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上海市大同中学2016届高三上学期10月月考数学试题


2016 届大同中学高三数学 10 月考试试题
班级
内 1.集合 A ? {( x, y) | y ? x, x ? R}, B ? {( x, y) | y ? x , x ? R} ,则 A ? B =
2

2015 年 10 月 9 日

姓名

学号

成绩

一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,将结果直接填写在答题纸相应的空格

.

2. 已知命题: “非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题.给出下列四个命题: ① M 的元素不都是 P 的元素; ③ M 中有 P 的元素; 其中真命题的序号是 ② M 的元素都不是 P 的元素; ④ 存在 x ? M ,使得 x ? P . . (将正确命题的序号都填上)

3. 已知 x、 y 均是正实数,且 2 x ? y ? 1 ,则

1 1 的最小值是 ? x y



4. 若不等 式 | 3x ? b |? 4 的 解集中 的整 数有 且仅有 0 、 1 、 2 , 则 实数 b 的取 值范围 为 5. . 已 知 函 数 f ( x) ? a log2 x ? b log3 x ? 2

(a, b为实常数), 且 f ( 1

2015

)? 4, 则

f (2015) 的值为



6.函数 y=3?|x?1|?m 的图象与 x 轴有交点时,m 的取值范围是 . 7.对于定义在 R 上的函数 f(x) ,若实数 x0 满足 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 f(x)的一个不 2 动点.若二次函数 f(x)=x +ax+1 没有不动点,则实数 a 的取值范围是 . 8. 对 于 在 区 间 [ a , b ] 上 有 意 义 的 两 个 函 数 f ( x) 和 g ( x) , 如 果 对 任 意 x ? [a , b] , 均 有

| f ( x) ? g ( x) |? 1 , 那 么 我 们 称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a , b] 上 是 接 近 的 . 若

f ( x) ? log2 (kx ? 1) 与 g ( x) ? log 2 x 在闭区间 [1 , 2] 上是接近的,则实数 k 的一个可能
值是 .

9.若椭圆两焦点为 F 且△PF1F2 的面积的最大值为 12, 则此椭 1 (?4,0), F2 (4,0) 点 P 在椭圆上, 圆 的方程是 .

10.设正数数列{an}前 n 项和为 Sn,且对所有自然数 n,有 Sn ?

1 ? an ,则 Sn= 2



3 11. (理) 已知函数 f ( x) ? x ? x ,关于 x 的不等式 f (mx ? 2) ? f ( x) ? 0 在区间 [1, 2] 上

有解,则实数 m 的取值范围为



(文)已知函数 f ?x? ? x ? a , g ?x? ? x 2 ? 2ax ? 1( a 为正常数) ,且函数 f ?x ? 与 g ?x ? 的 图像,在 y 轴上的截距相等,则 a 的值为 12.(理)将全体正整数排成一个三角形数阵: .

1 2 4 5 3 6

7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行( n ≥3)从左向右的第 3 个数为



(文)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? 13.(理) 集合 A={ t | t ? Z , 且关于 x 的不等式 x2 ? 2 ? x ? t 至少有一个负数解 },则集合

A 中的元素之和等于
(文) 已知 f ( x) ?



x 2 ? 6x ? 3 , 且定义域为 ?0,1? , 则函数 f ( x ) 的最小值为 x ?1

.

14. (理)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b ? P ,都有 a+b、a?b, ab、

a ?P(除数 b≠0) ,则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F ? a ? b 2 a, b ? Q b

?

?

也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域;③数 域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 题的序号填填上) (文)若 f ( x) ? a sin( x ? 是_ . (把你认为正确的命

?
4

) ? b sin( x ?

?
4

)( ab ? 0) 是偶函数, 则有序实数对 ( a, b) 可以
.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,在答题纸上将代表正确答案的小方格涂


15.若x, y ? R,则“x2 ? y 2”是“x ? y”的 (

) D. 既不充分也不必要条

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 件 16. 设 f ? x ? ? ( ) A. ?

