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高三数学复习教案集导数及其应用(有答案) 2


高三复习教案集

导数及其应用
考纲导读 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等) ;掌握函 数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(c, x (m 为有理数), sin
m

x , cos x , e , a , ln x , log<

br />
x

x

a

x

的导数);掌握两个函

数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系; 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 知识网 络

导数的概念

导数的求法 导数

和、差、积、商、复合函数的导数

函数的单调性

导数的应用

函数的极值

函数的最值

高考导航 导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇到有 关问题要能自觉地运用导数.

第 1 课时

变化率与导数、导数的计算

基础过 关 1.导数的概念:函数 y= f ( x ) 的导数 f ? ( x ) ,就是当 Δ 增量 Δ
x

x ?

0 时,函数的增量 Δ y 与自变量的 .

的比 ? y 的
?x

,即 f ? ( x ) =



2.导函数:函数 y= f ( x ) 在区间(a, b)内 内 的导函数

的导数都存在,就说 f ( x ) 在区间( a, b )
f (x)

, 其导数也是(a ,b )内的函数, 叫做
f ?( x )



, 记作 f ? ( x ) 或 y ?x , 函数

f (x)

在 x ? x 0 时的函数值

,就是

f (x)

在 x 0 处的导数.

3.导数的几何意义:设函数 y= f ( x ) 在点 x 0 处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲 线在相应点 M ( x 0 , y 0 ) 处的 4.求导数的方法 (1) 八个基本求导公式 n ( x )? = ; (C ) ? = , (cos x ) ? = (sin x ) ? = x (e )? = , ( a x )? =
(ln x ) ?

.

;(n∈Q)





(log

a

x )?

= =
(v ? 0)

(2) 导数的四则运算 (u ? v )? =
( uv ) ?

[ Cf ( x ) ] ?



, ( uv ) ? =

(3) 复合函数的导数 设 u ? ? ( x ) 在点 x 处可导, y ? = ,即 y ?x
? ? yu ? u? x

f (u )

在点 u ? ? ( x ) 处可导,则复合函数 f [? ( x )] 在点 x 处可导, 且 f ? ( x )

.

典型例 题 例 1.求函数 y= 解 ∵Δ y=

x

2

?1

在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率.
x0 ? 1 ?
2

( x0 ? ?x)

2

?1 ?

( x0 ? ?x) ( x0 ? ?x)

2 2

? 1 ? x0 ? 1 ?1 ? x0 ? 1
2

2

?

2 x0 ? x ? (? x ) ( x0 ? ? x )
2

2

,?
2 x0

?y ?x

?

2 x0 ? ? x ( x0 ? ? x )
2

. x0 ? 1
2

?1 ?

?1

?1 ?

变式训练 1. 求 y= 解
lim
?x? 0

x

在 x=x0 处的导数.?
x0 ?x ? lim
?x? 0

?y ?x

? lim
?x? 0

x0 ? ?x ?

(

x0 ? ?x ? ?x(

x 0 )(

x0 ? ?x ? x0 )

x0 )

x0 ? ?x ?

? lim
?x ? 0

1 x0 ? ?x ? x0

? 2

1 x0

.

例 2. 求下列各函数的导数: (1) y ?
x ? x
5 2

? sin x

;

(2) y ? ( x ? 1)( x ? 2 )( x ? 3 );
x ? ?; 4?

x

(3) y ? ? sin

x? ? 1 ? 2 cos 2?
1

2

(4) y ?
3 2

1 1? x

?

1 1? x

.



(1)∵ y ?
? 3 2

x

2

? x

5 2

? sin x

? x

?

? x

3

?

sin x x
2

,

x

∴y′ ? ( x

)? ? ( x )? ? ( x

3

?2

sin x ) ? ? ?

3 2

?

5 2

x

? 3x

2

? 2x

?3

sin x ? x

?2

cos x .

(2)方法一 方法二
y?

y=(x2+3x+2) (x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.

= ?( x ? 1 )( x ? 2 ) ?? ( x ? 3 ) ? ( x ? 1 )( x ? 2 )( x ? 3 ) ?

