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浅谈高一数学学习障碍及对策


浅谈高一数学学习障碍及对策 无锡市玉祁高级中学 蒋中伟 摘要:本文主要从教师角度去思考高一数学在整个中学阶段的重要性。 关键字:函数;定义域; 方程 高一新生从初中毕业后进入高中的学习,大家都有很强的学习信心和旺盛的求知欲望,都相 信自己一定能把所有的课程学好。 三年后通过高考进入一流大学深造。 但经过一些时间的学习后, 有许多学生就会感到高中课程特别是高中数学并非想象中的那么简单易学,听课好像能够听懂, 但做起题来却总是与正确答案不一致,高中数学突然变得非常抽象,深不可测。常常感到茫然一 片,不知道从何是好。这时候,渐渐地他们认为数学神秘莫测,从而产生数学学习的畏难感,甚 至动摇了学好数学的信心,有的连学习数学的兴趣也没有了。 1. 高一学生在数学中遇到的问题 (1)初高中教学内容有脱节的现象,教学要求,教学方法有强烈的反差。随着初中课改的实 施,初中教学内容在不断的要求删减,要求在不断的降低。初中教学受升学压力的影响,为了挤 出更多的时间复习迎考,挤压新课学习时间,有的删减未列入考试的内容或自认为对考试不重要 的内容,造成学生知识结构的不完整,基础知识掌握不扎实,如初中对函数和平面几何的内容就 感到学习的时间不够,学生感到困难,带着这样的阴影学生到高中碰到函数和平面几何等内容的 学习就感到恐惧,没有学就产生了畏难情绪。高中数学教学重在培养思维能力和分析问题,解决 问题的能力。强化思维的培养训练,代替了初中强化知识掌握和解决为主的培养训练,这种定位 的不同,必然提高了对学生的要求,是高一新生感到很不适应的一个重要因素。 (2)学习习惯和方法有欠缺。初中学生喜欢跟着老师转,不善于独立思考和刻苦钻研数学问 题,缺乏归纳总结能力。进入高中后,则要求学生勤于思考,勇于钻研,善于触类旁通,举一反 三,归纳探索规律,然而高一新生往往沿用初中的学习方法,不善于抓住学习中自学,阅读,复 习,小结等必要的环节,对高中学习内容缺乏必要的抽象思维能力和空间想象能力。 (3)心理准备不充分,心理承受力不强,非智力因素的干扰影响。初中学生通过升学考试跨 入高中学习,希望在高中数学学习中大显身手。而进入高中,拔尖学生相对较集中,数学成绩不 再占有绝对优势,还面临着激烈的竞争,优越感和自豪感得不到老师及时的呵护,从而丧失自信 心,自卑感增强。还有一部份学生对高中的难度没有充分的准备,加之当突然一遇到困难时,心 理承受力又不够,所以,高中学习就感到很不适应,在数学学习上出现较大障碍 (4)高中数学内容比初中数学更多,更难理解。 如:函数的概念 初中函数概念:设在变化过程中有两个变量 X 与 Y,如果对于 X 的每一个值,Y 都有唯一 的值与它对应,那么就说 X 是自变量,Y 是 X 的函数。 (老师只是简单的将定义做了一个描述。而重点是放在了对题的具体练习上) 高中函数概念:一般地,设 A,B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则 f,使对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的数 f ( x ) 和它对应,那么就称 F 为 从集合 A 到集 合 B 的一个函数,记作 f ( x ) 讲解: 注意: (i)对应关系 如:学生每人有一个座位。 (ii)函数的三要素:定义域,对应关系,值域 例题 1:判断各组函数是否表示同一函数 ① f (x) ? x , g (x) ? ( x )
2

② f (x) ?

x x

, g (x) ? x

2

★考察两个函数是否相同,关键看它们的对应关系和定义域是否一致 (ⅲ)特殊性: ①任意性 ②唯一性 ③A,B 是非空数集 如:A:R F:取倒数 B:R ,问 F:A→B 是否为函数(不仅考察 学生对函数的理解而且还考察了 0 有没有倒数即学生常犯错误) 最终归纳:一对一,多对一 (√)

