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直线方程复习


直线与方程

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直线方程总复习

? 基本知识点:直线的倾斜角和斜率、直线的方 程、两条直线的位置关系
? 重难点:求直线方程

.两直线位置关系. 坐标法

? 重要的数学思想方法:数形结合

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知识点一:两点间的距离

与线段中点的坐标
1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ),则 1.两点间的距离: 若P 2 2 PP = ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 2 1 2 1

2.线段中点的坐标:

若P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ),则PP 1 2的中点P ( x, y )为 x1 ? x2 y1 ? y2 x? ,y? 2 2
3

知识点二:直线的方程 1、斜率和倾斜角
(1)当直线 l 与x轴相交时,x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角.(若

l平行于x轴,规定其倾斜角为零)
直线的倾斜角 ? 的取值范围为: y O

l

0 ? ? ? 180?.
?

x

(2)一条直线的倾斜角 ? 的正 切值叫做这条直线的斜率.用k表示。
K=tan

?

(? ? 900 )
4

(3)两点的斜率公式

经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 的直线的 斜率公式为:

y2 ? y1 ? y1 ? y2 ? k ? tan ? ? .? 或 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ?
5

2、直线方程归纳
名 称 已 知 条 件 标准方程 适用范围
不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线

点斜式 点P 1 ( x1,y1 )和斜率k y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 斜截式 斜率k和y轴上的截距 两点式 截距式
y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 ? 不垂直于x、y轴的直线 点P ,y1 )和点P2 ( x2,y2 ) 1 ( x1 y1 ? y2 x1 ? x2

在x轴上的截距a 在y轴上的截距b

x y ? ?1 a b

不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线

一般式 两个独立的条件

Ax ? By ? C ? 0 A、B不同时为零
6

3、特殊的直线方程
(1)平行于x轴的直线:
(2) x轴:
y=0 y=b(b≠0)

(3)平行于y轴的直线:x=a(a≠0) (4)y轴: x=0 (5)经过原点的直线:y=kx(x≠0)

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知识点三:两条直线的位置关系 平行、相交、重合
1、两条直线平行:
(1)当两条直线的斜率都为0时 (2)当两条直线的斜率都不存在时 (3)当两条直线的斜率都存在时, K1=K2且b1≠b2,则两条直线 平行,若同时b1=b2,则重合 2.两条直线相交: (1)两条直线的斜率都存在但不相等时 (2)一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在 3、两条直线垂直: (1)一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在 (2)两条直线的斜率都存在,若K1k2=-1,则两条直线垂直
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L1:y=k1x+b1 L2:Y=K2x+b2 (K1,k2均存在)

L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0
(A1、B1 , A2 、 B2 均不同时为0)

平行

K1=K2且b1≠b2

重合
相交 垂直

K1=K2且b1=b2
K1≠K2 K1k2=-1

A1B2 ? A2 B1 ? 0

A1B2 ? A2 B1 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 0
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知识点四:两条直线的交点及夹角

方程组: A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解

一组 无数解 一个 无数个

无解 零个

两条直线L1,L2的公共点 相交 直线L1,L2间的位置关系
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重合

平行

两条直线的夹角:
1、定义:我们把两条直线相交所成的最小正角叫 做这两条直线的夹角,记作θ 2、规定:当两条直线平行或重合时,两条直线的夹 角为零角 ; 因此两条直线的夹角θ的取值范围是【0,π/2]

3、已知两直线的斜率为k1,k2,它们的夹角为

,则

k1 ? k 2 tan ? ? 1 ? k1k 2
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两条直线的夹角:
1、定义:我们把两条直线相交所成的最小 正角叫做这两条直线的夹角,记作 ? 2、规定:当两条直线平行或重合时,两 条直线的夹角为零角,因此两条直线的夹角的 取值范围是【0, /2] ? 3、已知两直线的斜率为k1,k2,它们的夹角 为 ? ,则

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关于距离的公式
1、两点间的距离公式
2 2 | PP | ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1 2 2 1 2 1

2,中点坐标公式:

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 ? y1 ? y 2 ? y0 ? 2 ?