=(? x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? ( x ? 1)( x ? 2 ) ?? (x+3)+(x+1) (x+2) =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2)=3x2+12x+11.? (3)∵y= ? sin ∴ y ? ? ? 1 sin ?
? 2

x? x? 1 sin x , ? ? cos ? ? 2? 2? 2

? 1 1 ? x? ? (sin x ) ? ? cos x . 2 2 ?

(4) y ? ∴ y? ? ? ?

1 1? x

? 1?

1 x

?

1? (1 ?

x ?1? x )( 1 ?

x x)

?

2 1? x



? ? 2 (1 ? x ) ? 2 ? ? . ? ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) ?1? x ? 2

变式训练 2:求 y=tanx 的导数. 解 y′ ? ? sin ?
? 2 x ? (sin x ) ? cos x ? sin x (cos x ) ? cos x ? sin ? ? ? 2 2 cos x cos x ? cos x ?
4 3 .
2

x

? cos

1
2

. x

例 3. 已知曲线 y= 1 x 3 ?
3

?

(1)求曲线在 x=2 处的切线方程;? (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解 (1)∵y′=x2,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y ? |x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= 1 x 3 ? 4 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A ? x 0 , 1 x 03 ? ?
3 3

? ,

?

3

4? ? 3?

则切线的斜率 k= y ? |

x ? x0

=x .
2 0

∴切线方程为 y ? ? 1 x 03 ? ?
?3

4? 2 ? ? x 0 ( x ? x 0 ), 3?

即y?
2 3
3

x0 ? x ?
2

2 3

x0 ?
3

4 3

.

∵点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x 02 ?

x0 ?

4 3

,

即 x 03 ? 3 x 02 ? 4 ? 0 ,? x 03 ? x 02 ? 4 x 02 ? 4 ? 0 , ∴ x 02 ( x 0 ? 1) ? 4 ( x 0 ? 1)( x 0 ? 1) ? 0 , ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 变式训练 3:若直线 y=kx 与曲线 y=x3-3x2+2x 相切,则 k= 答案 2 或?
1 4

.

例 4. 设函数 f ( x ) ?

ax ?

1 x ? b

(a,b∈Z),曲线 y ?

f (x)

在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线方程为 y=3.

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x ) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并 求出此定值. (1)解
f ?( x ) ? a ? 1 (x ? b)
2


9 ? , ?a ? ? 4 ? ?b ? ? 8 . ? 3 ?

于是

1 ? ? 3, ?2a ? 2 ? b ? ? 1 ?a ? ? 0, 2 ? (2 ? b) ?

解得

? a ? 1, ? ? b ? ? 1,



因为 a,b ? Z,故 f ( x ) ? (2)证明 由 f ?( x
2

x?

1 x ?1

.

在曲线上任取一点 ? x ?
?
1 ( x 0 ? 1)
2

?

0

, x0 ?

? ? x0 ? 1 ? ? 1



0

) ?1?

知,过此点的切线方程为
? ?(x ? x0 ) ?

y?

x0 ? x0 ? 1 x0 ? 1

? 1 ? ?1 ? 2 ( x 0 ? 1) ?
x0 ? 1 x0 ? 1


? ? ?1? 0 ? x0 ? 1 ? ?

令 x=1,得 y ?

,切线与直线 x=1 交点为 ? 1, x ?

. .

令 y=x,得 y ? 2 x

0

?1

,切线与直线 y=x 的交点为 ( 2 x

0

? 1, 2 x 0 ? 1 )

直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1). 从而所围三角形的面积为 1
x0 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 1 2 2 x0 ? 1 2 x0 ? 2 ? 2



所以,所围三角形的面积为定值 2. 变式训练 4:偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0,1) ,且在 x=1 处的切线方程 为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式.? 解 ∵f(x)的图象过点 P(0,1) ,∴e=1. ①? 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x).? 故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.? ∴b=0,d=0. ②? 4 2 ∴f(x)=ax +cx +1.? ∵函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,∴可得切点为(1,-1).? ∴a+c+1=-1. ③? 3 ∵ f ? (1) =(4ax +2cx)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1. ④?

由③④得 a= 5 ,c= ? 9 .?∴函数 y=f(x)的解析式为 f ( x ) ?
2 2

5 2

x

4

?

