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函数与导数精讲精练


1. 下列四组函数中,表示同一函数的是( A. f ( x ) ? x , g ( x ) ?
x ?1
2


2

x

2

B. f ( x ) ? x , g ( x ) ? ( x )

C. f ( x ) ?

x

?1

, g ( x) ? x ? 1

D. f ( x ) ?

x ?1 ?

x ? 1, g ( x ) ?

x ?1
2

2. 求下列函数的定义域 : (1) f ( x ) ?
2?

x 1 x ?1

(2) f ( x ) ?

( x ? 1)

0

x ?x

1? x y? 2 2 x ? 3x ? 2

y?
1

x ?1 | x ?1| ? | x ?1|
3

3.求函数值域 f ( x ) ?

1 ? x (1 ? x )

y ? x 2 ? 6 x ? 10 y ?

x?2 x ?1

y ? x?

3x ? 2

y?

x2 ?1 x2 ? 1
2

y?

2x 2 ? 2x ? 3 4 f ( x) ? ( x ? [3, 6]) 2 x?2 x ? x ?1

4.求最值:1)已知 f(x)=x +4x+3,求 f(x)在区间[0,3]上的最小值和最大值 2 2) 已知函数 y=x -2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值范围是 ________ 3). 如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为 5, 则在区间[-7,-3]上 ( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且 有最大值-5 4)当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x ? (2 ? 6a) x ? 3a 的最小值
2 2

5.求解析式:1)已知 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =
2

2) 设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)= . 2 3) 已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=x -2x, 则 x ? 0 时的解析 式是( ) 4)已知函数 f(x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ,求函数 f(x)的解析式
? 6.函数关系 1)函数 f ( x ) 对任何 x ? R 恒有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,已知 f (8) ? 3 ,则

1 x

f ( 2) ?



2).已知函数 f ( x) , g ( x) 同时满足: g ( x ? y) ? g ( x) g ( y) ? f ( x) f ( y) ; f (?1) ? ?1 ,

f (0) ? 0 , f (1) ? 1 ,求 g (0), g (1), g (2) 的值.
x ? 2x ?
2

1 2 ,其中 x ? [1, ??) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求

7.单调性:1)已知函数 f ( x ) ? 它的最小值.

x

2)已知函数 f(x)在区间 (0, ??) 上是减函数,则 f ( x ? x ? 1) 与
2

f ( ) 的大小关系

3 4





3)奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数,在区间 [3, 6] 上的最大值为 8 , 最小值为 ?1 ,则 2 f (?6) ? f (?3) ? __________。
1? x ? x ?1
2

8.奇偶性:1). f ( x ) ?

1? x ? x ?1
2

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ,

f ( x) ?

x ?1 ? 1? x ,

f ( x) ? 3 x ? 3 x
2

?0( x ? Q ) f ( x) ? ? ?1( x ? C R Q )

2)如果函数 y=f(x+1)是偶函数,那么函数 y=f(x)的图象关于_________对称 3)已知函数 y ? f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在(-∞, 0] 上是减函数,若 f (a) ? f (2) ,则实数

a 的取值范围是(


x? y 1 ? xy

4) . 定义在(-1, 1)上的函数 f(x)满足: 对任意 x、 y∈(-1, 1)都有 f(x)+f(y)=f(

). (1)

求证:函数 f(x)是奇函数; (2)如果当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递减函数; 5)设 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意 x1,x2∈R,恒有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且 f(x)不 恒为 0,证明 f(x)的奇偶性

6)已知函数 f(x)=

(a,b,c∈Z)是奇函数,且 f(1)=2,f(2)<3。

(1)求 a,b,c 的值;(2)用定义法证明 f(x)在(0,1)上的单调性。 【指数函数】 1.要使代数式 ( x ? 1) 3 有意义,则 x 的取值范围是(
? 1


x

2. 把函数 y=f(x)的图象向左、 向下分别平移 2 个单位长度, 得到函数 y ? 2 的图象, 则 f(x)= ( )
1
3 ?8 ?15

3.计算. [( ? ) ] ? ( ?4)
2

1 ?2 ?( ) ? 8

? 13 ? x 3 x ?2 ? ?

? 5 ? 化成分数指数幂为 ? ?
x ?1

?

8

4.函数 f ( x) ? a 5.已知
f ( x) ?

? 1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点
? m 是奇函数,则
x

1 3 ?1
x

f ( ?1) =

6 若函数 f ? x ? ? a ? b ? a ? 0, a ? 1? 的图象不经过第二象限,是



13.求下列函数的单调区间及值域: (1) f ( x) ? ( ) x ( x ?1) ;
3 2

(2) y ?

