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函数与方程及函数的应用练习


函数与方程及函数的应用 1.如图为 4 个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是( )

A.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x C.①y=x2,②y=x3,③y=x2,④y=x
1 1 1 1 2

1

1

-1

-1 -1

D.①y=x3,②y=x2,③y=x2,④y=x 1 x>0, ? ?log2x, 2.(2013· 宁夏质检)设函数 f(x)=?log (-x),x<0.若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范


? ?

1 2

围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 3 . 设 函 数 y = f(x) 在 R 上 有 意 义 , 对 于 给 定 的 正 数 M , 定 义 函 数 fM(x) = ? f ( x ),f(x)≤M ? ? , 则称函数 fM(x)为 f(x)的“孪生函数”. 若给定函数 f(x)=2-x2, M=1, ?M, f(x)>M ? 则 fM(0)的值为( ) A.2 B .1 C. 2 D.- 2 x ? ?a·2 ,x≤0, 4.(2013· 哈尔滨第一次联合模拟考试)已知函数 f(x)=?log x,x>0. 若关于 x 的方程

? ?

1 2

f(f(x))=0 有且仅有一个实数解,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(0,1) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 5.(2012· 高考江西卷)

π 如图所示,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位:m),OA 与 OB 的夹角为 ,以 A 为圆心, 6 AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 OA 延长线交于点 C.甲、乙两质点同时从点 O 出发,甲先以 速率 1(单位:m/s)沿线段 OB 行至点 B,再以速率 3(单位:m/s)沿圆弧 BDC 行至点 C 后停 止;乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至点 A 后停止.设 t 时刻甲、乙所到达的两点连线 与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0),则函数 y=S(t)的图象大致是( )

?x2+2x-3,x≤0 ? 6.函数 f(x)=? 的零点个数为________. ?-2+ln x,x>0 ?

x ? ?2 -a,x≤0 ? 7.(2013· 福建省普通高中毕业班质量检测 )若函数 f(x)= 有两个不同的零 ? ?ln x, x>0

点,则实数 a 的取值范围是________. 8. 设函数 f(x)的定义域为 D, 若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈M(M?D), 有 x+l∈D, 且 f(x+l)≥f(x),则称函数 f(x)为 M 上的 l 高调函数.现给出下列命题: 1 ①函数 f(x)=( )x 是 R 上的 1 高调函数; 2 ②函数 f(x)=sin 2x 为 R 上的π 高调函数; ③如果定义域为[-1,+∞)的函数 f(x)=x2 为[-1,+∞)上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是[2,+∞). 其中正确的命题是________.(写出所有正确命题的序号). 9.设函数 f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的零点; (2)若对任意 b∈R,函数 f(x)恒有两个不同零点,求实数 a 的取值范围.

10.(2013· 昆明质检)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价” 计费方法,具体方法:每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元;超过 4 吨而不超过 6 吨的, 超出 4 吨的部分每吨 4 元;超过 6 吨的,超出 6 吨的部分每吨 6 元. (1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系; (2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(x∈N*)如下表: 3 4 5 6 7 月用水量 x(吨) 1 3 3 3 2 频数 请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元); (3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过 12 元 的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表: 1 2 3 4 5 6 7 月用水量 x(吨) 10 20 16 16 15 13 10 频数 据此估计该地“节约用水家庭”的比例.

a 11.(2013· 湖南省五市十校高三第一次联合检测)设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- , 2 3a>2c>2b,求证: b 3 (1)a>0,且-3< <- ; a 4 (2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;

