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2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)解析


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷)数学(理工类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的。 1.设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} ,Z 为整数集,则 A ? Z 中元素的个数是 (A)3(B)4(C)5(D)6 2.设 i 为虚数单位,则 ( x ? i)6

的展开式中含 x 的项为
4

(A)-15x (B)15x (C)-20i x (D)20i x

4

4

4

4

3.为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点

π 3

π π 个单位长度(B)向右平行移动 个单位长度 3 3 π π (C)向左平行移动 个单位长度(D)向右平行移动 个单位长度 6 6
(A)向左平行移动 4.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为 (A)24(B)48(C)60(D)72 5.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基 础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30) ( A)2018 年(B)2019 年(C)2020 年(D)2021 年 6.秦九韶是我国南宋使其的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项 式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值 的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为

(A)9 (B)18 (C)20

(D)35

1

? y ? x ? 1, ? 7.设 p:实数 x,y 满足(x–1) –(y–1) ≤2,q:实数 x,y 满足 ? y ? 1 ? x, 则 p 是 q 的 ? y ? 1, ?
2 2

(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 8.设 O 为坐标原点,P 是以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 2 px(p ? 0) 上任意一点,M 是线段 PF 上的点,且

PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为
(A)

2 3 2 (B) (C) (D)1 3 3 2

9.设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= ?

?? ln x,0 ? x ? 1, 图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 ?ln x, x ? 1,

l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是
(A)(0,1) (B)(0,2) (C)(0,+∞) (D)(1,+∞) 10.在平面内,定点 A,B,C,D 满足 DA = DB = DC , DA ﹒ DB = DB ﹒ DC = DC ﹒ DA =-2,动点 P,

??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ????

??? ?

M 满足 AP =1, PM = MC ,则 BM 2 的最大值是

??? ?

? ???? ? ????

????? ?

(A)

49 43 37 ? 6 3 37 ? 2 33 (B) (C) (D) 4 4 4 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.cos
2

π 2 π –sin =. 8 8

12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在 2 次试验中成 功次数 X 的均值是. 13.已知三棱镜的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是。

14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=,则 f()+ f(1)=。15.在 平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P (
'

y ?x , 2 ); 2 x ? y x ? y2
2
'

当 P 是原点时,定义 P 的“伴随点“为它自身,平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C 定义为 曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题: ①若点 A 的“伴随点”是点 A ,则点 A 的“伴随点”是点 A
2
' '

②单位圆的“伴随曲线”是它自身; ③若曲线 C 关于 x 轴对称,则其“伴随曲线” C ' 关于 y 轴对称; ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是_____________(写出所有真命题的序列). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案, 拟确定一个合理的月用水量标准 x (吨) 、一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分 按议价收费.为了了解居民用水情况, 通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨) , 将数据按照[0,0.5),[0.5,1),?,[4,4.5)分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(I)求直方图中 a 的值; (II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (III)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x (吨) ,估计 x 的值,并说明理由. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明: sin A sin B ? sin C ; (II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

cos A cos B sin C ? ? . a b c

6 bc ,求 tan B . 5
1 AD. 2

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC, ? ADC= ? PAB=90°,BC=CD=

3

E 为边 AD 的中点,异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°. (I)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PBE,并说明理由; (II)若二面角 P-CD-A 的大小为 45°,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的首项为 1, Sn 为数列{ an }的前 n 项和, Sn?1 ? qSn ? 1 ,其中 q>0, n ? N * . (I)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 an 的通项公式; (ii)设双曲线 x 2 ?

4n ? 3n 5 y2 e ? e ? e ? ??? ? e ? 的离心率为 ,且 ,证明: e ? 1 2 1 2 n n 2 3 3n ?1 . an

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点,直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一 个公共点 T. (I)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (II)设 O 是坐标原点,直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B,且与直线 l 交于点 P.证明: 2 存在常数λ ,使得∣PT∣ =λ ∣PA∣·∣PB∣,并求λ 的值. 21.(本小题满分 14 分) 2 设函数 f(x)=ax -a-lnx,其中 a ∈R. (I)讨论 f(x)的单调性; (II)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>-e
1-x+