1? 2 4
x

x



(3)求函数 f ( x ) ? 2

?

x ?3 x ? 2

2

的递增区间.

12.(1)已知 x ? [-3,2],求 f(x)= (2)已知函数 f ( x ) ? a
2x
x ?3 x ?3
2

1 4
x

?

1 2
x

? 1 的最小值与最大值.

在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值.

(3)已知函数 y ? a ? 2a ? 1(a ? 0, a ? 1) 在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
x

则 a, b 满足的条件

专题五:函数与导数之一:课本回扣
1. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元 素的唯一性,哪几种对应能构成映射? 2. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 3. 求函数的定义域有哪些常见类型? 4. 如何求复合函数的定义域?

例:函数 y ?

lg ? x ? 3?

x?4 ? x ?
2

的定义域是

如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定
义域是_____________. 5. 求一个函数的解析式时,注明函数的定义域了吗?

?

?

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f ( x).

?

6. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? , . 如:求y ? log 1 ? x 2 ? 2 x 的 单 调 区 间
2

?

?

7. 如何利用导数判断函数的单调性?

如:已知a ? 0,函数f ( x) ? x 3 ? ax在?1, ? ??上是单调增函数,则a的最大
值是( ) A. 0 B. 1 C. 2 8. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称) D. 3

若f (? x) ? ? f ( x)总 成 立 ? f ( x)为 奇 函 数 ?函 数 图 象 关 于 原 点 对 , 称 若f (? x) ? f ( x)总 成 立 ? f ( x)为 偶 函 数 ? 函 数 图 象 关y 于 轴对称 .
注意如下结论:

(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

(2)若f ( x) 是奇函数且定义域中有原点,则f ( 0 ? ) 0.

如:若f ( x) ?

a · 2x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? __________ __ . 2x ?1 2x , 4x ?1

又如:f ( x)为定义在(?1, 1)上的奇函数,当x ? (0, 1)时,f ( x) ?
求f ( x)在?? 1, 1?上的解析式.
9. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T ? ? f ( x),则f ( x)为周期
函数,T 是一个周期.) 你还能在写一些有关周期的公式吗? 10. 你掌握常用的图象变换了吗?分别有哪些?

如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1? ,
作出y ? log 2 ? x ? 1? 及y ? log 2 x ? 1 的图象 ,
11. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

y y=log2 x

O

1

x

( 1 )一次函数:y ? kx ? b?k ? 0? ,

(2)反比例函数:y ?
的双曲线,

k ?k ? 0?推广为y ? b ? k ?k ? 0?是中心O (a,b) x x?a
2

b ? 4ac ? b 2 ? (3) 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0? ? a? x ? ? 图象为抛物, 线 ? 2a ? 4a ?

(4) 指 数 函 数 y : ? a x ?a ? 0,a ? 1? , (5) 对 数 函 数 y ?lo g a x?a ? 0,a ? 1? ,
由图象记性质! (注意底数的限定! )
y

(6) “ 对 勾 函 数 y? ” x?

k ?k ? 0? . x

? k
O

k

x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么? 12. 你在基本运算上还出现错误吗?

指数运算: a 0 ? 1(a ? 0),a ? p ?

1 (a ? 0) , ap

a

m n

? a (a ? 0),a
n m

?

m n

?

1
n

am

( a ? 0) ,

对数运算 lo : g · N ?lo g a M a M ?lo g a N ?M ? 0,N ? 0? ,

lo g a

M 1 n ? lo g lo g M ? lo g a M ?lo g a N, a a M , N n

l o agx 对 数 恒 等 式a : ? x,

对数换底公式 l o: g a b ?

lo g n c b ? lo g bn ? l o g a b. am lo g m c a

13. 如何解抽象函数问题?(赋值法、结构变换法)

如:( 1 )x ? R,f ( x)满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y),证明f ( x)为 奇 函 数 . (2)x ? R,f ( x)满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),证明f ( x)是 偶 函 数 .
(3) 证 明 单 调 性f : ( x 2 ) ? f ?x 2 ? x1 ? ? x

?

1

? ?,?

14. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法) ,换元法,均值定理法,判别式法,函数单调性法,导数法等.) 如求下列函数的最值:

( 1 )y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x ( ; 2)y ?

2 x ?4 ; x ?3

(3)x ? 3,y ?