9 2

x

2

? 1.

小结归纳 1.理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2.要熟记求导公式,对于复合函数的导数要层层求导. 3.搞清导数的几何意义,为解决实际问题,如切线、加速度等问题打下理论基础.

第 2 课时
基础过 关 1. 函数的单调性 ⑴ 函数 y=
f (x)

导数的概念及性质

在某个区间内可导,若

f ?( x )

>0,则

f (x)



;若

f ?( x )

<0,则

f (x)

为 .(逆命题不成立) (2) 如果在某个区间内恒有 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) . 注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数 f ( x ) 的 ; ② 求 f ? ( x ) ,令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; ③ 把函数 f ( x ) 的间断点(即 f ( x ) 的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f ( x ) 的定义区间分成若干个小区间; ④ 确定 f ? ( x ) 在各小开区间内的 ,根据 f ? ( x ) 的符号判定函数 f ( x ) 在各个相应小开区间 内的增减性. 2.可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数
f (x)

在点 x 0 附近有定义, 且对 x 0 附近的所有点都有

(或

) ,则称

f (x0 )

为函数的一个极大(小)值.称 x 0 为极大(小)值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤: ① 求导数 f ? ( x ) ; ② 求方程 f ? ( x ) =0 的 ; ③ 检验 f ? ( x ) 在方程 f ? ( x ) =0 的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那 么函数 y= f ( x ) 在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为负,右侧为正,那么函数 y = f ( x ) 在这个根处取得 . 3.函数的最大值与最小值: ⑴ 设 y=
f (x)

是定义在区间[a ,b ]上的函数,y= f ( x ) 在(a ,b )内有导数,则函数 y= f ( x ) 在

[a ,b ]上 有最大值与最小值;但在开区间内 有最大值与最小值. (2) 求最值可分两步进行: ① 求 y= f ( x ) 在(a ,b )内的 值; ② 将 y= f ( x ) 的各 值与 f ( a ) 、 f (b ) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值. (3) 若函数 y= f ( x ) 在[a ,b ]上单调递增,则 f ( a ) 为函数的 , f (b ) 为函数的 ; 若函数 y=
f (x)

在[a ,b ]上单调递减,则

f (a )

为函数的



f (b )

为函数的

.

典型例题 例 1. 已知 f(x)=ex-ax-1.? (1)求 f(x)的单调增区间;?

(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围;? (3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求 出 a 的值;若不存在,说明理由. 解: f ? ( x ) =ex-a.? (1)若 a≤0, f ? ( x ) =ex-a≥0 恒成立,即 f(x)在 R 上递增.? 若 a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).? (2)∵f(x)在 R 内单调递增,∴ f ? ( x ) ≥0 在 R 上恒成立.? ∴ex-a≥0,即 a≤ex 在 R 上恒成立.? ∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0.? (3)方法一 由题意知 ex-a≤0 在(-∞,0]上恒成立.? ∴a≥ex 在(-∞,0]上恒成立.∵ex 在(-∞,0]上为增函数.? ∴x=0 时,ex 最大为 1.∴a≥1.同理可知 ex-a≥0 在[0,+∞)上恒成立.? ∴a≤ex 在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1.? 方法二 由题意知,x=0 为 f(x)的极小值点.∴ f ? ( 0 ) =0,即 e0-a=0,∴a=1. 变式训练 1. 已知函数 f(x)=x3-ax-1.? (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围;? (2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存 在,说明理由;? (3)证明:f(x)=x3-ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方.? (1)解 由已知 f ? ( x ) =3x2-a,∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,? ∴ f ? ( x ) =3x2-a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立,即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立.? ∵3x2≥0,∴只需 a≤0,又 a=0 时, f ? ( x ) =3x2≥0,? 故 f(x)=x3-1 在 R 上是增函数,则 a≤0.? (2)解 由 f ? ( x ) =3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立,得 a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.? ∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需 a≥3.当 a=3 时, f ?( x ) =3(x2-1),? 在 x∈(-1,1)上, f ? ( x ) <0,即 f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3.? 故存在实数 a≥3,使 f(x)在(-1,1)上单调递减.? (3)证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线 y=a 的上方. 例 2. 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x) 在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0, x= 2 时, 若
3

y=f(x)有极值. (1)求 a,b,c 的值;? (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f ? ( x ) =3x2+2ax+b,? 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0 当 x= 2 时,y=f(x)有极值,则
3

①? ②?

