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2014高三数学一轮复习:3.5两角和与差的正弦、余弦、正切公式


[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦 1.主要考查利用两 角和与差的正弦、 公式. 余弦、正切公式 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差 及二倍角公式进 的正弦、正切公式. 行化简、求值, 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和 如2012年高考 的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍 T11,2011年高考 T

7. 角的正弦、余弦、正切公式,了解它们 2.考查形式有解答 的内在联系. 题和填空题.

[归纳 知识整合]

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α± β)= sin αcos β±cos αsin β cos(α± β)= cos αcos β?sin αsin β tan α± β tan 1?tan αtan β tan(α± β)=

[探究]

1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗?

若出现不适用的情况如何化简?
π 提示:在 T(α+β)与 T(α-β)中,α,β,α± 都不等于 kπ+ (k β 2 ∈Z),即保证 tan α,tan β,tan(α+β)都有意义;若 α,β 中 π 有一角是 kπ+ (k∈Z),可利用诱导公式化简. 2

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= 2sin αcos α
2 cos2α-sin2α = 2cos2α-1 = 1-2sin α cos 2α=

2tan α tan 2α= 1-tan2α

[探究]

2.二倍角余弦公式的常用变形是什么?它

有何重要应用?
提 示: 二倍 角余弦公式 的常用变 形是: cos2α= 1+cos 2α 1-cos 2α 2 ,sin α= ,这就是使用极其广泛的降 2 2 幂扩角公式.在三角恒等变换中,这两个公式可以实现 三角式的“次数”降低,利于问题的研究.

[自测 牛刀小试]
1.计算 cos 28° 17° cos -sin 28° 17° sin 的结果等于_____. 2 解析:原式=cos(28° +17° )=cos 45° = . 2 2 答案: 2 ? ?π ? 2 π? 3 2. 已知 tan?α-6 ?= , ?6+β?= , tan(α+β)的值为_____. tan 则 7 5 ? ? ? ? ?? ?? π? ?π 解析: tan(α+β)=tan??α-6 ?+?6+β?? ?? ? ? ??
3 2 + 7 5 = = =1. π π 3 2 1-tan?α- ?· tan? +β? 1- × 答案:1 6 6 7 5
? ?π ? π? tan?α-6 ?+tan?6 +β? ? ? ? ?

3 3.(2012· 苏锡常镇四市模拟)已知钝角 α 满足 cos α=- , 5 ?α π ? 则 tan?2+4 ?的值为________. ? ?
3 4 解析:因为 cos α=- ,且 α 为钝角,所以 sin α= ,即 tan α 5 5 4 α 1 = =- ,解得 tan =- 或 2.又因为 α 为钝角,所以 3 2 2 2α 1-tan 2
?α π? 1+2 α α 为锐角,故 tan =2,所以 tan?2 +4 ?= =-3. 2 2 ? ? 1-2

α 2tan 2

答案:-3

? π? 3 4.(教材习题改编)已知 cos α= ,0<α<π,则 cos?α-6 ?= 5 ? ? ________. 3 解析:∵cos α= ,0<α<π, 5

4 ∴sin α= , 5
? π? ∴cos?α-6 ?=cos ? ?

π π αcos +sin αsin 6 6

3 1 3 3 1 4 4+3 3 = cos α+ sin α= × + × = . 2 2 2 5 2 5 10

4+3 3 答案: 10

4 5.(教材习题改编)在△ABC 中,cos A= ,tan B=2,则 5 tan(2A+2B)=________.
4 3 解析:在△ABC 中,∵cos A= ,0<A<π,得 sin A= . 5 5 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 4 ∴tan 2A= tan 2B= 2tan A 24 = , 1-tan2A 7

2tan B 4 =- , 3 1-tan2B

tan 2A+tan 2B 44 ∴tan(2A+2B)= = . 1-tan 2A· 2B 117 tan

44 答案: 117

三角函数式的化简
?1+sin θ+cos [例 1] (1)化简:
? θ θ? θ??sin2-cos2? ? ?