2x 2 ; x ?3

9 (4)y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 ?设x ? 3 cos?,? ? ?0,? ?? ;(5)y ? 4 x ? ,x ? (0, 1] . x
15. 导数的定义:即 f ' ( x 0 ) = lim
f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y ,记作 f ' ( x 0 ) 或 y ' | x ? x0 . ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

16. 导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率, 也 就 是 说 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 P ( x0 , f ( x)) 处 的 切 线 的 斜 率 是 f ' ( x 0 ) , 切 线 方 程 为
y ? y 0 ? f ' ( x)(x ? x 0 ).

17. 几种常见的函数导数: I. C ' ? 0 ( C 为常数)

( x n ) ' ? nx n ?1 ( n ? R )
(cos x) ' ? ? sin x

(sin x) ' ? cos x

II. (ln x) ' ?

1 x

(loga x) ' ?

1 log a e x

(e x ) ' ? e x
18. 求导数的四则运算法则: ① (u ? v) ' ? u ' ? v '
'

(a x ) ' ? a x ln a

' ' ' ' ' ' ' ② (uv) ? vu ? v u ? (cv) ? c v ? cv ? cv ( c 为常数)

vu ' ? v ' u ?u? (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?

19. 简单的复合函数的求导法则: f x ' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x 20. 函数单调性: ⑴函数单调性的判定方法: 设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ' ( x) >0, 则 y ? f ( x) 为 增函数;如果 f ' ( x) <0,则 y ? f ( x) 为减函数. ⑵常数的判定方法; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 内恒有 f ' ( x) =0,则 y ? f ( x) 为常数. 注:① f ( x) ? 0 是 f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如 y ? 2 x 3 在 (??,??) 上并不是 都有 f ( x) ? 0 ,有一个点例外即 x=0 时 f(x) = 0,同样 f ( x) ? 0 是 f(x)递减的充分非必 要条件. ②一般地,如果 f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负) ,那么 f(x) 在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 21. 极值的判别方法: (极值是在 x 0 附近所有的点, 都有 f ( x) < f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值,极小值同理) 当函数 f ( x) 在点 x 0 处连续时, ①如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. ②例如:函数 y ? f ( x) ?| x | ,在点 x ? 0 处不可导,但点 x ? 0 是函数的极小值点.

专题五:函数与导数之二:规律方法指导(函数)
考点 1:函数及其表示 1.求函数的定义域 考情分析:本考点在高考中的考查以小题为主,尤其是复合函数的定义域,解题的关键是使 所给的解析式有意义. 例 1、 (1) (11 广东文 4)函数 f ( x) ? A. (??, ?1) B. (1,+ ? )

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是( ) 1? x
D. (- ? ,+ ? )

C. (-1,1)∪(1,+∞)

(2) (09 福建文 2)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x B. f ( x) ?

1 有相同定义域的是( ) x
D. f ( x) ? e
x

1 x

C. f ( x) ?| x |

(3) (08 江西文 3)若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? ( ) A. [0,1] B. [0,1) C. [0,1) ? (1,4]

f (2 x) 的定义域是 x ?1

D. (0,1)

2.求函数值 考情分析:求复合函数的值,可以加深对函数的理解,近年分段函数在高考中出现的频率较 高, 命题者长设计一些以分段函数为背景对复合函数进行求值的题目, 考查学生对函数的理 解. 例 2、 (1) (11 陕西文 11)设 f ( x) ? ?
x

?lg x, x ? 0,
x ?10 , x ? 0,

则 f ( f (?2)) =______.

(2) (10 山东文 3) f ( x) ? log2 (3 ? 1) 的值域为( (A) (0, ??) (B) ? 0, ?? ?
*

) (D) ?1, ?? ?

(C) (1, ??)
* *

(3) (11 湖南文 16)给定 k ? N ,设函数 f : N ? N 满足:对于任意大于 k 的正整数 n ,

f (n) ? n ? k
(1)设 k ? 1 ,则其中一个函数 f 在 n ? 1 处的函数值为 ; .

(2)设 k ? 4 ,且当 n ? 4 时, 2 ? f (n) ? 3 ,则不同的函数 f 的个数为

3.求函数的解析式 考情分析: 本知识点是高考中的命题热点, 常见的命题方式是先给出一定的条件确定出函数 的解析式,然后再考查函数其它方面的知识. 例 3、 (1) (08 上海文 9) .若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) (常数 a, b ? R )是偶函数,且 它的值域为 (??, 4] ,则该函数的解析 f ( x) ? (2) (07 安徽文 7)图中的图象所表示的函数的解析式为 .

3 (0≤x≤2) | x ?1| 2 3 3 (B) y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2 2 3 (C) y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
(A) y ?

