-BD. → → → → → → → → (AB+DC)· (AC+BD)=(AC-BD)· (AC+BD) → → =|AC|2-|BD|2=9-4=5. 4.已知向量 p=(2sin x, 3cos x),q=(-sin x,2sin x),函数 f(x)=p· q. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=1,c=1,ab=2 3,且 a>b,求 a,b 的值. 解 (1)f(x)=-2sin2x+2 3sin xcos x

=-1+cos 2x+2 3sin xcos x π = 3sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+ )-1. 6 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k?Z, 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k?Z, 3 6 π π? ∴f(x)的单调增区间是? ?kπ-3,kπ+6?(k?Z). π (2)∵f(C)=2sin(2C+ )-1=1, 6 π ∴sin(2C+ )=1, 6 π π π ∵C 是三角形的内角,∴2C+ = ,即 C= . 6 2 6 a2+b2-c2 3 ∴cos C= = ,即 a2+b2=7. 2ab 2 12 将 ab=2 3代入可得 a2+ 2 =7, a 解得 a2=3 或 4. ∴a= 3或 2,∴b=2 或 3. ∵a>b,∴a=2,b= 3. 5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2),又点 A(8,0),B(n,t), π C(ksin θ,t)(0≤θ≤ ). 2 → → → → (1)若AB⊥a,且|AB|= 5|OA|,求向量OB;

→ → → (2)若向量AC与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求OA· OC. 解 → (1)由题设知AB=(n-8,t),

→ ∵AB⊥a,∴8-n+2t=0. → → 又∵ 5|OA|=|AB|, ∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得 t=± 8. 当 t=8 时,n=24;t=-8 时,n=-8, → → ∴OB=(24,8),或OB=(-8,-8). → (2)由题设知AC=(ksin θ-8,t), → ∵AC与 a 共线,∴t=-2ksin θ+16, 4 32 tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ- )2+ . k k 4 ∵k>4,∴1> >0, k 4 32 ∴当 sin θ= 时,tsin θ 取得最大值 . k k 由 32 π → =4,得 k=8,此时 θ= ,OC=(4,8). k 6

→ → ∴OA· OC=(8,0)· (4,8)=32.


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