2+2cos θ

(0<θ<π);

? 1 ? 1+cos 20° ? ? -tan 5°. (2)求值: 2sin 20° -sin 10°tan 5° ? ?

[自主解答] (1)原式 ? θ θ θ θ? 2θ?? ?2sin cos +2cos ??sin -cos ? 2 2 2 ?? 2 2? ? = 2θ 4cos 2 θ ? 2θ 2θ? cos ?sin 2-cos 2? 2? ? = ? θ? ?cos ? 2? ? θ -cos · θ cos 2 = ? . θ? ?cos ? 2? ? θ π 因为 0<θ<π,所以 0< < , 2 2 θ 所以 cos >0,所以原式=-cos θ. 2

?cos 5° sin 5° ? 2cos210° ? ? - (2)原式= -sin 10°sin 5° cos 5° 2×2sin 10° 10° cos ? ?

cos25° -sin25° cos 10° cos 10° cos 10° = -sin 10° · = -sin 10° · 2sin 10° sin 5° 5° 2sin 10° cos 1 sin 10° 2 = cos 10° - 2sin 10° 2cos 10° = cos 10° -2sin 20° = 2sin 10°

cos 10° -2sin?30° -10° ? 2sin 10° cos =
?1 10° ? cos -2 ?2 ? 3 ? 10° - sin 10° 2 3sin 10° 3 ? = = . 2sin 10° 2sin 10° 2

————— —————————————— 1.三角函数化简的原则

三角函数式的化简要遵循“三看”原则,即一看角,二 看名,三看式子结构与特征. 2.解决给角求值问题的基本思路

对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这 类问题的基本思路有: ?1?化为特殊角的三角函数值; ?2?化为正、负相消的项,消去求值; ?3?化分子、分母出现公约数进行约分求值.
—————————————————————————

1.化简下列各式:

?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? (1) ; sin 2α
sin 50° ?1+ 3tan 10° ?-cos 20° (2) cos 80° 1-cos 20°

解:(1)原式
? α α α α 2α?? 2α? ?2sin cos -2sin ??2sin cos +2sin ? 2 2 2 ?? 2 2 2? ?



α α 4sin cos cos α 2 2
? α α?? α α? α ?cos -sin ??cos +sin ?sin 2 2 ?? 2 2? 2 ?



α cos cos α 2
? ? α 2α 2α ?cos -sin ?sin 2 2? 2 ?



α cos cos α 2

α cos αsin 2 α = α =tan . 2 cos cos α 2

(2)∵sin 50° (1+ 3tan 10° ) cos 10° 3sin 10° + =sin 50° · cos 10° 2sin 40° =sin 50° · =1, cos 10° cos 80° 1-cos 20° =sin 10° 2sin2 10° 2sin210° = . sin 50° ?1+ 3tan 10° ?-cos 20° 1-cos 20° ∴ = = 2. 2 2sin 10° cos 80° 1-cos 20°

三角函数的求值问题
[例 2] ∈R,且 (2012· 广东高考)已知函数 2.
?x π? f(x)=Acos?4+6 ?,x ? ?

?π? f?3 ?= ? ?

(1)求 A 的值;

(2)设

? π? ? 4 ? 2 ? 8 30 ? α,β∈?0,2?,f?4α+3π?=- ,f?4β-3π?= , 17 ? ? ? ? ? ? 5

求 cos(α+β)的值.

π? [自主解答] (1)因为 f 3 ?= 2,所以 ? ? ? π π? π 2 ?1 Acos?4×3+6?=Acos = A= 2, ? 4 2 ? ? 所以 A=2. ?x π? ? 4π? ? ? ? (2)由(1)知 f(x)=2cos?4+ 6?,f?4α+ 3 ?= ?
? ? ? ?

? ? ? ?

π π? 30 15 2cos α+ 3 +6?=-2sin α=- ,所以 sin α= . ? 17 17 ? ? π? 8 ? 因为 α∈?0, 2 ?,所以 cos α= ; ? 17 ? ? ? ? 2π? π π? 8 ? ? ? 又因为 f?4β- 3 ?=2cos?β- 6+ 6?=2cos β= , ? 5 ? ? ? ?
? π? 4 3 ? 所以 cos β= .因为 β∈?0, 2 ?,所以 sin β= .所以 cos(α+β)=cos αcos β- ? 5 5 ? ?