(D) y ? 1? | x ? 1 |

(0≤x≤2)

考点 2、函数的基本性质 考情分析:函数的单调性、奇偶性、周期性是高考函数题的考查热点,命题重在考查基础知 识,常常是将几个性质综合进行考查,解答时往往具有一定的技巧.多为选择题、填空题. 例 4、 (1) (09 山东文 12)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区 间[0,2]上是增函数,则( ). B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

( 2 )( 10 山 东 文 5 ) 设 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x)? x2 ? 2 x ? b为常数 (b ) f (?1) ? ( ,则
C1 D3



A -3

B

-1

(3) (09 山东文 7) )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f ( x) ? ? 则 f (3) 的值为( )

x?0 ?log 2 (4 ? x), , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

A.-1 B. -2 C.1 D. 2 考点 3、函数的图象 考情分析:函数图象是每年山东高考的一个热点,其显著特点就是直观,结合图象往往 可以更好地理解函数性质, 寻找解题思路.高考对图象直接质, 寻找解题思路.高考对图象直 接考查的题目有两类: 一是以抽象函数给出, 二是以几种初等函数为基础结合函数的性质综 合考查.考查形式有:知图选式、知式选图、图象变换等.间接考查是希望考生自觉利用函数 图象来解决一些函数、方程、不等式等问题. 考查的题目 例 5、 (1)(11 山东文 10)函数 y ?

x ? 2sin x 的图象大致是( 2



y

y

y

y

2?
A

.

x
B
x

2?

.

x
C

2?

.

x
D

2?

.

x

(2) (10 山东文 11)函数 y ? 2 ? x 的图像大致是(
2



(3) (09 山东文 6)函数 y ? y 1 O 1 x

e x ? e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y y 1 O1 x O1

). y 1 x O D C 1 x

1

A

B

(4) (08 山东文 3)函数 y=lncosx(-

? ? <x< )图象是( 2 2



考点 4、抽象函数 考情分析:抽象函数能较好的考查学生对函数概念及性质的理解,因而成为高考的热点,常 以填空题、选择题的形式出现. 例 6、 (1) (09 辽宁文 12)已知偶函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) <

1 ) f ( ) 的 x 取值范围是( 3 1 2 1 2 A( , ) B[ , ) 3 3 3 3

C(

1 2 , ) 2 3

D [

1 2 , ) 2 3

(2) ( 08 陕 西 文 11 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? y) ? f ( x)? f ( y)? 2 x y ( x,y ? R ) , f) 1 ( 2? ,则 f (?2) 等于( A.2 B.3 C.6 D.9 )

(3) (07 山东文 6)给出下列三个等式: f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),f ( x ? y) ? f ( x) f ( y ) ,

f ( x ? y) ?

f ( x) ? f ( y ) .下列函数中不满足其中任何一个等式的是( 1 ? f ( x) f ( y )
x



A. f ( x ) ? 3

B. f ( x) ? sin x

C. f ( x) ? log 2 x

D. f ( x) ? tan x

考点 5、二次函数 考情分析:高考中常以函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识为背景,考

查学生灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力. 例 7、 (1) (10 安徽文 6)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能是( )

y
Ox
A

y
O
B

y

y

x

O
C

x

O
D

x

(2) (10 海南、宁夏文 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 sin x 的最小值和最大值分别是( A.-3,1 B.-2,2 C.-3,

)

3 2

D.-2,
2

3 2

(3)(08 江西文 12)已知函数 f ( x) ? 2 x ? (4 ? m) x ? 4 ? m , g ( x) ? mx ,若对于任一实 数 x , f ( x) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 B. (?4, 4) C. (??, 4) D. (??, ?4)
2

(4) (07 天津文 10)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x ,若对任 意的 x ? ?t,t ? 2? ,不等式 f ( x ? t ) ≥ 2 f ( x) 恒成立,则实数 t 的取值范围是( )

?∞ A. ? 2, ?

?

? ∞? B. ? 2,

2? C. ? 0,
2

? 1? ? ? 2, 0? D. ? ? 2, ? ? ? ?

(5)(07 湖北文 19) 设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满 足 0 ? x1 ? x2 ? 1 . (I)求实数 a 的取值范围; (II)试比较 f (0) f (1) ? f (0) 与

1 的大小.并说明理由. 16

考点 6、指数函数、对数函数图象和性质 考情分析:指数函数、对数函数是基本初等函数,对它们的性质的考查在每年高考中都有涉 及,常与方程、不等式等交汇命题,一般是填空题、选择题形式,属于中低档题. 例 8、 (1) (08 山东文 15) 已知 f (3 ) ? 4 x log 23 ? 233 , 则 f(2)+(4)+f(8)+…+f(28)的值等于
x

.