3.点到直线的距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C2
A ?B
2 2
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两平行直线间的距离公式: d?

练习
1、直线9x-4y=36的纵截距为( B )
3

4 y L ? (A)9 (B)-9 (C) -4 (D ) 9 2、如图,直线的斜率分别为k1、k2、k3, L 则( A ) O (A)k1<k2<k3 (B)k3<k1<k2 x L (C)k3<k2< k1 (D)k1< k3< k2 3、过点(-2,1)在两条坐标轴上的截距绝对值相等的 直线条数有( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4、设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|, 若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( A ) (A)x+y-5=0 (B)2x-y-1=0 (C)x-2y+4=0 (D)2x+y-7=0
2

1

5、如果直线mx+y-n=0与x+my-1=0平行,则有(D ) (A)m=1 (B)m=±1 (C)m=1且n≠-1 (D)m=-1且n≠-1或者m=1且n≠1

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常见题型 ? 确定直线方程 ? 对称问题 ? 范围与最值

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.

求满足下列条件的直线方程: (1)经过点P(2,-1)且与直线2x+3y+12=0平行; 2x+3y-1=0 (2)经过点Q(-1,3)且与直线x+2y-1=0垂直; 2x-y+5=0 (3)经过点R(-2,3)且在两坐标轴上截距相等; x+y-1=0或3x+2y=0 (4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等; 4x+y-6=0或3x+2y-7=0 (5) 经过点N(-1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距 的和为零. 3x ? y ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0
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例1:过点A(3,0)作直线l ,使它被两条相交 直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好 B 被点A平分,求直线l的方程。
解法一:待定系数法 1.若直线斜率不存在; 2.若直线斜率存在; 解法二:设A、B两点坐标 O A x y

C

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(3,-6) 。 6、已知点A(5,8),B(4,1),则A点关于B点的对称点为__________
8、点 A(0,1)和B(2, 0)关于直线l对称,则l的方程为 (B ) 2x ? 4 y ? 3 ? 0 D 4x ? 2 y ? 3 ? 0 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 B、4 x ? 2 y ? 3 ? 0 C、 A、 9、光线通过点A(2,3),经直线x+y+1=0反射,其反射光线通 过点B(1,1),求入射光线和反射光线所在的直线方程。 y 10、设入射光线沿直线 A y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后, 反射光线所在的直线方程是( A ) A.x-2y-1=0 BB .x-2y+1=0 C.3x-2y+1=0 D.x+2y+3=0 x

3x-y-6=0 。 7、求直线3x-y-4=0关于点P(2,1)对称的直线l的方程为___________

A,

总结:四类对称关系。
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例5: (1)已知直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0) 为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的值范围。 (2)已知直线l的方程为y= -2x+b,且与以A(-2,3), B(3,0)为端点的线段有公共点,则直线b的值范围。 (3)两直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限, 则实数a的取值范围是( D )
A.-1<a<2 B.a>-1 C.a<2 D.a<-1或a>2

(4)下面三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0, l3:2x-3my-4=0不能构成三角形,求m的取 值集合. (5)设直线l的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1.若l不经过第 二象限,求实数a 的取值范围.
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1.一直线与两坐标轴正方向围成的三角形面积为
2个平方单位,且截距之差为3,求它的方程。 2. 已知直线L:kx-y+1+2k=0 (1)证明:直线L过定点 (2) 若直线L交x轴负半轴于A、交y轴正半轴于B, 设三角形ABC的面积为S,求S的最小值并求 此时直线L的方程。 (3)若直线不经过第四象限,求K的取值范围。 3. 已知两点A(3,0)、B(0、4)动点P(x,y) 在线段AB上运动,求xy的最大值。
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