? ? ? ?

sin αsin β=

8 4 15 3 13 × - × =- . 17 5 17 5 85

—————

————————————
解决三角函数的给值求值问题的方法

三角函数的给值求值, 关键是把待求角用已知角表 示:

(1)已知角为两个时, 待求角一般表示为已知角的和 或差.

(2)已知角为一个时, 待求角一般与已知角成“倍的 关系”或“互余互补”的关系.
————————————————————————

? ?α ? 2 β? π 1 2.已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3, ? ? ? ? 求 cos(α+β)的值.

π 解:∵0<β< <α<π, 2 π α π π β ∴- < -β< , <α- <π, 4 2 2 4 2
?α ? ∴cos?2-β?= ? ?

1-sin

2?α

?

? -β?= 2 ? ?

5 , 3

? β? sin?α-2?= ? ?

β? 4 5 1-cos α-2?= , 9 ? ?
2?

?

?? ?? α+β β? ?α ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? 2 ?? ? ? ?? ? ? ? ? β? ?α β? ?α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 + × = , 3 9 3 27
2α+β

∴cos(α+β)=2cos

49×5 239 -1=2× -1=- . 2 729 729

三角函数的求角问题
[例 3] 5 10 若 sin A= ,sin B= ,且 A,B 均为钝角,求 5 10

A+B 的值.

[自主解答]

5 ∵A、B 均为钝角且 sin A= ,sin B= 5

10 2 2 5 2 ,∴cos A=- 1-sin A=- =- , 10 5 5 3 3 10 cos B=- 1-sin B=- =- , 10 10
2

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B

2 5 ? 3 10? 5 10 2 ? ? =- ×?- - × = ,① 5 10 2 10 ? 5 ? ? π π 又∵ <A<π, <B<π, 2 2 ∴π<A+B<2π,② 7π 由①②知,A+B= . 4

若将“A,B均为钝角”改为“A,B均为锐角”,如何求 解? 5 10
解:∵A,B 均为锐角,且 sin A= 2 5 ∴cos A= 1-sin A= , 5
2

5

,sin B=

10



3 10 cos B= 1-sin B= , 10
2

∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 3 10 5 10 2 = × - × = . 5 10 5 10 2
? π? 又∵A,B∈?0,2 ?, ? ?

∴A+B∈(0,π), π ∴A+B= . 4

—————

————————————

1.解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值; (2)确定角的范围; (3)根据角的范围写出要求的角. 2.在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数
(1)已知正切函数值,选正切函数;
? π? (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2?, ? ?

选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为
? π π? ?- , ?,选正弦较好. ? 2 2?

——————————————————————————

1 13 π 3.已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2. (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β. 1 π 解:(1)由 cos α= ,0<α< ,得 7 2 ?1? 4 3 2 2 sin α= 1-cos α= 1-?7? = . 7 ? ? sin α 4 3 7 故 tan α= = × =4 3. cos α 7 1 2×4 3 2tan α 8 3 于是 tan 2α= = =- . 47 1-tan2α 1-?4 3?2

π π (2)由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?=
2

?13?2 3 3 1-?14? = . 14 ? ?

由 β=α-(α-β),得 cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π ∴β= . 3

? 1 组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与 倍角公式的关系

? 2 个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α=(α+β)+(α-β);2β=(α+β)-(α-β); α=(α+β)-β=(α-β)+β; α+β α-β α+β α-β α= + ,β= - ; 2 2 2 2
? α-β ? β? ?α ?α+ ?-? +β?等. = 2 ? ?2 2 ? ?

(2)互余与互补关系
?π ? ?π ? π ?π ? ?π ? π ? +α?+? -α?= ;? +α?+? -α?= ; ?4 ? ?4 ? 2 ?3 ? ?6 ? 2 ?3π ? ?π ? ?π ? ?5π ? ? -α?+? +α?=π;? +α?+? -α?=π;? ?4 ? ?4 ? ?6 ? ?6 ?