3 2 2 (2) (10 安徽文 7)设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是( 5 5 5

2

3

2



A a>c>b

B a>b>c

C c>a>b
x

D b>c>a

(2) (08 山东文 12)已知函数 f ( x) ? log 2 (2 ? b ? 1)( a ? 0, a ? 1) 的图 象如图所示,则 a,b 满足的关系是( ) -1 -1 - - - A 0<a <b<1 B 0<b<a <1 C 0<b 1<a<1 D 0<a 1<b 1<1 考点 7、函数的零点 考情分析:函数的零点实质是方程的根,近年成为高考命题的一个热点.该类问题常与函数 的图象、性质交汇命题,多是选择题、填空题,以解答题出现时,常为已知函数零点的存在 情况,求参数的值或取值范围,难度为中档;用二分法求函数的零点属新增内容,常以基本 初等函数为载体来考查,考大题的可能性不大,难度也不会大. 例 9、 (1) (11 全国新课标文 10)下列区间中,函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间
x

为 A. ( ? ,0)

1 4

B. (0, )
x

1 4

C. ( , )

1 1 4 2

D. ( , )

1 3 2 4

(2) (09 山东文 14)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 .

(3) (11 山东文 16) 已知函数 f(x) = log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时, 函数 f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= .

考点 8、函数的应用 考情分析: 发展学生综合运用知识解决问题的能力和数学应用意识是新课标的课程理念, 这 在今年的命题中得到了很好的体现,并有加强的趋势,函数的综合题、函数模型的综合应用 自然成了考查的重点. 例 10、 (11 山东文 21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容 器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 3

l≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3
千元,半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

真题分类汇编(函数)
考点 1:函数概念及其表示 1.(10 湖北文 5)函数 y ?

1 的定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)
C(1,+∞)



A.(

3 ,1) 4

B(

3 ,∞) 4

D. (

3 ,1)∪(1,+∞) 4

? x 2 ? 3x ? 4 2.(09 江西文 2)函数 y ? 的定义域为( x
A. [?4, 1] B. [?4, 0) C. (0, 1]

) D. [?4, 0) ? (0, 1]

3. (08 安徽文 13)函数 f ( x ) ? 4. (11 浙江文 11) 设函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



4 ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a =________________________ 1? x

5.(11 上海文 14)设 g ( x) 是定义在 R 上、以 1 为周期的函数,若 f ( x) ? x ? g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为 6.(10 重庆文 4)函数 y ? 16 ? 4 的值域是(
x

) D (0, 4)

A [0, ??)

B [0, 4]

C [0, 4)

7.(10 陕西 13)已知函数 f ( x) ? ?

?3 x ? 2, x ? 1,
2 ? x ? ax, x ? 1,

若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a =

.

?1 ? x 2 x ? 1, ? 1 ? ? 8.(08 山东文 5)设函数 f (x)= ? 2 则f ? ? 的值为( ? ? f (2) ? ? x ? x ? 2, x>1,
A



15 16

B 山 东 文

-

27 16

C

8 9

D18
1 f 3 ( x) ? x f1 ( x) ? x 2,f 2 ( x) ? x ? ,

9. ( 07

13 ) 设 函 数

, 则

3

f1 ( f 2 ( f3 ( 2 0 ? 0 7 ) ).)
10.(10 陕西文 10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班 人除以 1 0 的余数大于 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间 ..6 . 的函数关系用取整函数 y ? ? x ? ([x]表示不大于 x 的最大 整数)可以表示为 A y=[

x ] 10

B y=[

x?3 ] 10

C y=[

x?4 ] 10

D y=[

x?5 ] 10
2

11. (10 江苏 11) 已知函数 f ( x ) ? ? 取值范围是___________.

? x 2 ? 1, x ? 0 ?1, x ? 0

, 则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的

12.(09 辽宁文 6)已知函数 f ( x) 满足:x ? 4,则 f ( x) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x) = f ( x ? 1) , 则 f (2 ? log 2 3) =( ) A

1 24

B

1 12

1 x 2 1 3 C D 8 8

考点 2:函数的基本性质 1.(11 辽宁文 6)若函数 f ( x) ?

x 为奇函数,则 a=( (2 x ? 1)( x ? a)
C.



A.

1 2

B.