在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718?为自然对数的底数)。

4

参考版解析

第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要 求的. 设集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} ,Z为整数集,则集合 A ? Z 中元素的个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由题可知, A ? Z ? {?2, ?1,0,1, 2} ,则 A ? Z 中元素的个数为5 选C 1. 2. )

设 i 为虚数单位,则 ( x ? i)6 的展开式中含 x4 的项为( ) 4 4 4 A. ?15 x B. 15x C. ?20ix D. 20ix 4 【答案】A 【解析】由题可知, 2 4 2 x i ? ?15x4 含 x4 的项为 C6 选A π? ? 3. 为了得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点( ) 3? ? π π A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 3 3 π π C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度 6 6 【答案】D 【解析】由题可知, π? ? ? π ?? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ,则只需把 y ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位 3? 6 ?? 6 ? ? ? 选D 4. 用数字1,2,3,4,5构成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C.60 D.72 【答案】D 【解析】由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是1,3,5; 分为两步:先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 C1 3,
1 4 再将剩下的4个数字排列得到 A4 4 ,则满足条件的五位数有 C3 ? A 4 ? 72 . 选D

5.

某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基 础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份 是( ) (参考数据: lg1.12 ? 0.05 , lg1.3 ? 0.11 , lg 2 ? 0.30 ) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年

【答案】B 【解析】设 x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元
5

由题可知, 130 ?1 ? 12%? ? 200 ,
x

200 lg 2 ? lg1.3 ? ? 3.80 , 130 lg1.12 因资金需超过200万,则 x 取4,即2019年 选B

解得 x ? log1.12

6.

秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县) 他在所著的 《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法, 仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九 x的值分别为3, 2. 则 法求某多项式值的一个实例。 若输入n, v的值为( ) A.9 B.18 C.20 D.35 【答案】B 【解析】初始值 n ? 3, x ? 2 ,程序运行过程如下表所示 v ?1 i?2 v ? 1? 2 ? 2 ? 4 i ?1 v ? 4? 2 ?1 ? 9 i?0 v ? 9 ? 2 ? 0 ? 18 i ? ?1 跳出循环,输出 v ? 18 选B
? y ? x ? 1, ? 7. 设p:实数x,y满足 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ,q:实数x,y满足 ? y ? 1 ? x, 则p是q的( ? y ? 1, ? A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 【答案】 2 2 y 【解析】如图, ? x ? 1? ? ? y ? 1? ≤ 2 ① 表示圆心为 ?1,1? ,
2 2

人, 至今 韶算 输出



半径为 2 的圆内区域所有点(包括边界); ? y ≥ x ? 1, ? ? y ≥ 1 ? x, ② 表示 ?ABC 内部区域所有点(包括边界). ? y ≤1 ? 实数 x, y 满足②则必然满足①,反之不成立. 则 p 是 q 的必要不充分条件. 故选A

y = x ?1

A(0, 1)

? (1, 1)

C (2, 1)

y =1

B (1, 0)

O

x
y =1? x

设 O 为 坐标原 点, P 是 以 F 为焦 点的 抛物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上 任意 一点 , M 是 线段 PF 上的 点, 且 | PM |? 2 | MF | ,则直线OM斜率的最大值为( ) 2 3 2 A. B. C. D.1 3 3 2 【答案】C 8.
?y2 ? ?p ? 【解析】如图,由题可知 F ? , 0 ? ,设 P 点坐标为 ? 0 , y0 ? 2 ? ? ? 2p ?
6

y P ?

O

? F

?M

x

显然,当 y0 ? 0 时, kOM ? 0 ; y0 ? 0 时, kOM ? 0 ,要求 kOM 最大值,不妨设 y0 ? 0 . ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? ?y2 p y ? 则 OM ? OF ? FM ? OF ? FP ? OF ? OP ? OF ? OP ? OF ? ? 0 ? , 0 ? 3 3 3 3 ? 6p 3 3 ?

?

?

kOM ?

y0 3 y0 p ? 6p 3
2

?

2 y0 2 p ? p y0



2 2 2

?

2 ,当且仅当 y02 ? 2 p 2 等号成立 2

故选C 9.
?? ln x, 0 ? x ? 1, 设直线 l1 ,l2 分别是函数 f ( x) ? ? 图象上点 P1 ,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点P, 且 l1 , ?ln x, x ? 1, l2 分别与y轴相交于点A,B,则 △PAB 的面积的取值范围是( ) (0, 2) (0, ? ? ) 0,1 A. ? ? B. C. D. (1, ? ?)