1? x , 记 f1 ? x ? ? f ? x ? , fk ?1 ? x ? ? f ? f k ? x ?? , k ? 1,2,?, 则 f 2015 ? x ? ? 1? x
B. x

x ?1 1? x D. x ?1 1? x 17. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x )? f (3) 成立,若 1 x
C.

f (0) ? 1 ,则 f (2016) 的值为 (
A.0 B.1

) D.2016

C.2015

18. 不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 对任意 x ??1, 2? 及 y ?? 2,3? 恒成立,则实数 a 的范围是 ( A. ?1 ? a ? ?

)

35 9

B. a ? ?3

C. a ? ?1

D. ?3 ? a ? ?1

三、解答题(本大题满分 74 分) 本大题共有 5 题,须在答题纸的规定区域内写出必要的步
骤 19. (本题满分 12 分)已知向量 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,函数

?

?

? ? f ( x) ? a ? b .
(1)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (2)若 f (? ) ? 解:

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?

20. (本题满分 12 分)关于 x 的不等式

3 ? 1 ( x ? Z ) 的解集为 A,关于 x 的方程 x

x2 ? mx ? 2 ? 0
(1)求集合 A;

(m ? R) 的解集为 B.

(2)若 B ? A ? B ,求实数 m 的取值范围. 解:

21. (本题满分 14 分) 过点 A(0, a ) 作直线交圆 M: ( x ? 2) ? y ? 1 于点 B、C ,
2 2

(理)在 BC 上取一点 P ,使 P 点满足: AB ? ? AC , BP ? ? PC, (? ? R) (文)在线段 BC 取一点 P ,使点 B、P、C 的横坐标的倒数成等差数列

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)若(1)的轨迹交圆 M 于点 R、S ,求 ?MRS 面积的最大值. 解:

22. (本题满分 18 分)函数 y ? f ( x) 的定义域 D ? {x | x ? R, 且x ? 0} ,对定义域 D 内任 意两个实数 x1 , x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 x2 ) 成立. (1)求 f (?1) 的值并证明 y ? f ( x) 为偶函数; (2) 若 f (?4) ? 4 ,记 an ? (?1)n ? f (2n ) 和 S2015 ;
2 2 (3) (理) 若 x ? 1时,f ( x) ? 0 ,且不等式 f ( x ? y ) ? f ( xy ) ? f (a ) 对任意正实数

(n ? N , n ? 1) ,求数列 ?an ? 的前 2015 项的

x , y 恒成立,求非零实数 a 的取值范围.
(文)若 x ? 1时,f ( x) ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x ? 3) ? 0 . 解: .

23. (本题满分 18 分) 第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
2 已知二次函数 f ( x) ? x ? x 的定义域 D 恰是不等式 f (? x) ? f ( x) ? 2 | x | 的解集,其

值域为 A . 函数

g ( x ) ? x 3 ? 3tx ?

1 t 2 的定义域为 [0,1] ,值域为 B .

(1) 求 f (x) 的定义域 D 和值域 A; (2) (理) 试用函数单调性的定义解决下列问题:

若存在实数 x0 ? (0,1) ,使得函数

g ( x ) ? x 3 ? 3tx ?

1 t 2 在 [0, x0 ] 上单调递

减,在 [ x0 ,1] 上单调递增,求实数 t 的取值范围并用 t 表示 x0 . (3) (理) 是否存在实数 t,使得 A? B 成立?若存在,求实数 t 的取值范围;若不存在, 请说明理由. (2) (文) 是否存在负实数 t,使得 A? B 成立?若存在,求负实数 t 的取值范围;若不存 在,请说明理由. (3) (文) 若函数 围. 解: .

g ( x ) ? x 3 ? 3tx ?

1 t 2 在定义域 [0,1]上单调递减,求实数 t 的取值范


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