2 3

3 4

D.1

2.(11 全国大纲文 10)设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) , 则 f (? ) = A.-

5 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2
x

3.(11 湖北文 3)若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 满足 f ( x )?g (x )? e ,则

g (x) =
A. e ? e
x
?x

B.

?x 1 x (e ? e ) 2

C.

1 ?x (e ? e x ) 2

D.

?x 1 x (e ? e ) 2

4.(11 湖南文 12)已知 f ( x) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ?



x 5.(10 全国新课标文 9)设偶函数 f(x)满足 f ( x) ? 2 ? 4( x ? 0) ,则 x f ? x ? 2 ? ? 0 =

?

?

A x x ? ?2或x ? 4

?

? B ?x x ? 0或x ? 4?

C x x ? 0或x ? 6

?

?

D x x ? ?2或x ? 2

?

?

6.(09 陕西文 10)定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 ) ,有 ( )

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 ( x2 ? x1



A f (3) ? f (?2) ? f (1) C f (?2) ? f (1) ? f (3)

B f (1) ? f (?2) ? f (3) D f (3) ? f (1) ? f (?2)

7.(08 湖北文 6).已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x), 当 x ? (0, 2) 时,

f ( x) ? 2 x 2 ,则 f (7) =(



A.-2 B.2 C.-98 D.98 8.(08 四川文 9).函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 ,若 f (1) ? 2 ,则 f (99) ? _____ A.13 考点 3、函数的图象 1. ( 11 浙江文 10 )设函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a, b, c ? R ? ,若 x ? ?1 为函数
2

B.2

C.

13 2

D.

2 13

f ( x)e x 的一个极值点,则下列图象不可能为 y ? f ? x ? 的图象是(
y

)
y

-1
O

y

-1

y
O

x

x
-1
O

-1 A

O

x
B C

x

D )

1 2.(11 四川文 4)函数 y ? ( ) x ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是( 2

3.(10 湖南文 8)函数 y ? ax ? bx 与 y ? log b x (ab ? 0, | a |?| b |) 在同一直角
2

| | a

坐标系中的图象可能是

(

)

4.(08 福建文 11)如果函数 y ? f ( x) 的图像如右图, 那么导函数 y ? f '( x) 的图像可能是( )

C

D

考点 4、指数函

数、对数函数的性质

1.(11 安徽文 5) 若点 (a,b)在 y ? lg x 图像上,a ? ? ,则下列点也在此图象上的是 (



A (

? ,b) a
a

B (10a,1 ? b)
b

C (

?? ,b+1) a


D (a2,2b)

2.(10 辽宁文 10)设 2 ? 5 ? m ,且 A
10

1 1 ? ? 2 ,则 m ? ( a b
D 100

B 10

C 20
2 3

3.(07 湖南文 13)若 a ? 0, a ?

4 , 则 log 2 a ? 9 3

.

4.(11 重庆文 6)设 a ? log 1
3

1 2 4 , b ? log 1 , c ? log 3 , 则a, b, c 的大小关系是( 2 3 3 3
) D.1<y<x



C. b ? a ? c

D. b ? c ? a
2 2

5.(11 北京文 3)如果 log 1 x ? log 1 y ? 0, 那么( A.y< x<1 B.x< y<1 C.1< x<y

6.(08 江西文 4)若 0 ? x ? y ? 1 ,则 A. 3 ? 3
y x

B. log x 3 ? log y 3

C. log 4 x ? log 4 y
x

D. ( ) ? ( )
x

7.(11 山东文 3)若点( a ,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan(

a? )的值为( 6
D. 3

1 4

1 4

y



A.0

B.

3 3
x

C.1

8.(09 天津文 9)设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1, 若a ? b ? 3, a ? b ? 2 3, 则
y

1 1 ? 的最大值 x y

为( ) A 2 B

3 2
2

C
2

1

D

1 2


9.(07 辽宁文 9)函数 y ? log 1 ( x ? 5 x ? 6) 的单调增区间为(

? ?? A. ? ,

?5 ?2

? ?

B. (3, ? ?)

C. ? ??, ?
2

? ?

5? 2?

D. (??, 2)

10.(06 重庆文 10)设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (x ? 2x ? 3) 有最小值,则不等式

loga (x ? 1) ? 0的解集为
考点 5、函数的零点

.

1.(10 天津文 4)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1) (B) (-1,0)

(C) (0,1)

(D) (1,2)

2. ( 10 浙 江 文 9 ) 已 知 x 0 是 函 数 f ( x) ? 2 x ?