【答案】A 【解析】由题设知: P x , y1 ? , P2 ? x2 , y2 ? ,其中 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 不妨设 P 1, P 2 点的坐标分别为: 1 ? 1
? 1 ? ,0 ? x ? 1 ? ? x f ' x ? , P ? ? 则由于 l1 , l2 分别是点 P 处的切线,而 , ? 1 2 ? 1 , x ?1 ? ? x 1 1 得: l1 的斜率 k1 为 ? , l2 的斜率 k 2 为 ; x1 x2 1 1 又 l1 与 l2 垂直,且 0 ? x1 ? x2 ,可得: k1 ? k1 ? ? ? ? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 x2 1 我们写出 l1 与 l2 的方程分别为: l1 : y ? ? ? x ? x1 ? ? ln x1 ① x1 1 l2 : y ? ? x ? x2 ? ? ln x2 ② x2

此时点 A 的坐标为 ? 0,1 ? ln x1 ? , B 的坐标为 ? 0, ?1 ? ln x2 ? , 由此可得: AB ? 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? ln ? x1 ? x2 ? ? 2 ①、②两式联立可解得交点 P 的横坐标为 x ?

?PAB 的面积为:

S?PAB

2 ? ln x1 x2 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 1 1 2 2 ? AB ? Px ? ? 2 ? ? ?1 2 2 x1 ? x2 x ? 1 , 1 x1

当且仅当 x1 ? 而 0 ? x1 ? 1 ,所以 S?PAB ? 1 故选A.

1 即 x1 ? 1 时等号成立 x1

7

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? 10. 在平面内,定点A,B,C,D满足 | DA | = | DB | = | DC | , DA ? DB ? DB ? DC ? DC ? DA ? ?2 ,动点P,M ??? ? ???? ? ???? ? ?????? ?2 满足 | AP | =1, PM ? MC ,则 | BM | 的最大值是( )

43 49 37 ? 6 3 37 ? 2 33 B. C. D. 4 4 4 4 【答案】B 【解析】由题意, ??? ? ??? ? ???? DA ? DB ? DC ,所以 D 到 A, B, C 三点的距离相等, D 是 ?ABC 的外心; ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? DA ? DB ? DB ? DC ? DC ? DA ? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? DA ? DB ? DB ? DC ? DB ? DA ? DC ? DB ? CA ? 0, 所以 DB ? AC ,
A.

?

?

同理可得, DA ? BC , DC ? AB 从而 D 是 ?ABC 的垂心; ? ?ABC 的外心与垂心重合,因此 ?ABC 是正三角形,且 D 是 ?ABC 的中心; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1? ??? ? DA ? DB ? DA DB cos ?ADB ? DA DB ? ? ? ? ? ?2 ? DA ? 2 ? 2? 所以正三角形 ?ABC 的边长为 2 3 ; y 我 们 以 A 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 , B, C , D 三 点 坐 标 分 别 为

P(cos ? ,sin ? ) C (3, 3) B 3, ? 3 , C 3, 3 , D ? 2,0 ? 。 ??? ? x 由 AP ? 1 ,设 P 点的坐标为 ? cos? ,sin ? ? ,其中 ? ??0,2π ? , A D ???? ? ???? ? 而 PM ? MC ,即 M 是 PC 的中点, B(3, ? 3) ? 3 ? cos? 3 ? sin ? ? , 可以写出 M 的坐标为 M ? ? ? ? 2 2 ? ? ?? ? 2 37 ? 12sin ? ? ? ? 2 ???? ? 2 6 ? 37 ? 12 49 ? 则 BM ? ? cos ? ? 3 ? ? ? 3 3 ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 4 4 4 ? ? ? ?

?

? ?

?

???? ?2 2 49 当 ? ? ? 时, BM 取得最大值 。 3 4 故选B.

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.

