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甘肃省天水一中2013届高三上学期第一次学段考试数学(文)试题


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??

天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第一次检测考试
数学试题(文科) 命题:韩云亮 审核:张硕光 一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 1.定义集合运算: A ? B ? { z | z ? xy , x ? A, y ? B} ,设 A ? {1, 2}, B ? {0 , 2}

,则集合 A ? B 的真子 集个数为( A. 7 ) B. 8 C. 15 D. 16 )

2、 a ? 2 ” 是“函数 f ( x ) ? x ? a 在区间 [2, ?? ) 上为增函数”的( “ A.充分不必要条件 C.充要条件 3.
3 ? sin 70 ? 2 ? cos 10 ?
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?(



A.

2 2

B.

1 2

C. 2 ) C.第三象限

D.

3 2

4.点 P(tan2008?,cos2008?)位于( A.第一象限 B.第二象限
2

D.第四象限
x 。则下列函数图象(在第一象限部分)

5、已知函数① y ? 2 x ;② y ? log

x ;③ y ? x ? 1 ;④ y ?

从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是(



A.②①③④ B.②③①④ C.④①③② D.④③①②

, x?0 ? cos( ? x ) 4 4 6.已知 f ( x ) ? ? ,则 f ( ) ? f ( ? ) 的值为 ( 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1 , x ? 0



A. ? 2

B. ? 1

C.1

D.2

7.函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? A. y ? ? 4 sin( C. y ? ? 4 sin(
? 8 ? 8 x? x? ? 4 ? 4 ) )

?
2

, x ? R ) 的部分图象如图所示,则函数表达( ? 8 ? 8 x? x? ? 4 ? 4 ) )



B. y ? 4 sin( D. y ? 4 sin(

?

??
) D. 3 ?
3

8.在△ABC 中,如果 AB ? A. 3 ? 3

3, A ? 45 , B ? 75 , 那么 BC =(
? ?

B. 2

C. 2

9 f ( x )是定义在 R 上的偶函数 , 当 x ? 0时 , f ( x ) ? x ? f ?( x ) ? 0 , 且 f ( ? 4 ) ? 0 ,则不等式 xf ( x ) ? 0 的解集为( ) B. ( ? 4 ,0 ) ? ( 0 , 4 ) D. ( ?? , ? 4 ) ? ( 0 , 4 )

A. ( ? 4 ,0 ) ? ( 4 , ?? ) C. ( ?? , ? 4 ) ? ( 4 , ?? )

??? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? 10 ? ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , C A ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ?
1? 1? A. a ? b 3 3

B.

2? 2? a? b 3 3

C.

3? 3? a? b 5 5

D.

4? 4? a? b 5 5

? a x ( x ? 1) ? 11. f ( x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 ( a ( 4 ? ) x ? 2 ( x ? 1) ? 2 ?



A. (1,+∞)

B. (4,8)

C. [4, 8)

D. (1,8)

12.对于函数 f ( x ) 定义域中任意的 x1 , x 2 ( x1 ≠ x 2 ). ⑴ f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x 2 ) ; ⑶
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ?0;

⑵ f ( x1 x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ⑷f(
x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

当 f ( x ) ? 2 x 时,上述结论中正确结论的序号是( A. (2) (4) (1) B. (3) (1) (4)

) C. (3) (2) D. (4) (1)

二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13.已知命题 P: ? x ? R , sin x ? 1 ,则 ? P 是
0

.

14.已知向量 a , b 夹角为 45 ,且| a |=1,| 2 a ? b |= 10 ,则| b |=_______.

15.已知函数 y ? f ( x )( x ? R ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) 且 x ? [ ? 1,1]时 , f ( x ) ? | x | , y ? f ( x ) 与 则

y ? log 5 x 的图象的交点个数是
16.设函数 f ( x ) ? cos( 2 x ?

.

?
3

) ? 1, 有以下结论:

?

??

①点( ?

5 12

? , 0 )是函数 f ( x ) 图象的一个对称中心;
是函数 f ( x ) 图象的一条对称轴;

②直线 x ?

?
3

③函数 f ( x ) 的最小正周期是 ? ; ④将函数 f ( x ) 的图象向右平移

?
6

个单位后,对应的函数是偶函数。

其中所有正确结论的序号是 。 三、解答题(本题满分 70 分, 解答应写出必要的文字说明,推演过程及演算步骤) 17. (10 分)已知集合 A ? { x x ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? { x
2

x ?1 x?4

? 0} , C ? { x x ? bx ? c ? 0}
2

(1)求 A ? B (2)若 ( A ? B ) ? C ? ? , ( A ? B ) ? C ? R , 求 b ? c
?? 18. (12 分)已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? ( a , b ) , ? n?( s iB n ? ? , s, p ? () ? 2, a ? 2) . Ai n b

?? ? (1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形;

?? ?? ? (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = ,求Δ ABC 的面积 . 3

19. (12 分)(1)已知 ? 、 ? 为锐角,且 cos ? ?

1 7

, cos( ? ? ? ) ? ?

11 14

,求 ? ;

(2)已知 tan(

?
4

??) ?

1 2

,求

sin 2? ? cos ?
2

1 ? cos 2?

的值.
2 2 ?1
x

20. (12 分)设 a 是实数,定义在 R 上的函数 f ( x ) ? a ? (1)若 f ( x ) 为奇函数,求 a 的值; (2)证明:对于任意实数 a , f ( x ) 是增函数.

.

21. (12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin (Ⅰ)若 f (? ) ?
2 4
x 2 cos x 2 ? cos
2

x 2

?

1 2

.

, ? ? ( 0 , ? ) ,求 ? 的值;

?

??

