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学案3 集合的基本运算


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1.一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合 A与B的 并集 ,记作 A∪B ,即A∪B= {x|x∈A或x∈B} 。 2.一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合 A与B的 交集 ,记作 A∩B ,即A∩B= {x|x∈A,且x∈B} . 3.(1)一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,

那么就称这个集合为 全集U ,通常记作 U . (2)对于一个集合,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称 为集合A相对于全集U的 补 集 ,记作



C U A ? ?x | x ? U且x ? A?

CU A ,
.

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4.(1)1.并集A∪B{x|x∈A或x∈B}对于任意的集合A, B,有A∪A= A ,A∩A= A ,A∪B= B∪A ,

A∩B=

B∩A .

若A∪B=B,则A

?

B;若A∩B=B,则B

?A.

(2)由补集的定义可知,对任意集合A,有 ? . A∪(CUA)= U , A∩(CUA)= 5.用集合语言描述下面几个图: (1)A ? B,A∩B= (2)A ?B,A∩B= B ,A∪B= A;

A ,A∪B=

B ;

(3)A =B,A∩B= A(B) ,A∪B= A(B).

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学点一 基本概念的考查 已知U={1,2,3,…,8},A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}.求: (1)A∩B; (2)A∪(CUB); (3)(CUA)∩(CUB); (4)(CUA)∪(CUB) 【分析】由集合的交、并、补概念直接求解. 【解析】 ∵U={1,2,3,…,8},A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}, ∴CUA={5,6,7,8}, CUB={1,6,7,8}. ∴(1)A∩B={1,2,3,4}∩{2,3,4,5}={2,3,4}. (2)A∪(CUB)={1,2,3,4}∪{1,6,7,8}={1,2,3,4,6,7,8}. (3)(CUA)∩(CUB)={5,6,7,8}∩{1,6,7,8}= {6,7,8}. (4)(CUA)∪(CUB)={5,6,7,8}∪{1,6,7,8}={1,5,6,7,8 }.

【评析】集合的简单运算可由基本概念直接求解.

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已知集合S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}.求: (1)(CSA)∩(CSB); (2)CS(A∪B); (3)(CSA)∪(CSB); (4)CS(A∩B). 解:A∩B={x|3≤x<5}, A∪B={x|2≤x<7},

CSA={x|1<x< 2}∪{x|5≤x≤7}, CSB={x|1<x<3}∪{7}.
(1)(CSA)∩(CSB)={x|1<x<2或x=7}. (2)CS(A∪B)={x|1<x<2或x=7}. (3)(CSA)∪(CSB)={x|1<x<3或5≤x≤7}. (4)CS(A∩B)={x|1<x<3或5≤x≤7}.

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设集合A={(x,y)|2x+y=1,x,y∈R},B={(x,y)|a2x+2y=a,x,y∈R}, 若A∩B= ?,求a的值. 解:集合A,B的元素分别是二元一次方程2x+y=1和 a2x+2y=a的解,因为两方程的公共解集A∩B= ?,所以方程组 无解.

?a 2 x ? 2 y ? a 列方程组 ? ? 2x ? y ? 1


得(4-a2)x=2-a

?4 ? a 2 ? 0 ? ? 2?a ? 0

即a=-2.

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已知A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},若A∪B=R,则实数a的 C) 取值范围是(
A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1

解:∵A={x|x≤-1或x≥3},B={x|a<x<4},A∪B=R, ∴由数轴知,a≤-1.

故应选C.

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设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},且CUA={5},求实数a的值.
解:∵CUA={5},∴5∈U,且5?A. ∴a2+2a-3=5,即a=2或a= -4.

当a=2时,|2a-1|=3,这时A={3,2},U={2,3,5}.
∴CUA={5},适合题意.∴a=2. 当a=-4时,|2a-1|=9,这时A={9,2},U={2,3,5},A? U, ∴CUA无意义,故a=-4应舍去. 综上所述可知a=2.

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设集合A={a2, a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},A∩B={-3},求实数a的值. 解:∵A∩B={-3},∴-3∈B. ∴a-3= -3或2a-1= -3, ∴a=0或a= -1. 当a=0时,A={0,1,-3},B={-3,-1,1},此时A∩B={1,-3},与 A∩B={-3}矛盾,故舍去.

当a= -1时,A={1,0,-3},B={-4,-3,2},满足A∩B={-3},
∴a= -1.

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学点五

交集的应用

已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, 若A∪B=A,求实数m的取值范围. 【分析】由A∪B=A得A ? B,故应从B ?A入手讨论, 但考虑到B是A的子集,因此,不要忘记B= ? 的情况.

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【解析】由题意,A∪B=A,∴B ?A. (1)若B=? ,则m+1>2m-1,即m<2, (2)若B≠ ? ,则 ?m ? 1 ? 2 m ? 1

? =A成立. 此时总有A∪B=A∪

? ? ? 2 ? m ?1 ? 2m ? 1 ? 5 ?

解得2≤m≤3.

综合(1)(2)知,m的取值范围是{m|m<2}∪{m|2≤m≤3}={m|m≤3}. 【评析】由A∪B=A可得B ? A,而B? A包括两种情况, 即B= ? 和B≠ ? .本题常犯的错误是把 B=

? 漏掉而只讨论B≠ ?这一种情况.
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