? 3 个变化——应用公式解决问题的三个变化角度

(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角, 其手法通常是“配凑” (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的 目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴
近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值

代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与
组合”、“配方与平方”等.

易误警示——三角函数求角中的易误点

[典例]

(2011· 天津高考)已知函数

? π? f(x)=tan?2x+4?. ? ?

(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设
? ?α? π? α∈?0,4 ?,若 f?2 ?=2cos ? ? ? ?

2α,求 α 的大小.

π π [解] (1)由 2x+ ≠ +kπ,k∈Z,得 4 2 π kπ x≠ + ,k∈Z, 8 2 ? ? π kπ 所以 f(x)的定义域为?x∈R|x≠ 8+ 2 ,k∈Z?. ? ? π f(x)的最小正周期为 . ? 2 π? sin?α+4 ? ?α? ? ? π ? ? (2)[法一] 由 f?2 ?=2cos 2α, tan?α+4 ?=2cos 2α, ? 得 π? ? ? ? ? cos?α+4 ?
? ?

=2(cos2α-sin2α), sin α+cos α 整理得 =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α

? π? ?0, ?,所以 sin α+cos α≠0. ∵α∈ 4? ?

1 1 ∴(cos α-sin α)2= ,即 sin 2α= . 2 2 ? ? π? π? 由 α∈?0,4 ?,得 2α∈?0,2 ?, ? ? ? ? π π ∴2α= ,即 α= . 6 12 ?α? ? π? [法二] ∵由 f?2 ?=2cos 2α,得 tan?α+4 ?=2cos 2α, ? ? ? ? ? ?π ? ?π ? π? 即 tan?α+4 ?=2sin?2+2α?=2sin2?4+α?, ? ? ? ? ? ? ? π? sin?α+4 ? ?π ? ?π ? ? ? ? +α?cos? +α?. ∴ ? =4sin 4 π? ? ? ?4 ? ?α+ ? cos 4? ?

? ? π? π? 又∵α∈?0,4 ?,∴sin?α+4 ?≠0. ? ? ? ? ?π ? ∴ ? =4cos?4+α?. π? ? ? ?α+ ? cos 4? ?

1

∴cos

2?π

?

? 1 +α?= . ?4 ? 4

? ?π π? π? π ∵α∈?0,4 ?,∴ +α∈?4, 2?. 4 ? ? ? ? ?π ? 1 π π ? +α?= , +α= . ∴cos 4 3 ? ? 2 4

π π π 即 α= - = . 3 4 12

[易误辨析]
? π? (1)解决本题易忽视“α∈?0,4?”,由 ? ?

1 sin 2α=2得出 2α

? ? π 5 π 5 2 π =6或 2α=6π, α=12或 α=12π 的错误结论或由 cos ?4+α? 即 ? ? ?π ? 1 ?π ? 1 1 ? +α?= 或 cos? +α?=- ,从而造成结论错误. =4得出 cos 4 2 ? ? 2 ?4 ?

(2)在解决三角函数中的问题时,要牢记:当求出某角的 三角函数值,如果要求这角的取值时,一定要考虑角的范围, 只有同时满足三角函数值及角的范围的角才是正确的.

[变式训练] 1.已知 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两根,若 α、
? π π? β∈?-2,2 ?,则 ? ?

α+β= ____________________.

解析:由题意得 tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4. ? π π? 所以 tan α<0,tan β<0.又 α,β∈?-2,2 ?, ? ? ? π ? 故 α,β∈?-2,0?,所以-π<α+β<0. ? ? tan α+tan β -3 3 又 tan(α+β)= = = 3. 1-tan αtan β 1-4 2π 2π 故 α+β=- . 答案:- 3 3

2.如图所示,点 B 在以 PA 为直径的圆周上, 点 C 在线段 AB 上,已知 PA=5,PB=3, 15 2 PC= 7 ,设∠APB=α,∠APC=β,α, β 均为锐角,则角 β 的值为________.