? 2 ? f ?? ? ? 3 ?

=0,可得 4a+3b+4=0

由①②解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4.? ∴1+a+b+c=4.∴c=5.? (2)由(1)可得 f(x)=x3+2x2-4x+5,∴ f ? ( x ) =3x2+4x-4,? 令
f ?( x )

=0,得 x=-2,x= 2 .?
3

当 x 变化时,y,y′的取值及变化如下表:

x y′ y

-3

(-3,-2) + 单调递增 ↗

-2 0 13

2 ? ? ? ? 2, ? 3 ? ?

2 3

? 2 ? ? ,1 ? ? 3 ?

1

8

单调递减 ↘
. 27

0
95 27

+ 单调递增 ↗

4

∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 95

变式训练 2. 函数 y=x4-2x2+5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解 先求导数,得 y′=4x3-4x,令 y′=0,即 4x3-4x=0.解得 x1=-1,x2=0,x3=1.? 导数 y′的正负以及 f(-2),f(2)如下表:? x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ 0 + 0 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知,当 x=±2 时,函数有最大值 13,当 x=±1 时,函数有最小值 4. 例 3. 已知函数 f(x)=x2e-ax (a>0),求函数在[1,2]上的最大值. 解 ∵f(x)=x2e-ax(a>0),∴ f ? ( x ) =2xe-ax+x2·(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令
f ?( x )

>0,即 e-ax(-ax2+2x)>0,得 0<x< 2 .?
a

∴f(x)在(-∞,0), ? 2 , ?? ? 上是减函数,在 ? 0 , 2 ? 上是增函数.? ? ? ? ?
? a ? ? a ?

①当 0< 2 <1,即 a>2 时,f(x)在(1,2)上是减函数,?
a

∴f(x)max=f(1)=e-a. ②当 1≤ 2 ≤2,即 1≤a≤2 时,?
a

f(x)在 ? 1, 2 ? 上是增函数,在 ? 2 , 2 ? 上是减函数,? ? ? ? ?
? a ? ? a ?

∴f(x)max=f ? 2 ? =4a-2e-2. ? ?
? a ?

③当 2 >2 时,即 0<a<1 时,f(x)在(1,2)上是增函数,?
a

∴f(x)max=f(2)=4e-2a.? 综上所述,当 0<a<1 时,f(x)的最大值为 4e-2a,? 当 1≤a≤2 时,f(x)的最大值为 4a-2e-2,? 当 a>2 时,f(x)的最大值为 e-a. 变式训练 3. 设函数 f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中 a∈R.? (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的极大值和极小值.? 解: (1)当 a=1 时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,? f(2)=-2, f ? ( x ) =-3x2+4x-1,? f ? ( 2 ) ? -12+8-1=-5,? ∴当 a=1 时,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为? 5x+y-8=0.? (2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,?

f ?( x )

=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),? =0,解得 x= a 或 x=a.?
3



f ?( x )

由于 a≠0,以下分两种情况讨论.? ①若 a>0,当 x 变化时, f ? ( x ) 的正负如下表:? x
f ?( x )

(-∞, a )
3

a 3

( a ,a)
3

a 0 0

(a,+∞) ↘



0
? 4 27 a
3

+ ↗

f(x)

因此,函数 f(x)在 x= a 处取得极小值 f( a ) ,?
3 3

且 f( a )=3

4 27

a ;

3

?

函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=0.? ②若 a<0,当 x 变化时, f ? ( x ) 的正负如下表:? x
f ?( x )

(-∞,a) ↘

a 0 0

(a, a )
3

a 3

( a ,+∞)
3

+ ↗

0 4 27 a
3



f(x)

因此,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 f(a),且 f(a)=0;? 函数 f(x)在 x= a 处取得极大值 f( a ),?
3 3
3

且 f( a )=3

4 27

a

.

