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两异面直线所成的角


两条异面直线所成的角
海林林业局一中
[教学目的]: 1、知识目标:理解空间两异面直线所成角的定义、范围,并会作出、求出两异面直线 所成角。 2、 能力目标:培养学生的识图、作图能力、在习题讲解中,培养学生的空间想象能力 以及解决问题和分析问题的能力。 3、 情感目标:在对学生进行创造性思维培养的同时,激发学生对科学文化知识的探求 热情和逻辑清晰的辩证主义观点。 [教学重点和难点]: 教学重点:对异面直线所成角的定义的理解和应用。 教学难点:如何在实际问题中求出异面直线所成的角。 [课时安排]:共一课时 [教学过程]:

李伟

一、 新课引入
利用多媒体课件引入新课:两异面直线所成的角

二、讲授新课
(一) 、异面直线所成的角的定义 1、实验:一张纸上画有两条能相交的直线a、b(但交点在纸外) .现给你一副三角板和量角器, 限定不许拼接纸片,不许延长纸上的线段,问如何能量出a、b所成的角的大小? 2、实验:现在有两条异面直线 a、b,它们之间有一定的角度关系,你用什么方法可以度量它们 的角度。 3、异面直线所成的角的定义 已知异面直线 a、b,在空间中任取一点 O,过点 O 分别作 a′∥a,b′∥b,则 a′,b′所成 的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角. 问题 1:过点 O 引 a′∥a 和 b′∥b 的方法和依据是什么? 问题 2:由于点 O 可以任意选取,那么按此方法做出的角能有多少个?它们的大小有什么关系? 注意: (1)异面直线所成的角只和两条异面直线的位置有关,而和点 O 位置的选择无关。 (2)注意把握异面直线所成角的范围,即 0° <α≤90° (3)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。今后再说两条直

线互相垂直时,它们可能相交,也可能异面。 (二)异面直线所成角的求法

[典例剖析]:
例题 1:如图:表示正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , 求异面直线 BA1和CC1 所成的角。
A1 D1 B1 C1

D A B

C

例 2.空间四边形 ABCD 中, AD ? BC ? 2 , E , F 分别是 AB, CD 的中点, EF ? 3 , 求异面直线 AD, BC 所成的角。
B C A E D F

思路 1:取 BD 的中点 G,连结 EG、FG,则 ?EGF (或其补角) A 就是异面直线 AD,BC 所在的角。
B E

G
F

D

C

思路 2:取 AC 的中点 R,连结 ER、FR,则 ? ERF A (或其补角) 就是异面直线 AD,BC 所成的角。 E
B F C R D

思路 3:过点 D 在面 BCD 内作 DH // BC,连结 CH 、AH,则 ?ADH (或其补角)
A

就是异面直线 AD,BC 所成的角。
E B F C H D

思路 4:过 B 在面 ABD 内作 BK // AD,连结 AK、CK,则 ?KBC (或其补角) 就是异面直线 AD,BC 所成的角。

K E

A

B F C

D

解:思路 1:取 BD 中点 G ,连结 EG, FG, EF , ∵ E , F 分别是 AB, CD 的中点, ∴ EG // AD, FG // BC, ∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角(或其补角) ,

1 1 AD ? 1, FG ? BC ? 1 , 2 2 EG 2 ? FG 2 ? EF 2 1 ? ? ,∴ ?EGF ? 120? , 在 ?EGF 中, cos ?EGF ? 2 EG ? FG 2
∵ EG ?
0 0 ∵两异面直线所成角的范围是: 0 , 90 ? ?

?

∴异面直线 AD, BC 所成的角为 60 .

?

(三)[课堂练习]
在空间四边形 ABCD 中, BD ? 4 , AC ? 6 ,且 AC ? BD , M , N 分别为 AB, CD 的中
A

点,求 MN 与 BD 所成角的正切值。
M D N

三、尝试回忆
1、异面直线所成角的定义 2、异面直线所成角的求法

B

C

四、板书设计
课题:9.2 两条异面直线所成的角 (一) 、两条异面直线所成角的定义 (二) 、两条异面直线所成角的求法

五、布置作业
1、课本习题 9.2 第 6、7 2、自助餐:
已知异面直线 a,b 所成的角为 50o,P 为空间一点,则过点 P 且 (1)与 a,b 所成角都是 25o 的直线有且只有_ _ _ _ _条 。 (2)与 a,b 所成角都是 30o 的直线有且只有_ _ _ _ _条 。 (3)与 a,b 所成角都是 65o 的直线有且只有_ _ _ _ _条 。 (4)与 a,b 所成角都是 70o 的直线有且只有_ _ _ _ _条 。


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