1 的 一 个 零 点 , 若 1? x

x1 ? (1, x0 ), x2 ? ( x0 ,??) ,则
(A) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 (B) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

(C) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 3.(10 福建文 7)函数 f ( x ) ? ? A.3 B.2 C.1

(D) f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ?? 2 ? ln x, x ? 0
D.0

的零点个数为( )

4.(10 上海文 17)若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( ) (A) (0,1) (B) (1,1.25) (C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)
x

5.(09 福建文 11)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ? x ? 可以是( A. )

f ? x? ? 4x ?1

B.

f ? x ? ? ( x ? 1) 2

C.

f ? x ? ? ex ?1

D.

1? ? f ? x ? ? In ? x ? ? 2? ?
考点 6、函数的应用 1. (11 湖北文 19)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况 下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当 桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 2 时,车流速度 v 是车流 0 ? x ? 2 0 0 密度 x 的一次函数。 (I)当 0 时,求函数 v(x)的表达式; ? x? 2 0 0 (II)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时) f( (精确到 1 辆/小时) 。 x )?x ?vx ( )可以达到最大,并求出最大值。

2. (07 山东文 19) 本公司计划 2008 年在甲、 乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告, 广告总费用不超过 9 万元, 甲、 乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟, 规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最 大收益是多少万元?

五:函数与导数之二:规律方法指导(导数)
考点 1:导数的概念、运算及利用导数解决曲线的切线问题 考情分析: 确定或应用曲线的切线斜率或切线方程是近几年高考命题的热点, 常与函数的图 象、性质、几何图形交汇命题,主要以选择题、填空题的形式来考查,有时也渗透在解答题 之中,难度一般不大. 例 1、 (1) (11 山东文 4)曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
3

( ) A.-9

B.-3
2

C.9

D.15

(2) (08 辽宁文 6)设 P 为曲线 C: y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜 角的取值范围为 ? 0, ? ,则点 P 横坐标的取值范围为(

? ?? ? 4?



A. ? ?1, ? ? 2

? ?

1? ?

0? B. ? ?1,

1? C. ? 0,

D. ? , 1? .

?1 ? ?2 ?

(3) (08 江苏 8)设直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0 ? 的一条切线,则实数 b= 2

(4) (08 海南、宁夏文 21)设函数 f ( x) ? ax ? b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方 x 程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 .(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面 积为定值,并求此定值.

考点 2、利用导数研究函数的单调性问题 考情分析:本考点是近几年高考命题的一个热点,常与函数的其它性质相结合,且函数中一 般含有参数,填空题为中低档难度,一般还是一解答题的形式出现,属中高档题. 例 4、 (1) (09 广东文 8)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 (
x



A. (??,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??) .

(2) (07广东文12) .函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是

(3) (10 山东文 21)已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程; (Ⅱ)当 a≤ 1 时,讨论 f ( x) 的单调性.
2

(4) (08 山东文 21) 设函数 f ( x) ? x e
2

x ?1

? ax3 ? bx2 , 已知 x ? ?2和x ? 1为f ( x)的极值点.

(Ⅰ)求 a 和 b 的值;(Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)设 g ( x) ?

2 3 2 x ? x ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

考点 3、利用导数研究函数极值和最值问题 考情分析:本考点是函数的重点内容,它对理解和掌握函数的变化规律、函数图象特征起着 非常重要的作用,最值是函数的整体性质,极值是函数的局部性质.近年高考主要考查的问 题有:给定函数的最值、极值,求函数中参数的取值范围问题.命题时常与函数的其它性质 相结合.选择题、填空题一般为中低档题,解答题多属于中高档题. 例 5、 (1)(10 山东文 8) 已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位: 万件)的函数关系式为 y ? ? 为(

1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量 3

9 万件

D 7 万件

(2) (09 辽宁文 15)若函数 f ( x ) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1
x

(3) (11 北京文 18)已知函数 f ( x) ? ( x ? k )e . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间[0,1]上的最小值.

(4) (07 山东文 21)设函数 f ( x) ? ax ? b ln x ,其中 ab ? 0 .
2

证明:当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 没有极值点;当 ab ? 0 时,函数 f ( x) 有且只有一个极值点, 并求出极值.

(5) (10 全国Ⅱ文 21)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3x ? 1
3 2

(Ⅰ)设 a ? 2 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 f ( x) 在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围.