π π ? sin 2 = __________. 8 8 2 【答案】 2 π π π 2 【解析】由题可知, cos 2 ? sin 2 ? cos ? (二倍角公式) 8 8 4 2
11. cos2
8

12. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成 功次数X的均值是__________. 3 【答案】 2 【解析】由题可知, 1 1 3 在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为 P ? 1 ? ? ? 2 2 4 3 3 ? 3? ∵ 2次独立试验成功次数 X 满足二项分布 X ~ B ? 2, ? ,则 E ? X ? ? 2 ? ? 4 2 ? 4? 13. 已知三棱锥的四个面都是腰长为 2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是 __________. 3 【答案】 3 1 【解析】由题可知, ∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形, 3 3 由正视图可得如下俯视图, 且三棱锥高为 h ? 1 , 正视图 3 3

1
俯视图
1 1 ?1 3 ? 则面积 V ? Sh ? ? ? ? 2 3 ? 1? ? 1 ? 3 3 ?2 3 ? 14. 已知函数 f ( x) 是定义在R上的周期为2的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 4 x ,
? 5? 则 f ? ? ? ? f (1) ? __________. ? 2? 【答案】 ?2 【解析】首先, f ? x ? 是周期为2的函数,所以 f ? x ? ? f ? x ? 2? ; 而 f ? x ? 是奇函数,所以 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ,

所以: f ?1? ? f ? ?1? , f ?1? ? ? f ? ?1? ,即 f ?1? ? 0
1 1 ? 5? ? 1? ?1? 1 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ? , 0 ? ? 1 时, f ( ) ? 4 2 ? 2 2 ? 2? ? 2? ?2? 2 ? 5? ? 5? 故 f ? ? ? ? ?2 ,从而 f ? ? ? ? f ?1? ? ?2 ? 2? ? 2?

? y ?x ? , 2 15. 在平面直角坐标系中,当 P( x, y ) 不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P ' ? 2 2 2 ? ;当 P 是原 ?x ?y x ?y ? 点时,定义 P 的“伴随点”为它自身,平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C ' 定义为曲线 C 的“伴随曲线”,现有下列命题: ① 若点 A 的“伴随点”是点 A' ,则点 A' 的“伴随点”是点A; ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身; ③ 若曲线 C 关于 x 轴对称,则其“伴随曲线” C ' 关于 y 轴对称; ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 其中的真命题是__________(写出所有真命题的序号). 【答案】②③

9

? y ?x ? , 2 【解析】① 设 A 的坐标 ? x, y ? ,伴随点 A ' ? ? 2 2 2 ? , A' 的伴随点 ?x ?y x ?y ? ?x 2 x ? y2 ? ? x ,同理可得纵坐标为 ? y 2 2 横坐标为 ? y ? ? ?x ? ?? 2 ? 2 2 ? 2 ? ?x ?y ? ?x ?y ? 故 A '' ? ? ? x, ? y ? . 错误; ② 设单位圆上的点 P 的坐标为 ? cos? ,sin ? ? ,则 P 的伴随点的坐标为 ? π? π ?? ? ? P ' ? ? sin ? , ? cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ? , 2 2 ?? ? ? ? ?

π . 正确; 2 ③ 设曲线 C 上点 A 的坐标 ? x, y ? ,其关于 x 轴对称的点 A1 ? ? x, ? y ? 也在曲线 C 上
所以 P ' 也在单位圆上,即: P ' 点是 P 点延顺时针方向旋转
? y ?x ? , 2 的伴随点 A ' ? ? 2 2 2 ?, ?x ?y x ?y ? ? ?y ?x ? y 轴对称。正确; , 2 点 A1 的伴随点 A1 ' ? ? 2 1 ' 关于 2 2 ? , A' 与 A ?x ?y x ?y ?