例 4. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (3≤a≤5) 的管理费, 预计当每件产品的售价为 x 元 (9≤x≤11) 一年的销售量为(12-x)2 时, 万件.?(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式;? (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 解 (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x)2,x∈ [9,11].? (2) L ?( x ) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).? 令 L ? =0 得 x=6+ 2 a 或 x=12(不合题意,舍去).?
3

∵3≤a≤5,∴8≤6+ 2 a≤ 28 .?
3
3

在 x=6+ 2 a 两侧 L′的值由正变负.?
3

所以①当 8≤6+ 2 a<9 即 3≤a< 9 时,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).?
3 2

②当 9≤6+ 2 a≤ 28 ,即 9 ≤a≤5 时,?
3
3

2

Lmax=L(6+ 2 a)=(6+ 2 a-3-a)[12-(6+ 2 a)]2=4(3- 1 a)3.?
3 3 3 3

所以

? ? 9 ( 6 ? a ), ? Q (a ) ? ? 3 1 ? ? ? 4? 3 ? a ? , ? ? 3 ? ?

3? a ? 9 2

9 2

,

? a ? 5.



若 3≤a< 9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6-a)
2

(万元) ;若 9 ≤a≤5,则当每件售价为(6+ 2 a)元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值
2
3

Q(a)= 4 ? 3 ? 1 a ? (万元). ? ?
? 3 ?

3

变式训练 4:某造船公司年造船量是 20 艘, 已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3 700x+45x2-10x3 (单位:万元) ,成本函数为 C(x)=460x+5 000(单位:万元) ,又在经济学中,函数 f(x)的 边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (提示:利润=产值-成本)? (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?? (3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 解: (1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*,且 1≤x≤20);? MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且 1≤x≤19).? (2) P ? ( x ) =-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),? ∵x>0,∴ P ? ( x ) =0 时,x=12,? ∴当 0<x<12 时, P ? ( x ) >0,当 x>12 时, P ? ( x ) <0,? ∴x=12 时,P(x)有最大值.? 即年造船量安排 12 艘时,可使公司造船的年利润最大.? (3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.? 所以,当 x≥1 时,MP(x)单调递减,? 所以单调减区间为[1,19] ,且 x∈N*.? MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘利润与前一艘比较,利润在减少. 小结归纳 研究可导函数 f ( x ) 的单调性、极值(最值)时,应先求出函数 =0 的 x 取值或 f ' ( x ) >0( f ' ( x ) <0)的 x 的取值范围.
f (x)

的导函数 f ' ( x ) ,再找出 f ' ( x )

导数及其应用单元检测题
一、选择题 1.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ?A. 9 e2?
4


2

B.2e2

C.e2

D. e ?
2

2.如果函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y= f ? ( x ) 的图象可能是 (

)

3.设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调增区间是 ?A.(0, 4 )
3



)?
3

B.( 4 , +∞)
3
x

C.(-∞,0)?

D.(-∞,0)∪( 4 ,+∞)? (
e

4.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R 有大于零的极值点,则 ?A.a<-1?
3 2

)? D.a>- 1 ?
e

B.a>-1

?C.a<- 1 ?

5.已知函数 y=f(x)=x +px +qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点,且 y 极小值=-4,那么 p、q 的值 分别为 ( )? ?A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,6? 2 6.已知 x≥0,y≥0,x+3y=9,则 x y 的最大值为 ( )? A.36 B.18 C.25 D.42? 2 x 7.下列关于函数 f(x)=(2x-x )e 的判断正确的是 ( )? ①f(x)>0 的解集是{x|0<x<2};? ②f(- 2 )是极小值,f( 2 )是极大值;? ③f(x)没有最小值,也没有最大值.? ? A.①③ B.①②③ C.② D.①②? 8.函数 f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( )? ?A.0< f ? ( 2 ) < f ?( 3 ) <f(3)-f(2)? ?B.0< f ?( 3 ) <f(3)-f(2) < f ?( 2 ) ? ?C.0<f(3)< f ?( 2 ) <f(3)-f(2)? ?D.0<f(3)-f(2)< f ?( 2 ) < f ?( 3 ) ? 9.若函数 f(x)=x3-ax2+1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围为 ( )? ?A.a≥3 ?B.a=3 ? C.a≤3 D.0<a<3? 3 2 2 10.函数 f(x)=x -ax -bx+a ,在 x=1 时有极值 10,则 a、b 的值为 ( )? ?A.a=3,b=-3,或 a=-4,b=11? B.a=-4,b=11? ?C.a=3,b=-3? D.以上都不正确? 11.使函数 f(x)=x+2cosx 在[0, ? ]上取最大值的 x 为
2

( D. ?
2

)?