解析:(1)因为点 B 在以 PA 为直径的圆周上,所以∠ABP=90° , PB 3 4 4 所以 cos α= PA = , α= , sin 所以 tan α= .因为 cos∠CPB=cos(α 5 5 3 PB 3 7 2 2 1 -β)=PC= = ,所以 sin(α-β)= ,所以 tan(α-β)= , 10 7 15 2 10 7
? tan α-tan?α-β? π? ?0, ?,所以 tan β=tan[α-(α-β)]= =1.又 β∈ 2? 1+tan αtan?α-β? ?

π 答案: 4

π β= 4

1 2cos x-2cos x+ 2 1.化简 ?π ? ? ? 2?π 2tan?4-x?sin 4+x? ? ? ? ?
4 2

1 -2sin2xcos2x+ 2 解:原式= ?π ? ? ? 2 π 2sin?4-x?cos ?4-x? ? ? ? ? ?π ? cos?4 -x? ? ? 1 1 2 ?1-sin22x? cos 2x 2 2 1 = = ? = cos 2x. ?π ? ? 2 π π 2sin?4-x?cos? -x? sin?2-2x? 4 ? ? ? ?

2.已知

? π? 7 2 sin?α-4?= 10 ,cos ? ?

? π? 7 2α=25,求 sin α 及 tan?α+3? ? ?

的值. 解:由题设条件,应用两角差的正弦公式,

得 又

? π? sin?α-4 ?= ? ?

2 (sin α-cos α). 2 7 sin α-cos α= .① 5

? π? 7 2 sin?α-4 ?= ,所以 10 ? ?

由题设条件,应用二倍角的余弦公式,得 cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α-sin α)(cos α+sin α) 7 =- (cos α+sin α). 5

7 1 又 cos 2α= ,故 cos α+sin α=- .② 25 5 3 4 联立①②,解得 sin α= ,cos α=- , 5 5 3 因此 tan α=- . 4 由两角和的正切公式,得
? π? tan tan?α+3 ?= ? ? 1-

α+ 3 48-25 3 = . 11 3tan α

3.已知向量 a=(sin θ,-2)与 b=(1,cos θ)互相垂直,其中
? π? θ∈?0,2?. ? ?

(1)求 sin θ 和 cos θ 的值; 10 π (2)若 sin(θ-φ)= ,0<φ< ,求 cos φ 的值. 10 2 解:(1)∵a⊥b,∴sin θ-2cos θ=0,
? π? 又∵θ∈?0,2 ?,∴sin ? ?

2 5 5 θ= ,cos θ= . 5 5

10 (2)∵sin(θ-φ)= , 10

3 10 3 10 ∴cos(θ-φ)= 或- . 10 10 3 10 当 cos(θ-φ)= 时,cos φ=cos[θ-(θ-φ)] 10 5 3 10 2 5 10 2 =cos θ· cos(θ-φ)+sin θ· sin(θ-φ)= × + × = . 5 10 5 10 2 3 10 当 cos(θ-φ)=- 时,cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θ· cos(θ-φ) 10 5 3 10 2 5 10 2 +sin θ· sin(θ-φ)=- × + × =- <0. 5 10 5 10 10
? π? ∵φ∈?0,2 ?,∴cos φ<0 不合题意,舍去. ? ?

2 ∴cos φ 的值等于 . 2

1 1 4.已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α -β 的值.

tan?α-β?+tan β 解 : ∵ tan α = tan[(α - β) + β] = = 1-tan?α-β?tan β 1 1 - 2 7 1 π = >0,∴0<α< . 1 1 3 2 1+ × 2 7 1 2× 3 3 2tan α 又 tan 2α= = = >0, 1 4 1-tan2α 1- 9

π ∴0<2α< . 2 3 1 + tan 2α-tan β 4 7 此时 tan(2α-β)= = =1. 3 1 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 1 π ∵tan β=- <0,∴ <β<π. 7 2 3π 则-π<2α-β<0.∴2α-β=- . 4


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