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湖北省重点高中2015届高三上学期期中联考数学(理)试题


2014 年秋季湖北省重点高中联考

高三理科数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.下列四个值中,与 cos2014 的值最接近的是 A. ?
?

3 2

B. ?

/>1 2

C.

1 2

D.

3 2

2.对于集合 S ? {x x ? 2k ? 1 ,k ?N } 和集合 T ? {x x ? a ? b,a,b ? S}, 若满足 T ? S ,则集合 T 中的运算“ ? ”可以是 A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法

3.对于定义在实数集 R 上的狄利克雷函数 D( x) ? ? 则下列说法中正确的是

?0,(x ? Q) , 1 ,( x ? Q ) ?

1] A. D ( x ) 的值域是 [0,
C. D ( x ) 是奇函数

B. D ( x ) 的最小正周期是 1 D. D ( x ) 是偶函数

4.正项等比数列{ an }的公比为 2,若 a3a11 ? 16 ,则 log2 a10 的值是 A.3 5.函数 f ( x) ? sin A. B.4 C.5 D.6

3? 8

2x 2x ? ? cos( ? ) ? 2 的图象的相邻两条对称轴之间的距离是 3 3 2 3? 3? B. C. D. 3? 4 2

6.设向量 a 、 b 、 c 是三个非零向量,若 m ?

a a

?

b b

?

c c

,则 m 的取值范围是

3] A. [0,

B.{0,1,2,3} D.{0,3}

? ?) C. [0,

7.设 ?ABC 的三边是连续的三个正整数,且最大角是最小角的 2 倍, 则 ?ABC 的最小的边长是 A.3 B.4 C.5

D.6

1] 上的解析式是 f ( x) ? x2 ,则函数 f ( x) 在 8.已知最小正周期为 2 的函数 f ( x) 在区间[ ?1,
实数集 R 上的图象与函数 y ? g ( x) ? log5 x 的图象的交点的个数是

A.3

B.4

C.5

D.6

9.设等差数列{ an }满足:

a11 ? ?1 ,且其前 n 项的和 Sn 有最大值,则当数列{ Sn }的前 n 项 a12 的和取得最大值时,此时正整数 n 的值是
A.11 B.12 C.22 D.23

10.若函数 f ( x ) ?

x ? a 与 x 轴有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围是 ex 1 1 A. ? ? a ? 0 B. a ? e e
C. ? e ? a ? 0 D. 0 ? a ?

1 e

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 1 2 11.已知函数 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? ,则 f (1) 的值是 . x
12.计算:

? ln xdx =
1

e

.

13.已知在 ?ABC 中,若 AB ? 6 , AC ? 5 ,且点 O 是 ?ABC 的外接圆的圆心, 则 AO ? BC 的值是 .

2 sin(x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 14.设函数 f ( x) ? 在实数集 R 上的最大值是 M ,最小值是 m , 2 2 x ? cos x 则 M ? m 的值为 .
, 9] ,定义 a jk ? j ? 3(k ? 1) ,如: a34 ? 3 ? 3 ? (4 ? 1) ? ?6 , 15.对于任意的正整数 j , k ?[1
对于任意不小于 2 的正整数 m , n ,设 bjn ? a j1 ? a j 2 ? a j 3 ? ??+ a jn ,

?

Smn ? b1n ? b2n ? b3n ? ??+ bmn ,则 S55 =

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 11 分)已知平面向量 a ? , b ? (? x, x ? 4) . (x, 2) (1)求 | b | 的最小值; (2)若 a ? ? b ( ? 为实数) ,求 a ? b

17.(本小题满分 12 分) 已知平面向量 a ? ( 3,2 cos x) , b ? (sin 2x, cos x) , f ( x) ? a ? b , x ? ?0, (1)求 f ( x) 的最小值; (2)求 f ( x) 的单调增区间。

? ?? 。 ? 2? ?