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 ? ?
?

?

?

? , ? ? 上最大值和最小值. 4 ?

22. (12 分)设函数 f ( x ) ? tx 2 ? 2 t 2 x ? t ? 1( x ? R, t ? 0) 。 (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值 h ( t ) ;
2) (Ⅱ)若 h (t ) ? ? 2 t ? m 对 t ? (0, 恒成立,求实数 m 的取值范围.

天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第二次检测考试答案
数学(文科)

?

??

一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 1.A 2.A 3. C 4.D 5.D 6.C 7.A 8.B 9.D10. D 11.C 12. B 二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13. ? x ? R , sin x ? 1 14.| b |= 3 2 15.4 16.②③④

三、解答题(本题满分 70 分) 17. (1) ? A ? { x ? 3 ? x ? 1}, B ? { x 1 ? x ? 4}
? A ? B ? { x ? 3 ? x ? 4} (2)由 ( A ? B ) ? C ? ? , ( A ? B ) ? C ? R , 得 C ? { x x ? -3 或 x ? 4},



? 3 ? 4 ? ? b , ? 3 ?4 ? c ? b ? ? 1, c ? ? 12 ? b ? c ? ? 13

u v v 18.证明: (1) Q m // n ,? a sin A ? b sin B ,

,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ? ABC 为等腰三角形 u u v v 解(2)由题意可知 m // p ? 0, 即 a ( b ? 2) ? b ( a ? 2) ? 0
? a ? b ? ab

即a?

a

? b?

b

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由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? ( a ? b ) ? 3 ab
2 2 2

即 ( ab ) ? 3 ab ? 4 ? 0
2

? ab ? 4( 舍 去 ab ? ? 1)
?S ? 1 2 ab sin C ?

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1 2

? 4 ? sin

?
3

? 1 7

3 , cos( ? ? ? ) ? ? 11 14

19.(1)? ? 、 ? 为锐角,且 cos ? ?
4 3 7

? sin ? ?

, sin( ? ? ? ) ?

5 3 14 3 2

? sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ? ?

又 ? 为锐角,故 ? ? (2)? tan(

?
3

?
4

??) ?

1 2

?? 1 ? ? ? tan ? ? tan ? ( ? ? ) ? ? ? ? 4? 3 ? 4

?

??
? tan ? ? 1 2 ?? 5 6



sin 2? ? cos ?
2

1 ? cos 2?

?

2 sin ? cos ? ? cos ?
2

2 cos ?
2

20、 (12 分) 解: (1)∵ f ( x ) 为奇函数
2 2
?x

? f (? x) ? ? f ( x)

又 f (? x) ? a ?
x ?1 x

?1

?a?

2

x ?1 x

1? 2

, ? f ( x) ? ?a ?

2 2 ?1
x



∴a ?

2

1? 2

? ?a ?

2 2 ?1
x

,即

2( a ? 1)(2 ? 1)
x

2 ?1
x

? 0 ,∴ a ? 1 ? 0 .

? 当 a ? 1 时,此时 f ( x ) ? a ?

2 2 ?1
x

为奇函数

(另解:利用 f ( x ) 定义域为 x ? R 且为奇函数,则有 f ( 0 ) ? 0 ,易得 a ? 1 ) (2)设 x 2 ? x1 ,则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ( a ?
x

2 2
x2

?1

) ? (a ?

2 2 1 ?1
x
x

)?

2(2 (2
x2

x2

? 2 1)
x x

? 1)(2 1 ? 1)

∵ y ? 2 为增函数,且 2 x ? 0 ,? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 , (2 ∴ f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) . 故对任何实数 a , f ( x ) ? a ? 21.解: (1) f ( x ) ?
1 2 sin x ?
2 2

x2

? 1)(2 1 ? 1) ? 0 ,

2 2 ?1
x

在 R 上均为增函数.
? 1 2
2 4

1 ? cos x 2

?

1 2

(sin x ? cos x ) ?

2 2

sin( x ?

?
4

)

由题意知 f (? ) ? 即 sin( ? ?
?
4 )? 1 2

sin( ? ?

?
4

)?

∵ ? ? (0, ? ) 即 ? ? ∴? ?
?
4 ? 5? 6 ?

?
4 ?

?(

? 5?
4 , 4 ?

) 7? 12

?

(2)∵

?
4

?? ??


2 2

0?? ?

?
4

?

5? 4 1 2 .

∴ f ( x ) max ? f ( ) ?
4

?



f ( x ) min ? f (? ) ? ?

22、 (12 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? t ( x ? t ) ? t ? t ? 1( x ? R, t ? 0) ,
2 3 3 ∴当 x ? ? t 时, f ( x ) 取最小值 f ( ? t ) ? ? t ? t ? 1 ,

?

??

即 h (t ) ? ? t 3 ? t ? 1 . (Ⅱ)令 g (t ) ? h ( t ) ? ( ? 2 t ? m ) ? ? t 3 ? 3t ? 1 ? m , 由 g ?( t ) ? ? 3t 2 ? 3 ? 0 得 t ? 1 , t ? ? 1 (不合题意,舍去) . 当 t 变化时 g ?( t ) , g ( t ) 的变化情况如下表:
t
g ?( t )
g (t )

(0, 1)

1

(1, 2)

?
递增

0
极 大 1? m 值

?
递减

2) ∴ g ( t ) 在 (0, 内有最大值 g (1) ? 1 ? m .

h ( t ) ? ? 2 t ? m 在 (0, 内恒成立等价于 g ( t ) ? 0 在 (0, 内恒成立, 2) 2)

即等价于 1 ? m ? 0 , 所以 m 的取值范围为 m ? 1 .


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