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2015届高三期中考试数学(文)试题


2015 届高三文科数学期中模拟卷
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.集合 A={0,1,2} ,B={ x ?1 ? x ? 2 } ,则 A ? B ? A. {0} B. {1} C. {0,1} D. {0,1,2} )

? ?x(x+2)>0,

2. 不等式组? 的解集为( ? ?|x|<1

A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1} 3.函数 f ? x ? ? A. ?0,???

2x ? 1 定义域为 log 2 x
C. ?0,1? D. ?0,1? ? ?1,???

B. ?1,???

4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( 1 A. 6 B. 3 6 1 C. 3 D. 3 3 )

)

6. 已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)· b=( A.-1 B.0 C.1 D.2

?x ? y ? 1 ? 0 ? x?2 y 7.若实数 x, y满足? x ? y ? 0 则z ? 3 的最小值是 ?x ? 0 ?
A.0 B. 1 C.

3

D. 9

8.在△ABC 中,若 AB2 ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB, 则△ABC 是

-1-

A.等边三角形 B. 锐角三角形 9.函数 y ? 2 sin ? x ? A. x ?

C. 钝角三角形

D. 直角三角形

? ?

??
?
4

?? ? ? cos? ? x ? 图象的一条对称轴是 4? ?4 ?
C. x ?

?
8

B. x ?

?
2

D. x ? ? )

10. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( A.31 B.32C.63 D.64

11. .设 ? 、 ? 是两个不同的平面, a 、 b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中真命 题是 A.若 a / /? , b / /? , 则a / /b B.若 a / /? , b / / ? , a / /b, 则? / / ? C.若 a ? ? , b ? ? , a ? b, 则? ? ? D.若 a 、 b在平面? 内的射影互相垂直,则 a ? b 12.定义在 ?? 1,1? 上的函数 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? ;当 x ?? ?1,0? 时f ? x ? ? 0. ? ? 若 p ? f? ?? f? A.R>Q>P ( )

? x? y ?

?1? ?5?

?1? ?1? ?, Q ? f ? ?, R ? f ?0? ;则 P,Q,R 的大小关系为 ? 11? ?2?
C. P>R>Q D. Q>P>R 第Ⅱ卷

B. R>P>Q

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 设 a、b 是实数,且 a ? b ? 3, 则2 ? 2 的最小值是
a b

14. 设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}”为递增数列的

条件

15. 在△ ABC 中,已知 a,b,c 分别为∠ A ,∠ B ,∠ C 所对的边, S 为△ ABC 的面积 . 若向量 p= 4, a ? b ? c , q=
2 2 2

?

? ?

3, S 满足 p∥q,则∠C=

?

.

16.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为

.

-2-

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

18、如图,在△ ABC 中,∠B= cos∠ADC= . (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长.

,AB=8,点 D 在边 BC 上,且 CD=2,

19、已知等差数列 ?an ? 满足: a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
a

20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3, 平面 SAD⊥平面 ABCD,E 是线段 AD 上一点,AE=ED= 3 , SE⊥AD. (Ⅰ)证明:平面 SBE⊥平面 SEC; (Ⅱ)若 SE=1,求三棱锥 E-SBC 的高.

-3-

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ?x ? ? ln x ? p?x ? 1?, p ? R . (Ⅰ)当 p ? 1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)设函数 g ?x? ? xf ?x? ? p 2x 2 ? x ? 1 , ?x ? 1?, 求证:当 p ?

?

?

1 时,有 g ? x ? ? 0成立 . 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,锐角△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点. (Ⅰ)求证:四点A,I,H,E共圆; (Ⅱ)若∠C= 50 ,求∠IEH 的度数. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?
?

? x ? a ? 3t ?y ? t

, ?t为参数? .在极坐标系(与直角坐

标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

? ? 4 cos? .
(Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a ? 2 x ? 1?a ? R? . (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f ?x ? 的最大值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f ?x ? ? 0 .

-4-

期中模拟题 文科数学
? ; 3
16. 43? .

参考答案

一、选择题 1—12 CCDBB BBDBC CB 二、填空题 13.8; 14. 既不充分也不必要条件 15. 三、解答题

? sin x + 17. (Ⅰ)解:由已知,有 f ( x) = cos x 诅 ?

骣 1 ? 2 桫

3 ÷ cos x÷ ÷ ÷ 2

3 cos 2 x +

3 4

=

1 sin x ?cos x 2

3 3 cos 2 x + 2 4

=

1 3 3 sin 2 x (1 + cos 2 x) + 4 4 4 1 sin 2 x 4 3 cos 2 x 4

=

=
所以, f ( x) 的最小正周期 T =

1 骣 p sin ? 2x - ÷ ÷. ? 桫 2 ? 3÷
2p = p. 2

(Ⅱ)解:因为 f ( x) 在区间 犏 - ,-

轾p 犏4 臌

轾p p p 上是减函数,在区间 犏 , 上是增函数. 犏 12 臌12 4 骣 p÷ 1 f? ÷= . ? ? 桫 4÷ 4

骣 p÷ 1 , f? - ÷ = ? ? 桫 4÷ 4

骣p÷ 1 , f? = ÷ ? ? 桫 12 ÷ 2

所以,函数 f ( x) 在闭区间 犏 - ,

轾p p 1 1 上的最大值为 ,最小值为 . 犏 4 2 臌4 4

18、 解析: (1)在△ ABC 中,∵cos∠ADC= , ∴sin∠ADC= , × ﹣ = .

