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立体几何三视图问题分类



立体几何三视图问题分类
(一)由空间图形画三视图 1、(2014·江西卷)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确( )

解析 由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看,外层轮廓线是一个矩形, 矩形内部有一条线段连接的两个三角形.答案 B 2、

D 【解析】 由正视图可排除 A、B 选项,由俯视图可排除 C 选项. 3、[2011·课标全国] 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示, 则相应的侧视图可以为( )

【解析】 由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的,故侧视图选 D. 4、 (2010 广东理)6.如图 1,△ ABC 为三角形, AA? // BB? // CC ? ,

CC ?
CC ?

⊥平面 ABC 且 3 AA? =

3 BB? = CC ? =AB,则多面体△ABC - A?B?C ? 2

的正视图(也称主视图)是

【答案】D 5.(2010 北京) (5)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的 正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该 集合体的俯视图为:

答案:C 6、

7.(2008 年广东理 5)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 (或称左视图)为( )

H B

A I C

G 侧视 D E B

A C B E A.

B

B

B

E F 图1

D F 图2

E

E B. C.

E D.

8.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1、BC 的中点,则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的正投 影是(

正方体 9.如图所示,E,F 分别为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边 形 BFD1E 在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号).

解析 由正投影的定义,四边形 BFD1E 在面 AA1D1D 与面 BB1C1C 上的正投影是图③;其在面 ABB1A1 与面 DCC1D1 上的正投影是图②;其在面 ABCD 与面 A1B1C1D1 上的正投影也是②,故①④错误. 答案 ②③ 10.(2013·浙江高考文科·T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ( )

A.108cm

3

B.100cm

3

C.92cm

3

D.84cm

3

【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积. 【解析】选 B.由三视图可知原几何体如图所示,

所以 V ? VABCD? A1B1C1D1 ? VM ? A1D1N ? 6 ? 6 ? 3 ? ?

1 1 ? 3 ? 4 ? 4 ? 100 . 3 2

11. (2013·湖南)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2 的矩 形,则该正方体的正视图的面积等于( ) A.

3 2

B.1

C.

2 ?1 2

D. 2

【解题指南】根据面积关系得出,侧视图就是正方体的一个对角面,则正视图也是一个对角面 【解析】选 D,根据条件得知正视图和侧视图一样,是正方体的一个对角面,故面积相等 12、(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多 面体的各条棱中,最长的棱的长度为( A.6 2 C.6 B.4 2 D.4 )

解析 如图,设辅助正方体的棱长为 4,三视图对应的多面体为三棱锥 A-BCD,最 长的棱为 AD= (4 2) +2 =6,选 C.
2 2

13、(2014·湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2, 0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 14、(2013 全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,

以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 (

)

【解析】选 A.由题意可知,该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别在三个坐标平面内, 所以以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为选项 A 中的图.

15、(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( A.21+ 3 解析 B.18+ 3 C.21 D.18

)

(1)由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后

1 3 2 剩余的部分(如图所示),其表面积为 S=6×4- ×6+2× ×( 2) =21+ 3. 2 4 16、一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.80

解析:由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱,所以该直四棱柱的表面积为 S= 1 2× ×(2+4)×4+4×4+2×4+2× 1+16×4=48+8 17. 2 答案:C 17、(2014·辽宁卷)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.8-2π B.8-π π C.8- 2 π D.8- 4 )

1 1 3 2 直观图为棱长为 2 的正方体割去两个底面半径为 1 的 圆柱,所以该几何体的体积为 2 -2×π ×1 ×2× =8 4 4

-π .

三棱柱 17、若一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的表面积与体积 2 主视图

2 3
左视图

俯视图 18、 (2010 福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积 等于 ( ... A. 3 C. 2 3 【答案】D 【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为 2 ? 为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,选 D. 19、[2011·辽宁] 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中的俯视图如图所示,左 视图是一个矩形,则这个矩形的面积是________. B.2 D.6 )

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积 4

由俯视图知该正三棱柱的直观图为图 1-6,其中 M,N 是中点,矩形 MNC1C 为左视图. 1 2 由于体积为 2 3,所以设棱长为 a,则 ×a ×sin60°×a=2 3,解得 a=2.所以 CM= 3,故矩形 MNC1C 面 2 积为 2 3.