所以点 A

④ 反例:例如 y ? 1 这条直线,则 A ? ? 0,1? , B ? ?1,1? , C ? ? 2,1? ,而这三个点的伴 下面给出

?1 1? ?1 2? 随点分别是 A ' ? ?1,0 ? , B ' ? ? , ? ? , C ' ? ? , ? ? ,而这三个点不在同一直线上 ?2 2? ?5 5? 严格证明: 设点 P( x, y ) 在直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , P 点的伴随点为 P ' ? ? x0 , y0 ? ,

? y0 y ? ? ?x ? x 2 ? y 2 ? x0 ? x 2 ? y 2 ? ? 0 0 . 则? ,解得 ? x0 ?y ? ? y ? ?x 0 ? ? x0 2 ? y0 2 x2 ? y 2 ? ? ? y0 x ? B 2 0 2 ?C ? 0, 带入直线方程可知: A 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0

化简得: ? Ay0 ? Bx0 ? C ( x02 ? y02 ) ? 0 , 当 C ? 0 时, C( x02 ? y02 ) 是一个常数, P ' 的轨迹是一条直线; 当 C ? 0 时, C( x02 ? y02 ) 不是一个常数, P ' 的轨迹不是一条直线. 所以,直线“伴随曲线”不一定是一条直线. 错误.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或步骤. 16. (本小题满分12分) 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案, 拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部 分按议价收费. 为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位: 吨),将数据按照 [0, 0.5) , [0.5, 1) ,…, [4, 4.5) 分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (I)求直方图中a的值; (II)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由; (III)若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
10

频率 组距 0.52 0.40 a 0.16 0.12 0.08 0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量(吨)

【解析】(I)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1 ∵频率=(频率/组距)*组距 ∴ 0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.4 ? 0.52 ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04 ? 2a ? ? 1 得 a ? 0.3 (II)由图,不低于3吨人数所占百分比为 0.5 ? ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04? =12% ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为: 30 ? 12%=3.6 (万) (III)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为: 0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52 ? ? 0.73 即 73% 的居民月均用水量小于2.5吨, 同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故 2.5 ? x ? 3 ?85% ? 73% ? ? 0.5 ? 2.9 (吨). 假设月均用水量平均分布,则 x ? 2.5 ? 0.5 ? 0.3 注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。

17. (本小题满分12分) 在 △ ABC 中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且

(I)证明: sin A sin B ? sin C ; 6 2 2 2 (II)若 b ? c ? a ? bc ,求 tan B . 5 a b c ? ? 【解析】(I)证明:由正弦定理 可知 sin A sin B sin C cos A cos B sin C ? ? ?1 原式可以化解为 sin A sin B sin C ∵ A 和 B 为三角形内角 , ∴ sin A sin B ? 0 则,两边同时乘以 sin A sin B ,可得 sin B cos A ? sin A cos B ? sin A sin B 由和角公式可知, sin B cos A ? sin A cos B ? sin ? A ? B ? ? sin ?? ? C ? ? sin C 原式得证。

cos A cos B sin C ? ? . a b c

6 b2 ? c 2 ? a 2 3 2 2 2 ? (II)由题 b ? c ? a ? bc ,根据余弦定理可知, cos A ? 5 2bc 5 ∵ A 为为三角形内角, A ? ? 0, ? ? , sin A ? 0

cos A 3 4 ? 3? ? 则 sin A ? 1 ? ? ? ? ,即 sin A 4 5 ?5?
11

2

由(I)可知 ∴ tan B ? 4 18. (本小题满分12分)

cos A cos B sin C cos B 1 1 ? ? ? 1 ,∴ ? ? sin A sin B sin C sin B tan B 4

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD / / BC , ?ADC ? ?PAB ? 90? , BC ? CD ? 异面直线PA与CD所成的角为 90 ? . (I)在平面PAB内找一点M,使得直线 CM / / 平面PBE, 并说明理由; (II)若二面角 P ? CD ? A 的大小为 45 ? ,求直线PA与 平面PCE所成角的正弦值.