一对多,有些 X 没有 Y 与之对应(×) (ⅳ)记作: y ? f ( x ) 引入: y ? g ( x ) y ? G(X ) 来表示 y 是 x 的值。 x 叫做自变量, y 的取值范围为函数的定义域
x → f ( x)

y ? F (X )

? f (x)

x ? A ? 值域

通过对比不仅可以看到,初中以“运动”为出发点定义函数,而高中以“集合”为出发点 研究函数,这一差异导致初中只要求函数的表达式和自变量的取值范围,而高中研究的范围更加 广泛:形式多样的函数表达式,定义域,值域,对应法则及抽象函数等等。而且还可以知道高中 函数概念仅仅是初中函数概念的具体化,但是所含内容却是前者的几十倍。这就使我们不能再单 纯性的只做题,对定义,定理的理解漠不关心。那样不仅效率低下,而且不易掌握。相反高中要 求对定义做详细而精确的讲解并参入具体的例题来使学生更好的理解和掌握。 2. 教师应对学生学习方法进行适当的指导,培养良好的学习习惯。主要从以下几个方面(以学 习求函数的值域为例) (1)预习。课前学生对函数的定义,定理反复阅读,体会思考,注意值域的形成和发展过程。 便于上课时带着问题听课。 (2)听课。听课方法上应指导学生正确处理好“听” “思” “记”的关系。听就是听本节课的 重点,难点,这里则要求学生听什么是值域,重点听值域的求法。且在听的同时应做好笔记。 (3)作业。求下列函数的值域。
y ? 5? x 2x ? 5

y ? x ? 4x ? 2
2

y ? x?

1? 2x

y ?

x ? 2x ?1
2

x ?1
2

y ? x ?1 ? x ?1

作业书写,做到规范化,严谨化,且要保证按质按量的完成。 (4)小结。教师的课堂小结给学生提供了一个交流的平台,同时也让学生养成总结方法的良 好习惯。 评讲作业:当函数的定义域和对应法则确定时,值域也随之确定。求函数的值域是一类重要 的题型。要求掌握如下求函数值域的方法。 ①分离常数法:形如 y ?
ax ? b x? b
ax ? b cx ? d

(既约分式, c ? 0 )的函数可变形为:

a b d ( ? ) a ? c a c y ? ? ? ? d d cx ? d c c x? x? c c a a

例: y ?
? y ? ?

5? x 2x ? 5

? ?

1 2

?

15 2(2 x ? 5)



15 2(2 x ? 5)

? 0

1 2

? 1? ? 函数的值域 ? y y ? ? ? 2? ?

②配方法:这是求函数值域的基本方法。 形如 y ? a f ( x ) ? b f ( x ) ? c 的函数值域问题。均可用配方法
2

例: y ? x ? 4 x ? 2 ? ( x ? 2 ) ? 6
2 2

x ? [? 5 , 0 ]

? x ? [ ? 5, 0 ]

? 当 x ? 2 时, y m in ? ? 6

? 当 x ? ? 5 时, y m ax ? 3
? 函数的值域为[-6,3]

③换元法 形如 y ? a x ? b ? cx ? d 的函数值域问题。可令 cx ? d = t ( t ? 0 )把函数化成关 于 t 的另一种较简单的函数,从而求得原函数的值域 例: y ? x ? 1 ? 2 x 令 1 ? 2 x ? t ( t ? 0 )则 x ?
? y ?

1? t 2

2

1? t 2

2

?t ? ?

1 2

t ?t?
2

1 2

=?