20、 (2010 陕西) 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是[B] (A)2 (C) (B)1 (D)

2 3

1 3

【答案】 B 解析:本题考查立体图形三视图及体积公式 如图,该立体图形为直三棱柱

2
1

2

1 所以其体积为 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 2

四棱柱 21、 (2010 天津)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为 。

【解析】由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1,结合三个试图可

? 2 ? 1=3 知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为 (1+2)
正视图和侧视图的高是几何体的高, 由俯视图可以确定几何体底面的形状, 本题也可以将几何体看作是底面 是长为 3,宽为 2,高为 1 的长方体的一半。 22、[2011·广东] 如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ) A.6 3 B.9 3 C.12 3 D.18 3 2 【解析】 由三视图知该几何体为棱柱,h= 2 -1= 3,S 底=3×3, 所以 V=9 3.

1 2

三棱锥 23、(2014·四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是(

)

A.3 C. 3

B.2 D.1

解析 由俯视图可知,三棱锥底面是边长为 2 的等边三角形.由侧视图可知,三棱锥的高为 3.故该三棱锥 1 1 的体积 V= × ×2× 3× 3=1. 3 2 答案 D 24、 (2010 湖南)图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图,则 h= cm
2

【答案】4

25、[2011·北京卷] 某四面体的三视图如图 1-3 所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( ) A.8 B.6 2 C.10 D.8 2 【解析】 由三视图可知,该四面体可以描述为 SA⊥平面 ABC,∠ABC=90°, 且 SA=AB=4,BC=3,所以四面体四个面的面积分别为 10,8,6,6 2, 从而面积最大为 10,故应选 C.

26、 (2009 宁夏海南)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm2 )为 (A) 48 ? 12 2 (C) 36 ? 12 2 (B) 48 ? 24 2 (D) 36 ? 24 2

【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=4,OD=3,由勾股定 理,得 PD=5,AB=6 2 ,全面积为: ×5+

1 1 ×6×6+2× ×6 2 2

1 ×6 2 ×4=48+12 2 ,故选.A。 2

27、 (2012 北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的 表面积是( )

A. 28 ? 6 5 C. 56 ? 12 5

B. 30 ? 6 5 D. 60 ? 12 5

从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥, 如图所示, 图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出 的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂 直 关 系 和 三 角 形 面 积 公 式 , 可 得 : S底 ? 10 , S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 , 因 此 该 几 何 体 表 面 积

S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30 ? 6 5 ,故选 B。
【答案】B 28、 (2009 辽宁)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。 则该几何体的体积为 【解析】 这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上 的高为 3, 体积等于 ×2×4×3=4 【答案】4
1 6

m3

四棱锥 29、 (2010 辽宁)如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面 体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______. 【答案】 2 3

【解析】由三视图可知,此多面体是一个底面边长为 2 的正方形且有一条长为 2 的侧棱垂直于底面的四棱锥,所 以最长棱长为 2 ? 2 ? 2 ? 2 3
2 2 2

30、 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形, 则用________ 个这样的几何体可以拼成一个棱长为 4 的正方体. [答案] 3

31、如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该 几何体体积为( )

A.4 3

B.4

C.2 3

D.2

解析:由题意知该几何体为如图所示的四棱锥,底面为菱形,且 AC=2 3, 1 1 BD=2,高 QP=3,其体积 V= ×( ×2 3×2)×3=2 3. 3 2 答案:C 32、 (2013·北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

【解析】此棱锥底面是边长为 3 的正方形,高为 1,所以体积为 ? 32 ? 1 ? 3 。 33、 、一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于 A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3

1 3

解析:由题意得,根据三视图的规则得,棱锥以俯视图为底面, 以侧视图的高为高,由于侧视图是以 2 为边长的等边三角形,所以 h ? 3 , 结合三视图中的数据,底面积为 S ? 所以几何体的体积为 V ?

1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 , 2

1 1 Sh ? ? 3 ? 3 ? 3 ,故选 A。 3 3

34、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(B)

35、已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如右图所示,其中主

视图、侧

视图是直角三角形,俯视图是有一条对角线的正方形. E 是侧棱 PC 上的动点. (Ⅰ)求证: BD ? AE (Ⅱ)若 E 为 PC 的中点,求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ)若五点 A, B, C , D, P 在同一球面上,求该球的体积.

A (1)证明:由已知 PC ? BC, PC ? DC ? PC ? 面ABCD

? BD ? 面ABCD ? BD ? PC ,又因为 BD ? AC

? BD ? 面PAC, 又? AE ? 面PAC,? BD ? AE.
? 面BED ? 面PAC, (2)连 AC 交 BD 于点 O,连 PO,由(1)知 BD ? 面PAC, 过点E作EH ? PO于H, 则 EH ? 面PBD ,??EBH 为 BE 与平面 PBD 所成的角.