考点 4、恒成立问题 考情分析: 含参不等式恒成立问题是综合性较强的问题, 解决这类问题要求学生具有较好的 数学素养、较强的数学能力,能利用数学逻辑思维方式去分析问题、解决问题,并对基本的 数学思想方法有较深刻的理解和认识, 近年的综合题多是求参数的范围, 且多以压轴题出现. 例 6、 (1) (10 天津文 20)已知函数 f(x)= ax ?
3

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

(2) (08 安徽文 20)设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)已知不等式 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围
' 2

(1).当 a, b 满足什么条件时, f ( x) 取得极值? 1. (2)已知 a ? 0 ,且 f ( x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

(3) (09 山东文 21)已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

专题五:函数与导数之三:真题分类汇编(导数)
考点 1:导数的概念、运算及利用导数解决曲线的切线问题 1.(11 江西文 4)曲线 y ? e 在点 A(0,1)处的切线斜率为(
x



D.

1 e
3 2

2.(11 重庆文 3)曲线 y ? ? x ? 3x 在点(1,2)处的切线方程为( A. y ? 3 x ? 1 B. y ? ?3x ? 5 C. y ? 3x ? 5

) D. y ? 2 x )

3. (11 湖南文 7)曲线 y ? A. ?

sin x 1 ? ? 在点 M ( ,0) 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 4
C. ?
2

1 2

B.

1 2

2 2

D.

2 2

4. (10 全国Ⅱ文 7) 若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程式 x ? y ? 1 ? 0 , 则 ( ) A a ? 1, b ? 1 B a ? ?1, b ? 1
n ?1

C a ? 1, b ? ?1

D a ? ?1, b ? ?1

5.(09 陕西文 12)设曲线 y ? x

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标

为 xn ,则 x1 ? x2 ? ? ? xn 的值为 ( A

) C

1 n

B

1 n ?1

n n ?1
3

D 1

6. (09 江西文 12) 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax 2 ? 等于( )

15 则a x ? 9 都相切, 4

A. ?1 或 -

25 64

B. ?1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64
x

D. ?

7 或7 4

7. (11 陕西文 19) 如图, 从点 P 1 (0,0) 做 x 轴的垂线交曲线 y ? e 于点 Q1 (0,1), 曲线在 Q1 点 处的切线与 x 轴交于点 P2 ,再从 P2 做 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一 系列点: P 1 , Q1; P 2 , Q2 ......; Pn , Qn , 记 P k 点的坐标为 ( xk ,0)(k ? 1, 2,..., n) . (Ⅰ)试求 x k 与 xk ?1 的关系 (2 ? k ? n) (Ⅱ)求 PQ 1 1 ? P 2Q2 ? P 3Q3 ? ... ? P n Qn

考点 2、利用导数研究函数的单调性问题 1.(09 江苏 3)函数

f ( x) ? x3 ? 15 x 2 ? 33x ? 6 的单调减区间为
n 2

.

2.(11 安徽文 10)函数 f ( x) ? ax (1 ? x) 在区间〔0,1〕 上的图像如图所示,则 n 可能是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2

3.(11 广东文 19)设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x 的单调性.

4.(08 北京文 17)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3bx ? c(b ? 0), 且g ( x) ? f ( x) ? 2 是奇函数.
3 2

(Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间.

考点 3、利用导数研究函数极值和最值问题 1.(08 广东文 9)设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则(
x



A、 a ? ?1

B、 a ? ?1

C、 a ? ?

1 e

D、 a ? ?

1 e

f ( x) ? 2 x ?

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x
3 2

) C.是增函数 D.是减函数 )

A.有最大值

B.有最小值

3.(06 浙江文 6)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间[-1,1]上的最大值是 ( A -2 B 0 C 2
3. 2

D 4

4.(11 重庆文 19)设 f ( x) ? 2 x ? ax ? bx ? 1 的导数为 f ?( x) ,若函数 y ? f ?( x) 的图像 关于直线 x ? ?

1 对称,且 f ?(1) ? 0 . 2

(Ⅰ)求实数 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值

5.(08 浙江文 21)已知 a 是实数,函数 f(x)=x (x-a). (Ⅰ)若 f (1)=3,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
1

2

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间[0,2]上的最大值.

.

考点 4、恒成立问题

1.(09 全国Ⅱ文 21)设函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 3

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;(Ⅱ)若当 x ≥0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 2.(07 福建文 20)设函数 f ( x) ? tx ? 2t x ? t ? 1( x ? R, t ? 0) .
2 2

(1)求 f ( x) 的最小值 h(t ) ; (2)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值 范围.

3.(10 全国Ⅰ文 21)已知函数 f ( x) ? 3ax ? 2(3a ? 1) x ? 4 x
4 2

(I)当 a ?

1 时,求 f ( x) 的极值;(II)若 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围 6


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