1 AD ,E为棱AD的中点, 2

P

B A E

C

D

【解析】(I)延长 AB ,交直线 CD 于点 M , ∵ E 为 AD 中点, 1 ∴ AE ? ED= AD , 2 1 ∵ BC ? CD= AD , 2 ED ? BC ∴ , ∵ AD / / BC 即 ED / / BC , ∴四边形 BCDE 为平行四边形, BE / / CD , ∵ AB ? CD ? M , ∴ M ? CD , ∴ CM / / BE , ∵ BE ? 面 PBE , ∴ CM / / 面 PBE , ∵ M ? AB , AB ? 面 PAB , ∴ M ?面 PAB 故在面 PAB 上可找到一点 M 使得 CM / / 面 PBE . (II)过 A 作 AF ? EC 交 EC 于点 F ,连结 PF ,过 A 作 AG ? PF 交 PF 于点 G , ∵ ∠PAB ? 90? , PA 与 CD 所成角为 90? , ∴ PA ? AB , PA ? CD , ∵ AB ? CD =M , ∴ PA ? ABCD , ∵ EC ? 面 ABCD , ∴ PA ? EC , ∵ EC ? AF 且 AF ? AP ? A , ∴ CE ? 面 PAF , ∵ AG ? 面 PAF , ∴ AG ? CE , ∵ AG ? PF 且 AG ? AF ? A , ∴ AG ? 面 PFC , ∴ ∠APF 为所求 PA 与面 PCE 所成的角, ∵ PA ? 面 ABCD , ∠ADC =90? 即 AD ? DC . ∴ ∠PDA 为二面角 P ? CD ? A 所成的平面角, 由题意可得 ∠PDA=45? ,而 ∠PAD =90? , ∴ PA ? AD , ∵ BC ? CD ,四边形 BCDE 是平行四边形, ∠ADM =90? , ∴四边形 BCDE 是正方形,

12

∴ ∠BEC ? 45? , ∴ ∠AEF =∠BEC ? 45? , ∵ ∠AFE ? 90? , ∴ AF = ∴
2 AE , 2

2 AD AF 2, tan ∠APF = = 4 ? AP AP 4 1 ∴ sin∠APF = . 3

19. (本小题满分12分) 已知数列 {an } 的首项为1, Sn 为数列 {an } 的前n项和, Sn ?1 ? qSn ? 1 ,其中 q ? 0 , n ? N* . (I)若 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,求 a n 的通项公式;
n n y2 5 ? 1 的离心率为 en ,且 e2 ? ,证明: e1 ? e2 ? ??? ? en ? 4 ? 3 . 2 an 3 3n?1 【解析】(I)由题 Sn ?1 ? qSn ? 1 ---①可知 当 n ? 2 时, Sn ? qSn?1 ? 1 ---②,两式相减可得 an ?1 ? qan
2 (II)设双曲线 x ?

即 a n 从第二项开始为公比 q 的等比数列, 当 n ? 1 时,带入可得 a1 ? a2 ? qa1 ? 1 ,? a2 ? q ,即 a n 为公比 q 的等比数列 根据 2a2 , a3 , a2 ? 2 成等差数列,由等差数列性质可得 2a2 ? a2 ? 2 ? 3a2 ? 2 ? 2a3 1 即 2q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,求解可得 q ? 2 或 q ? ? 2 q ? 0 q ? 2 由题 可知, n ?1 ∴ an ? 2 , n ? N* (II)证明:由双曲线的性质可知, en ?
2 = 1 ? an 1 由(I)可得, a n 为首项为1,公比为 q 的等比数列 5 4 2 2 故 e2 ? 1 ? a2 ? 1 ? q ? ,即 q ? 3 3 n ?1 4 ?4? ∴ ?an ? 为首项为1,公比为 的等比数列,通项公式为 an ? ? ? , ?n ? N? ? 3 ?3? 2 12 ? an

?4? ∴ en ? 1 ? ? ? ?3?

2n?2

? 4? ? ? ? ? 3?

2n?2

? 4? ?? ? ? 3?

n ?1

?4? 1? ? ? 2 n ?1 n n 4 ?4? 4? ? ? 3? ? 4 ?3 ∴ e1 ? e2 ? e3 ? ... ? en ? 1 ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? 4 3 ?3? 3n ?1 ?3? 1? 3 . 原式得证

n

20. (本小题满分13分) x2 y 2 已 知 椭 圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 与 短 轴 的 一 个 端 点 是 直 角 三 角 形 的 3 个 顶 点 , 直 线 a b l : y ? ? x ? 3 与椭圆E有且只有一个公共点T. (I)求椭圆E的方程及点T的坐标;
13

(II)设O是坐标原点,直线 l ' 平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线 l交于点P. 证明:存在常数 ? ,使得 | PT |2 ? ? | PA | ? | PB | ,并求 ? 的值. 【解析】(I)设短轴一端点为 C (0, b) ,左,右焦点分别为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) (c ? 0) 则 c2 ? b2 ? a 2 . 由题意, △F1 F2C 为直角三角形.
2 2 ∴ | F1F2 |2 ?| FC 解得 b ? c ? 1 | ?| F 2C |