1 2

( t ? 1) ? 1
2

? t ? 0 ,? 当 t ? 1 时, y m a x ? 1 ? 函数值域为[-8,1]

注意:换元后的变量的取值范围,因为是值域的基础。 ④判别式法。形如 y ?
a 1 x ? b1 x ? c1
2

a 2 x ? b2 x ? c 2
2

( a 1 ? a 2 ? 0 ) 的函数值域问题。把函数转化关于 x 的二
2 2

次方程通过方程有实根。判别式 ? ? 0 。求得原函数值域 例: y ?
x ? 2x ?1
2

x ?1
2
2

定义域为 R ,得 ( y ? 1) x ? 2 x ? ( y ? 1) ? 0 当 y ? 1 时,得 2 x ? 0 ,? x ? 0 ? R ,? y ? 1 适合 当 y ? 1 时, ? ? 0 ,解得 0 ? y ? 2 ,且 y ? 1 ? 函数值域为[1,2] 注意:自变量属于任意实数(有时除去个别点)且须讨论变形后二次项的系数 ⑤图象法: 如 y ? x ?1 ? x ?1
D
6 8

??2 x, x ? ?1 ? 解: y ? ? 2 , ? 1 ? x ? 1 ?2 x, x ? 1 ?

F

4

画出函数图象 由右图 (1) 可知函数值域为 ? y y ? 2 ?
-10 -5

2

j

A
C

B 1
5 10

-1
-2

-4

-6

-8

图(1) 这个方法是一个非常简单和熟悉的方法,就是因为太简单,大多数也就忽视或不把它当成方 法了,然而它却是个学习数学的基本方法,贵在你要数十年如一日的坚持。只要你坚持了,你同 时也就养成了良好的习惯。那么学习数学也就不在是问题了。 3. 创设生动情境, 激发学习兴趣 怎样才能使学生在灵活地驾驭所学数学知识分析问题、解决问题方面取得事半功倍的效果 呢?关键是看学生有没有兴趣去学习、探索。著名教育家夸美纽斯说: “兴趣是创造一个欢乐和光 明的教育环境的主要途径之一。 ”学习兴趣可以使学生产生强烈的求知欲,从而培养敏捷的思维

能力,丰富的想象力和坚韧的意志力,因此,兴趣是最好的老师,浓厚的兴趣也可使大脑处于最 活跃状态,增强人的观察力,注意力和记忆力,孔子曾说; “知之者,不如好之者,好知者,不 如乐知者。 ” 若学生对你提出的问题产生了兴趣, 自然可以达到教师的愿望.我认为, 在高一数学教学中, 可以通过初中数学的相关知识巧妙地实施衔接, 以学生熟知的简单问题作为背景创设生动的问题 情境( 俗称老问题, 新提法 ), 学生就会感兴趣 比如在高一数学教学中逐步渗透分步讨论的数学思想, 结合所学集合知识, 一元一次方程 的一般形式: ax + b=0(a≠0)不失为一个典型的问题背景. 可以提问: 为什么规定 a≠0 呢?不作 这样的规定会怎样呢?接着指导学生解决问题 1 问题 1 用集合的知识分析一元一次方程 ax + b=0 的解的情况. 为了让学生能留下深刻的 印象, 完全可以让学生先做几分钟,待检查发现问题后以询问的方式提示学生:你有多少把握去肯 定你的解答是正确的?还有没有什么地方你没有考虑到呢?接着用分类讨论的思想规范解答。 (i) 当 a ≠ 0 时, 方程的解集为{x︱x =
b a

}.

(ii) 当 a =0 且 b=0 时, 方程的解集为 R. (iii) 当 a =0 且 b≠0 时, 方程的解集为 ? 最后小结时强调: 初中数学中规定 a ≠0 的意义在于使一元一次方程 ax + b=0 有且只有惟一 解. 在解决有关子集的问题时, 空集是最容易被学生疏忽的. 当问题 1 得到圆满解决后我们为什 么不再以一元一次方程为背景创设一个问题呢? 问题 2 设集合 A ? ? x 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 ? ,B ={x︱mx =1},B ? A , 试用列举法表示实数 m 的
2