(3)设 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 2≤|x1-x2|<

57 . 4

答案: 1. 【解析】选 B.可以根据图象对应寻求函数,故选 B. ?a>0 ? 2. 【解析】选 C.由题意可得? 或 ?log2a>-log2a ? ? ?a<0, ?log (-a)>log2(-a),解得 a>1 或-1<a<0,故选 C. 3. 【解析】选 B.由题意,令 f(x)=2-x2=1,得 x=± 1,因此当 x≤-1 或 x≥1 时,fM(x) =2-x2;当-1<x<1 时,fM(x)=1,所以 fM(0)=1,故选 B. 4. 【解析】选 B.若 a=0,当 x≤0 时,f(x)=0,故 f(f(x))=f(0)=0 有无数解,不符合题 意,故 a≠0.显然当 x≤0 时,a· 2x≠0,故 f(x)=0 的根为 1,从而 f(f(x))=0 有唯一根,即为 1 f(x)=1 有唯一根.而 x>0 时,f(x)=1 有唯一根 ,故 a· 2x=1 在(-∞,0]上无根,当 a· 2x=1 2 1 在(-∞,0]上有根可得 a= x≥1,故由 a· 2x=1 在(-∞,0]上无根可知 a<0 或 0<a<1. 2 5. 【解析】选 A.由题意知,当 0<t≤1 时,甲从 O 向 B 移动,乙从 O 向 A 移动,则 t 时刻,|OB|=t,|OA|=2t, π 1 1 此时 S(t)= ·|OB|·|OA|sin = t2, 2 6 2 此段图象为抛物线; 当 t>1 时,设圆弧半径为 r, 甲从 B 沿圆弧移动到 C 后停止,乙在 A 点不动, π 1 1 则此时 S(t)= ×1×2·sin + ·r·3(t-1) 2 6 2 3r 1-3r = t+ ,此段图象为直线, 2 2 当甲移动至 C 点后,甲、乙均不再移动,面积不再增加,选项 B 中开始一段函数图象 不对,选项 C 中后两段图象不对,选项 D 中前两段函数图象不对,故选 A. 6. 【解析】当 x≤0 时,令 x2+2x-3=0,解得 x=-3;当 x>0 时,令-2+ln x=0, 解得 x=e2,所以已知函数有两个零点. 【答案】2 7. 【解析】当 x>0 时,由 f(x)=ln x=0,得 x=1.因为函数 f(x)有两个不同的零点,则当 x≤0 时, 函数 f(x)=2x-a 有一个零点, 令 f(x)=0 得 a=2x, 因为 0<2x≤20=1, 所以 0<a≤1, 所以实数 a 的取值范围是 0<a≤1. 【答案】(0,1] 8. 【解析】对于①,∵x∈R,∴x+1∈R. 1 又 f(x)=( )x 在 R 上是减函数, 2

? ?

1 2

1 + 1 ∴( )x 1<( )x,即 f(x+1)<f(x). 2 2 ∴①错. 对于②,∵x∈R,∴x+π ∈R. ∴f(x+π )=sin 2(x+π )=sin 2x=f(x). ∴②正确. 对于③,∵f(x)=x2 为[-1,+∞)上的 m 高调函数, ∴f(x+m)≥f(x)即(x+m)2≥x2, ∴2mx+m2≥0 对于 x∈[-1,+∞)恒成立. ?m>0 ?m<0 ? ? ∴? 或? . ?m≥(-2x)max ? ?m≤(-2x)min ? ∴m≥2,即③正确. ∴正确命题是②③. 【答案】②③ 9. 【解】(1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x2-2x-3, 令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1. ∴函数 f(x)的零点为 3 和-1. (2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0 有两个不同实根. ∴b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0,所以 0<a<1. 因此实数 a 的取值范围是(0,1). ?2x,0≤x≤4, 10. 【解】(1)y 关于 x 的函数关系式为 y=?4x-8,4<x≤6,

?

? ?6x-20,x>6.

(2)由(1)知:当 x=3 时,y=6; 当 x=4 时,y=8;当 x=5 时,y=12; 当 x=6 时,y=16;当 x=7 时,y=22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 1 (6×1 + 8×3 + 12×3 + 16×3 + 12

22×2)≈13(元). (3)由(1)和题意知:当 y≤12 时,x≤5, 77 所以“节约用水家庭”的频率为 =77%. 100 据此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%. a 11. 【证明】(1)由已知得 f(1)=a+b+c=- , 2 ∴3a+2b+2c=0, 又 3a>2c>2b,∴a>0,b<0. 又 2c=-3a-2b,∴3a>-3a-2b>2b, b 3 ∵a>0,∴-3< <- . a 4 (2)由已知得 f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c, a ①当 c>0 时,f(0)=c>0,f(1)=- <0. 2 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点; a ②当 c≤0 时,f(1)=- <0,f(2)=a-c>0, 2 ∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. 综上所述,函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. (3)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,

b c 3 b ∴x1+x2=- ,x1x2= =- - , a a 2 a ∴|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2 b 3 b b = (- )2-4(- - )= ( +2)2+2, a 2 a a b 3 57 ∵-3< <- ,∴ 2≤|x1-x2|< . a 4 4


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