2 a, 2

x2 y2 ? ? 1. 2b2 b2 代入 l : y ? ? x ? 3 可得 3x 2 ? 12 x ? 18 ? 2b2 ? 0 . l 与椭圆 E 只有一个交点,则 ?=122 ? 4 ? 3(18 ? 2b2 ) ? 0 ,解得 b 2 =3 .
∴E: ∴E:

x2 y 2 ? ?1 . 6 3 由 b 2 ? 3 ,解得 x ? 2 ,则 y ? ? x ? 3 ? 1 ,所以 T 的坐标为 ? 2 , 1? 。
1 , l ' 平行 OT . 2
代入椭圆 E 得.

(II)设 P( x0 ,3 ? x0 ) 在 l 上,由 kOT ?
? x ? x0 ? 2t 得 l ' 的参数方程为 ? ? y ? 3 ? x0 ? t 2 ( x0 ? 2t ) ? 2(3 ? x0 ? t )2 ? 6 .

2 ? 4x0 ? 4 ? 0 . 整理可得 2t 2 ? 4t ? x0

设两根为 t A , t B 而 PT ?
PA ?
2

则有 t A ? t B ?

?

( x0 ? 2) 2 . 2

( x0 ? 2)2 ? (3 ? x0 ? 1)2
5t B .

?

2

? 2( x0 ? 2)2 ,

5t A , PB ?

5 5t A ? 5tB ? ( x0 ? 2)2 . 2 2 由题意 PT ? ? PA ? PB .
故有 PA ? PB ? ∴? ?

PT

2

PA ? PB

?

2( x0 ? 2)2 4 ? , 故存在这样的 ? . 5 ( x0 ? 2)2 5 2

21. (本小题满分14分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? a ? ln x ,其中 a ? R . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)确定a的所有可能取值,使得 f ( x) ?

( e ? 2.718 …为自然对数的底数). 1 2ax2 ? 1 ,x ? 0 【解析】(I)由题意, f ' ? x ? ? 2ax ? ? x x ①当 a ? 0 时, 2ax 2 ? 1 ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减.
? 1 ?? 1 ? ? 1 ? 2a ? x? x? ?? ? ? ?? 0, ②当 a ? 0 时, ,当 x ? ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ; 2a ?? 2a ? ? ? ? 2a ? f '? x? ? ? ? x
14

1 1? x ? e 在区间 (1, +?) 内恒成立 x

? 1 ? , ?? 当 x ?? ? ? 2a ? 时, f ' ? x ? ? 0 . ? ? ? ? 1 ? 1 ? 故 f ? x? 在 ? ? 0, 2a ? ? 上单调递减,在 ? ? 2a , ?? ? ? 上单调递增. ? ? ? ? 1 1? x (II)原不等式等价于 f ? x ? ? ? e ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立. x 1 1? x 1 1? x 2 一方面,令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? e ? ax ? ln x ? ? e ? a , x x x ? 1, ?? g x ? ? 上恒大于0即可. 只需 ? ? 在
又∵ g ?1? ? 0 ,故 g ' ? x ? 在 x ? 1 处必大于等于0. 1 1 1 1? x 令 F ? x ? ? g ' ? x ? ? 2ax ? ? 2 ? e , g ' ?1? ? 0 ,可得 a ? . x x 2 另一方面, 1 1 2 1 2 x3 ? x ? 2 1? x ?e 当 a ? 时, F ' ? x ? ? 2a ? 2 ? 3 ? e1? x ? 1 ? 2 ? 3 ? e1? x ? 2 x x x x x3 1 ∵ x ? ?1, ?? ? 故 x3 ? x ? 2 ? 0 ,又 e1? x ? 0 ,故 F ' ? x ? 在 a ? 时恒大于0. 2 1 ∴当 a ? 时, F ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 单调递增. 2 ∴ F ? x ? ? F ?1? ? 2a ? 1 ? 0 ,故 g ? x ? 也在 x ? ?1, ?? ? 单调递增. ∴ g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,即 g ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上恒大于0. 1 综上, a ? . 2

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