取值集合. 在检查学生解答此问题的过程中, 若发现有学生的答案为{-2,
1 3

}, 要及时地指出学生犯错

误的原因是忽视了空集是任何非空集合的真子集. 最后小结方法时生动地指出:在集合的学习过 程中要随时关注“空集”这个“惹祸”的不安分子. 4. 重视展示知识的形成过程和方法的探索过程,培养学生的创造能力。 高中数学比初中数学抽象性强,应用灵活,这要求学生对知识理解要透,应用要活,不能 只停留在对知识结论的死记硬背上,这就要求教师要向学生展示知识和方法的本质,提高应用的 灵活性,而且还使学生学会掌握知识和方法的本质,提高应用的灵活性,而且还使学生学会如何 质疑和释疑的思想方法,促进创造性思维能力的提高。在学校条件允许的情况下,教师可应用多 媒体信息技术于教学之中。多媒体模拟“似真”发现,学生通过计算机提供的数据,图象或动态 表现,有了更多的观察,探索,试验和模拟的机会,从而可以形成顿捂和知觉,培养了学生的创 造能力。 以二次函数在闭区间内的最值问题为例。我们在教学进行如下的设计: 首先,提出问题 问题 3 求①
f ( X ) ? ( x ? 1)
2

② f (x) ? (x ?

1 2

)

2

③ f (x) ? (x ?

4 3

)

2

在区间[0,1]上的最值。 让学生画图观察求出一组具体的二次函数在给定区间上的最值,引起学生对二次函数图 象的对称相对于区间的位置变化对函数最值影响的思考;然后学生在理解的基础上模仿构造不同 情况的具体函数,使学生在自己构造的过程中进一步思考二次函数在给定区间上的最值规律。进 而引导学生研究出二次函数 y ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 在给定区间[0,2]上的最值规律。最后由学 生总结出一般解题方法。
2

问题 5 求 f ( x ) = x ? 2 a x ? 2 在[2,4]上的最大值与最小值。 解:先求最小值。
2

因为 f ( x ) 的 对称轴是 x=a,可以分以下三中情况: (i)当 a ? 2 时, f ( x ) 在[2,4]上为增函数,所以 f ( x ) m in = f ( 2 ) = 6 ? (ii)当 2 ? a ? 4 时, f ( a ) 为最小值, f ( x ) m in = 2 ? 4 a ;
2

4a



(iii)当 a ? 4 时, f ( x ) 在[2,4]上为减函数,所以 f ( x ) m in = f ( 4 ) = 1 8 ? 8 a ; 综上所诉:
?6 ? 4a, (a ? 2) ? 2 f ( x) = ?2 ? a , (2 ? a ? 4) ? 2 ?18 ? 8 a , ( a ? 4 )

最大为 f ( 2 ) 与 f ( 4 ) 中较大者: f ( 2 ) ? f ( 4 ) = (6 ? 4 a ) ? (1 8 ? 8 a ) ? 1 2 ? 4 a (1) 当 a ? 3 时, f ( 2 ) ? f ( 4 ) ,则 f ( x ) m ax = f ( 2 ) = 6 ? 4 a ; (2) 当 a <3 时, f ( 2 ) < f ( 4 ) ,则 f ( x ) m ax = f ( 4 ) =18-8 a ; 故 f ( x ) m ax = ?
?6 ? 4 a , ( a ? 3) ?18 ? 8 a , ( a ? 3 )

本题属于二次函数在给定区间上的最值问题,由于二次函数的系数含参数,对称轴是变动 的,属于“轴动区间定” ,由于图象开口向上,所以求最小值要根据对称轴 x ? a 与区间[2,4] 的位置关系,分三种情况讨论;最大值在端点取得,只需比较 f ( 2 ) 与 f ( 4 ) 的大小,按两种情况 讨论即可,实质上是讨论对称轴位于区间中点的左,右两种情况。那么求最大值的时候仍然根据 上面的方法去做,一是可以知道学生的理解情况,二是可以锻炼他们的实际操作能力,加深他们 对这类题的认识。再则可以让学生用自己的智慧来解题。最后由学生总结一般的和巧妙的方法 高一数学是整个高中数学的基础,因此学好高一数学的重要性也就不言而喻了。但是学习的 过程是双方面的,老师只能是在尽量弥补自身不足的同时按照科学的方法使学生朝正确的轨道运 行,而学生才是学主体,是本质,因此老师在努力的同时学生也应该加倍的努力,最终才会产生 好的效果。 参考文献: [1]任志鸿,孟昭旺,刘成恩,等.优化设计.南方出版社.2006.37-38. [2]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书—数学.2003.46-50.


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