1 1 2 ? EH ? , BE ? 2, 则 sin ?EBH ? 3 ? . 3 6 2
(3)解:以正方形 ABCD 为底面, PC 为高补成长方体,此时对角线 PA 的长为球的直径,

4 ? 2R ? PA ? 1 ? 1 ? 4 ? 6 , V球= ? R 3= 6 . 3

四棱台 36、 (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

A.4

B.

14 3

C.

16 3

D.6

【解析】选 B. 四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为 1, 2, 2 ,

1 1 14 V棱台 ? (S上 ? S下 ? S上 S下)h ? ( 1 ? 4 ? 1? 4) 2? . 3 3 3

圆柱、圆锥圆台 37、如图是一个几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体 的体积是( B )

4 3 ? A. 3

6 3 ? B. 6

1 ? C. 2

3 ? 3 D.

38、 (2013·陕西高考理科·T12)某几何体的三视图如图所示, 则其体积
2



.
1 1 1

【解析】立体图为半个圆锥体,底面是半径为 1 的半圆,高为 2。所以体积 V ?

1 1 ? ? ? ? ? 12 ? 2 ? 3 2 3

39、(2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是 .

【解析】 球是棱长为 2 的正方体的外接球,球直径 d ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 ,所以球表面积为 S=4π R =π d =12π .
2 2 2
2 2

40、一个几何体的三视图及其相关数据如图所示,则这个几何体的表面积为________.

这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半.根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1,下底面半径为 2, 高为 3,母线长为 2,几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和,故这个 1 1 1 1 11π 2 2 几何体的表面积为 S= π ×1 + π ×2 + π ×(1+2)×2+ ×(2+4)× 3= +3 3. 2 2 2 2 2

组合体 41、说出下列三视图表示的几何体:

42、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_____38___ ______。

43、[2011·天津] 一个几何体的三视图如图 1-4 所示(单位:m),则该几何体的体积为________ m . 【解析】 根据三视图还原成直观图,可以看出,其是由两个形状一样的, 底面长和宽都为 1,高为 2 的长方体叠加而成,故其体积 V=2×1×1+1×1×2=4.

3

44、 (2010 安徽)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是 (A)372 (C)292 (B)360 (D)280

【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的全面 积加上面长方体的 4 个侧面积之和。

S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 .

45、 (2010 天津理)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算,属于容易题。 由三视图可知,该几何体为一个底面边长为 1,高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2,高为 1 的正四棱锥组成 的组合体,因为正巳灵珠的体积为 2,正四棱锥的体积为 ? 4 ? 1 ? 46、 (2011 陕西)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ?

1 3

4 4 10 ,所以该几何体的体积 V=2+ = 3 3 3
) .

2? 3

B. 8 ?

?

C. 8 ? 2?

3 2? D. 3

【解】 由几何体的三视图可知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥体的组 合体(如图) .所以它的体积是

1 2? V ? 23 ? ? ? ? 12 ? 2 ? 8 ? .故选 A. 3 3

47、 (2012 湖北) )已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.
8π 3



B. 3π

C.

10 π 3

D. 6π

显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分, 并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体,底面圆的半径为 1, 圆柱体的高为 6,则知所求几何体体积为原体积的一半为 3π .选 B.

4 俯视 图 2 4 2 正视 图 2 侧视 图

48、 (2013·江西)一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为( A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π



【解析】选 A.由三视图知该几何体是一个组合体,上部是半圆柱, 底面半径为 3,高为 2;下部为长方体,长、宽、高分别为 10,4,5. 所以此几何体的体积为 ?? 32 ? 2 ? 10 ? 4 ? 5 = 200 ? 9? .

1 2

49、 (2013·新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( A.16+8π C.16+16π B.8+8π D.8+16π

)

【解析】选 A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,

所以体积为

1 2 ×π ×2 ×4+2×2×4=16+8π . 2

50、 (2013·辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______. 【解析】圆柱的底面半径为 2,母线长 4,其体积 V1 ? sh ? ? ? 22 ? 4 ? 16? ; 被挖去一个底面是边长为 2 的正方形,侧棱长 4 的长方体,其体积 V2 ? 22 ? 4 ? 16. 故该几何体的体积是 V ? V1 ? V2 ? 16? ?16.

51、―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为______ m3 . 【解析】 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合 体,所以其体积为: V =3 ? 6 ?1+2 ? ? ? (

4 3

3 3 ) = 18+9? m3 . 2
3 2

6

3
1

3 2 侧视图

正视图

3
俯视图


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