则 sin∠BAD=sin (∠ADC﹣∠B) =sin∠ADC?cosB﹣cos∠ADC?sinB=

-5-

(2)在△ ABD 中,由正弦定理得 BD=

=



在△ ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+CB2﹣2AB?BCcosB=82+52﹣2× 8× 即 AC=7 19、解: (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 则由 a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14, 得 ?

=49,

? a1 ? 4d ? 9, …………2 分 ? 2a1 ? 6d ? 14,
…………4 分

解得 ?

?a1 ? 1, ?d ? 2.

所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ?1. (II)由 an ? 2n ? 1得 bn ? 2n ?1 ? 22n?1 .

…………6 分 …………8 分

Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? …10 分

?n ?
2

2 ?1 ? 22n ? 1 ? 22

? n2 ?

22n?1 ? 2 . 3

…………12 分

20. (Ⅰ)证明: ? 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD ? 平面 ABCD ? AD ,

SE ? 平面 SAD , SE ? AD , ? SE ? 平面 ABCD . …………2 分
? BE ? 平面 ABCD, ? SE ? BE.
S

? AB ? AD , AB // CD , CD ? 3 AB =3, AE=ED= 3
??AEB ? 30 , ?CED ? 60 .
? ?

A B

G

E

D

所以 ?BEC ? 90 即 BE ? CE. …………4 分
?

F C

结合 SE ? CE ? E 得 BE⊥平面 SEC, ? BE ? 平面 SBE , ? 平面 SBE⊥平面 SEC. …………6 分 (Ⅱ)如图,作 EF⊥BC 于 F,连结 SF.由 BC⊥SE,SE 和 EF 相交得, BC⊥平面 SEF,由 BC 在平面 SBC 内,得平面 SEF⊥平面 SBC. 作 EG⊥SF 于 G, 则 EG⊥平面 SBC.即线段 EG 的长即为三棱锥 E-SBC 的高.…………9 分 由 SE=1,BE=2,CE= 2 3 得 BC=4,EF= 3 .

-6-

在 Rt ?SEF 中, EG ?

ES ? EF 3 , ? SF 2 3 .…………12 分 2

所以三棱锥 E-SBC 的高为

21.解: (I)当 p =1 时, f ( x) = ln x - x + 1 ,其定义域为 ? 0, ??? . 所以 f ?( x) ? 由 f ?( x) ?

1 ?1 . x

…………2 分

1 ?1 ? 0 得 0 ? x ? 1, x

所以 f ( x ) 的单调增区间为 ? 0,1? ;单调减区间为 ?1, ?? ? .………5 分 (II)由函数 g ( x) ? xf ( x) ? p(2 x2 ? x ?1) ? x ln x ? p( x 2 ?1) , 得 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px, 由(I)知,当 p =1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 即不等式 ln x ? x ? 1 成立. 所以当 p ? ? …………9分 …………7 分

1 时, g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px ? ( x ? 1) ? 1 ? 2 px ? (1 ? 2 p) x ? 0 , 2

即 g(x)在 ?1,??? 上单调递减, 从而 g ( x) ? g (1) ? 0 满足题意. …………12 分

22、证明: (Ⅰ)由圆 I 与边 AC 相切于点 E, 得 IE⊥AE; …………2分 结合 IH⊥AH,得 ?AEI ? ?AHI ? 90 .
?

所以,四点 A,I,H,E 共圆. …………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知四点 A,I,H,E 共圆, 得, ?IEH ? ?HAI ; …………7分 在 中, ?HIA ? ?ABI ? ?BAI ?

?HIA

1 1 1 1 1 ?B ? ?A ? (?B ? ?A) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C. 2 2 2 2 2 1 ? 结合 IH⊥AH,得 ?HAI ? 90 ? ?HIA ? ?C ; 2 1 所以 ?IEH ? ?C . 2
由 ?C ? 50 ,得, ?IEH ? 25 . …………10 分
? ?

-7-

23.解(Ⅰ)由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? ,…………2分 结合极坐标与直角坐标的互化公式 ? 得 x2 ? y 2 ? 4 x , 即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4. (Ⅱ)由直线 l 的参数方程 ? 得, x ? 3 y ? a ? 0 . 结合圆 C 与直线 l 相切,得 解得 a ? ?2或6 . …………5分

? x ? ? cos ? , ? y ? ? sin ?

? x ? a ? 3t ? (t为参数) 化为普通方程 ? ?y ? t
…………7分

2?a 1? 3

? 2,
…………10 分

?? x ? 1, ( x ? 3) ? 24.解: (Ⅰ)当 a=3 时, f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ??3 x ? 5, (1 ? x ? 3) …………3分 ? x ? 1, ( x ? 1) ?
所以,当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 2. (Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 2 x ?1 , 两边平方得: ? x ? a ? ? 4 ? x ? 1? ,
2 2

…………5分

即 3x ? 2(a ? 4) x ? 4 ? a ? 0 ,
2 2

…………7分

得 ? x ? (2 ? a) ? (3x ? (2 ? a)) ? 0 . 所以,①当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? 2 ? a, ②当 a ? 1 时,不等式的解集为 x x ? 1 ; ③当 a ? 1 时,不等式的解集为 ?

? ?

a?2? ?; 3 ?

?

?

?a?2 ? ,2? a?. ? 3 ?

…………10 分

-8-


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