?A.0
3

B. ? ?
6

C. ?
3

12.若函数 f(x)=x -3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则 ?A.0<b<1 ?B.b<1 ?C.b>0

( ? D.b< 1
2

)?

二、填空题 13.若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 没有极值,则 a 的取值范围为 14.如图是 y=f(x)导数的图象,对于下列四个判断:? ①f(x)在[-2,-1]上是增函数;? ②x=-1 是 f(x)的极小值点;? ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数;? ④x=3 是 f(x)的极小值点.?

.?

其中判断正确的是 .? 15.函数 f(x)的导函数 y= f ? ( x ) 的图象如右图,则函数 f(x)的单调递增区间为 16.已知函数 f(x)的导函数为 f ? ( x ) ,且满足 f(x)=3x2+2x f ? ( 2 ) ,则 f ? ( 5 ) = 三、解答题 17.已知函数 f(x)=x3- 1 x2+bx+c.?
2

.? .?

(1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围;? (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围.?

18.设 p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞)上是单调增函数;q:不等式 x2-2x>a 的解 集为 R. 如果 p 与 q 有且只有一个正确,求 a 的取值范围.?

19.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数 a 的取值范围.?

20.已知定义在 R 上的函数 f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数 F(x)=f(x)-3x2 是奇函数,函数 f(x)在 x=-1 处取极值.? (1)求 f(x)的解析式;? (2)讨论 f(x)在区间[-3,3]上的单调性.?

21.如图所示,P 是抛物线 C:y= 1 x2 上一点,直线 l 过点 P 并与抛物线
2

C 在点 P 的切线垂直,l 与抛物线 C 相交于另一点 Q,当点 P 在抛物线 C 上移动时, 求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程,并求点 M 到 x 轴的最短距离. ?

22.已知某质点的运动方程为 s(t)=t3+bt2+ct+d,下图是其运动轨迹的一部分,若 t∈[ 1 ,4]
2

时,s(t)<3d 恒成立,求 d 的取值范围.?

2

导数及其应用单元检测题答案
一、选择题 1.答案?D?? 2.答案?A?? 3.答案? A?? 4.答案?A?? 5.答案?A?? 6.答案?A?? 7.答案 D 8.答案?B?? 9.答案?A?? 10.答案?B?? 11.答案?B?? 12.答案?A?? 二、填空题 13.答案 [-1,2]? 14.答案 ②③ 15.答案 [-1,0]和[2,+∞)? 16.答案 6? 三、解答题 17.解 (1) f ? ( x ) =3x2-x+b,因 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则 f ? ( x ) ≥0.即 3x2-x+b≥0,? ∴b≥x-3x2 在(-∞,+∞)恒成立.设 g(x)=x-3x2.? 当 x= 1 时,g(x)max=
6 1 12

,∴b≥

1 12

.?

(2)由题意知 f ? (1) =0,即 3-1+b=0,∴b=-2.? x∈ [-1,2] f(x)<c2 恒成立, 时, 只需 f(x)在 [-1, 上的最大值小于 c2 即可.因 f ? ( x ) =3x2-x-2, 2] 令
f ?( x )

=0,得 x=1 或 x=- 2 .∵f(1)=- 3 +c,?
3

2

f(- 2 ) ?
3

22 27

? c , f ( ? 1) ?

1 2

? c,

f(2)=2+c.?

∴f(x)max=f(2)=2+c,∴2+c<c2.解得 c>2 或 c<-1, 所以 c 的取值范围为 (-∞, ∪ -1) (2, +∞) . 3 2 18.解 命题 p:由原式得 f(x)=x -ax -4x+4a,? ∴ f ? ( x ) =3x2-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线.? 由条件得 f ?( ? 2 ) ≥0 且 f ?( 2 ) ≥0,? 即?
?4a ? 8 ? 0 ?8 ? 4 a ? 0 .