18.(本小题满分 12 分) 在平面四边形 ABCD 中, AD ? 1 ,CD ? 2,AB ? 3, cos?CAD ? (1)求 AC 的长;

2 7 。 7

7 (2)若 cos?BAD ? ? ,求 ?ABC 的面积。 14

A D

B

C

19.(本小题满分 12 分) 一海岛驻扎一支部队,海岛离岸边最近点 B 的距离是 150km,在岸边距离点 B300km 的 A 处有一军需品仓 库,有一批军需品要尽快送达海岛,A 与 B 之间有一铁路,现用海陆联运方式运送,火车时速为 50km, 轮船时速为 30km,试在岸边选一点 C,先将军需品用火车送到点 C,再用轮船从点 C 运到海岛,问点 C 选 在何处可使运输时间最短。

B C A

海岛

20.(本小题满分 14 分)
? 递增等比数列 ?an ? 中( n ? N ) ,已知 a5 ? 32 , a2 , a3 ,

3 a 4 成等差数列. 4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若

3? ? a n ? ? 恒成立,求实数 ? 的取值范围; an

(3)记 bn ?

an ,求证 S n ? 3 . , ?bn ?的前 n 项和为 S n ( n ? N ? ) (an ? 1) 2

21.(本小题满分 14 分)

) ? 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1

1 ? 3x ? 1 . x ?1

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调增区间; (2)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证: ln(n ? 1) ?
2

5 7 2n ? 3 ? ??? 对一切正整数 n 恒成立。 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

2014 年秋季湖北省重点高中联考高三理科数学答案
一、选择题: (共 50 分)

题号 答案

1 A

2 C

3 D

4 C

5 B
12、1; 15、 ? 75 ;

6 A

7 B

8 C
13、 ?

9 C

10 D

二、填空题: (共 25 分)
11、 ? 3 ; 14、2; 16、解: (1)易得: b ?

11 ; 2

x 2 ? ( x ? 4)2 ? 2 x 2 ? 8 x ? 16 ? 2( x ? 2)2 ? 8 ,……4 分

∴当 x ? ?2 时, b 取得最小值 2 2 .………………5 分 (2)依题意可列得: x( x ? 4) ? ?2 x ,解得: x ? 0 ,或 x ? ?6 ………………7 分 而易得: a ? b ? (2 x, ? 2 ? x) ,………………9 分 当 x ? 0 时,则 a ? b ? (0, ? 2) ;………………10 分 当 x ? ?6 时,则 a ? b ? (?12 , 4) .………………11 分 17、解: (1)易得: f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x = 3 sin 2 x ? 2 ? = 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1= 2 sin( 2 x ? 又∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? 故当 2 x ?

?
6

1 ? cos 2 x ……2 分 2

) ? 1 ,………………4 分

?

?

?
6

2

?

7? ? 时,即 x ? 时,函数 f ( x) 取得最小值 0. ………………7 分 2 6

? 7? ?[ , ] , 6 6 6
? ?

(2)由上易得:令

?

6

? 2x ?

6

?

2

,解得: 0 ? x ?

?

故所求得的函数 f ( x) 的单调递增区间是 [0 ,

? ] .………………12 分 6

6

,………………11 分

18、解: (1)在 ?ACD 中,由余弦定理可列得:

4 ? 1 ? AC 2 ? 2 ?1? AC ?

2 7 4 7 2 AC ? 3 ? 0 ,………………3 分 ,即: AC ? 7 7

解得: AC ? 7 .………………5 分 (2)由 cos?CAD ?

2 7 3 ,易得: sin ?CAD ? ,………………6 分 7 7

由 cos?BAD ? ?

7 3 3 ,易得: sin ?BAD ? ,………………7 分 14 2 7

故 sin ?CAB ? sin(?DAB ? ?CAD) ? sin ?DABcos?CAD ? cos?DABsin ?CAD

=

3 3 3 2 7 3 = ,………………10 分 ? ? (? )? 14 7 7 7 2

故 S?ABC ?

1 1 3 3 21 = .………………12 分 AB ? AC ? sin ?CAB ? ? 3 ? 7 ? 4 2 2 2

19、设点 C 与点 B 的距离为 xkm ,则运输时间

1502 ? x 2 300 ? x ? ,0 ? x ? 300???? 4分 30 50 x 1 T ' ( x) ? ? ????????? 6分 2 2 50 30 150 ? x T ( x) ?
' 令 T ( x) ? 0 , x ? 112 .5 ………………9 分

T (0) ? 11, T (300) ? 11.2, T (112.5) ? 10………………11 分
所以所选点 C 在与点 B 的距离为 112.5km 处运输时间最短………………12 分

3 2 q ,化简可得: 3q 2 ? 8q ? 4 ? 0 ,……1 分 4 2 即为: (q ? 2)(3q ? 2) ? 0 ,解得: q ? 2 ,或 q ? ,………………2 分 3
20、解: (1)依题意可列得: 2q ? 1 ? 而数列{ an }是递增数列,故 q ? 2 ,………………3 分 则 an ? a5 ? q n?5 ? 32? 2 n?5 ? 2 n .………………4 分 (2)依题意可列得:

3? ? 2 n ? ? ,即: ? (2n ? 3) ? (2n )2 , n 2

2 ①当 n ? 1 时,则易得: ? ? (?1) ? 2 ,解得: ? ? ?4 ,………………5 分

②当 n ? 2 时,则 ? ?

(2n ) 2 ,………………6 分 2n ? 3



(2n ) 2 [(2n ? 3) ? 3]2 9 ? ? (2n ? 3) ? n ? 6 ,………………7 分 n n 2 ?3 2 ?3 2 ?3
64 (2n ) 2 (2n ) 2 n ? 3 的值是 16 ;而当 时, 是 , n n 5 2 ?3 2 ?3

而易知:当 n ? 2 时, 故? ?

64 .………………8 分 5 64 综合①、②可得: ? 4 ? ? ? .………………9 分 5 2 (2)①当 n ? 1 时,则易得: S1 ? b1 ? ? 2 ? 3 ,显然成立;………………10 分 1
②当 n ? 2 时,则 bn ? 即有: bn ?

2n 2n 2n?1 ,…………11 分 ? ? (2n ? 1)2 (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 1)(2n?1 ? 1)
n

1 ,………………12 分 2 ?1 2 ?1 1 1 1 1 1 1 ? n ) ? 2 )?( 2 ? 3 ) +??+ ( n ?1 故 Sn ? 2 ? ( 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 3? n ?3, 即: S n ? 2 ? 1 ? n 2 ?1 2 ?1
n ?1

1

?

综合①、②可得:命题 Sn ? 3 得证. ………………14 分

21、 (1)函数 f ( x) 的定义域为 ?- 1, ? ?? ………………1 分

f ' ( x) ?

3x 2 ? 7 x ? 3 ? 0 ,即 3x 2 ? 7 x ? 3 ? 0 ………………2 分 2 ( x ? 1)

? - 7 ? 13 ? , ? ?? ? f ( x) 在区间为 ? ? ? ………………3 分 6 ? ?

(2) f ?( x) ?

a 1 3( x ? 1)2 ? a( x ? 1) ? 1 3x 2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 。 ? ? 3 ? ? x ? 1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

若 a ? ?2 ,则 a ? 6 ? 0 , x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。此时, f ( x) 在区间 ?0 , ? ?? 上为增函数。 ∴
x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 。 a ? ?2 符合要求。

……………… 5 分

若 a ? ?2 ,则方程 3x2 ? (a ? 6) x ? a ? 2 ? 0 有两个异号的实根,设这两个实根为 x1 , x2 , 且 x1 ? 0 ? x2 。

∴ ∴ ∴

0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 。 f ( x) 在区间 ?0 , x2 ? 上为减函数, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 。
a ? ?2 不符合要求。

? ?? 。 a 的取值范围为 ??2 ,

…………… 9 分
1 ? 3x ? 1 ………………10 分 x ?1

(3)取 a ? ?2 ,由(2)知 2 ln( x ? 1) ? 令x ?

1 k ?1 2k ? 3 即有 2 ln( ………………11 分 )? k k k (k ? 1)

2、 3、 ? n 即有 取 k ? 1、 2 5 2 ln ? 1 1? 2 3 7 2 ln ? 2 2?3 ?

2 ln

n ? 1 2n ? 3 ? n n(n ? 1) 5 7 2n ? 3 ? ??? ………………14 分 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

累加得 ln(n ? 1) 2 ?


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