∴-2≤a≤2.?

命题 q: x 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? a ? ∵该不等式的解集为 R,∴a<-1.? 当 p 正确 q 不正确时,-1≤a≤2;? 当 p 不正确 q 正确时,a<-2.? ∴a 的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,2].? 19.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax? ∴ f ?( x ) =3x2-2(a+1)x+a?

要使函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,只需 上满足
f ?( x )

f ?( x )

=3x2-2(a+1)x+a 在(2,+∞)
3

≥0 即可.? ∵
?a ?1 ? 2 ? ? 3 ? f ? (2) ? 0 ?

f ?( x )

=3x -2(a+1)x+a 的对称轴是 x= a ? 1 ,?
2

∴a 的取值应满足:



?a ?1 ? 2 ? ? 3 ? ? f ?( a ? 1 ) ? 0 ? 3 ?

解得:a≤ 8 .∴a 的取值范围是 a≤ 8 .
3 3

20.解 (1)∵函数 F(x)=f(x)-3x2 是奇函数,? ∴F(-x)=-F(x),化简计算得 b=3.? ∵函数 f(x)在 x=-1 处取极值,∴ f ?( ? 1) =0.? f(x)=-2x3+3x2+cx, f ?( x ) =-6x2+6x+c? ∴ f ?( ? 1) =-6-6+c=0,c=12. ∴f(x)=-2x3+3x2+12x,? (2) f ?( x ) =-6x2+6x+12=-6(x2-x-2).? 令 f ?( x ) =0,得 x1=-1,x2=2,? x
f ?( x )

-3

(-3,-1) -

-1 0 -7

(-1,2) + ↗

2 0 20

(2, 3) ↘

3

f(x)

45



9

∴函数 f(x)在[-3,-1]和[2,3]上是减函数,? 函数 f(x)在[-1,2]上是增函数. 21. 解 设 P(x0,y0) ,则 y0= 1
2 x0 ,
2

,?

∴过点 P 的切线斜率 k=x0,? 当 x0=0 时不合题意,∴x0≠0.? ∴直线 l 的斜率 kl=- 1
k ? ? 1 x0

,?
1 x0 (x ? x0 )

∴直线 l 的方程为 y- 1
2

x0 ? ?
2

.?

此式与 y= 1
2

x

2

联立消去 y 得?

x+

2

2 x0

x ? x0 ? 2 ? 0.
2

设 Q(x1,y1),M(x,y).∵M 是 PQ 的中点,? ∴
x 0 ? x1 1 ? ? ? ?x ? 2 x0 ? ? 2 ? y ? ? 1 (? 1 ? x ) ? 1 x 2 ? 1 ? x0 ? 1 0 0 2 ? x0 x0 2 x0 2 ?
1 2x
2

消去 x0,得 y=x2+

+1 (x≠0)就是所求的轨迹方程.由 x≠0 知 x2>0,?

∴y=x2+

1 2x
2

+1≥2

1 2 x · 2 ?1? 2x
1 2x
2

2 ? 1.

上式等号仅当 x2=

,即 x=±

4

1 2

时成立,?

所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 +1. 2 22. 解 s ? (t ) =3t +2bt+c.? 由图象可知,s(t)在 t=1 和 t=3 处取得极值.? 则 s ? (1) =0, s ?( 3 ) =0.? 即?
?3 ? 2b ? c ? 0 ? 27 ? 6 b ? c ? 0
2

,

解得 ?

?b ? ? 6 ?c ? 9

∴ s ? (t ) =3t -12t+9=3(t-1)(t-3).? 当 t∈[ 1 ,1)时, s ? (t ) >0.?
2

当 t∈(1,3)时, s ? (t ) <0.? 当 t∈(3,4)时, s ? (t ) >0.? 则当 t=1 时,s(t)取得极大值为 4+d.? 又 s(4)=4+d,? 故 t∈[ 1 ,4]时,s(t)的最大值为 4+d.?
2

已知 s(t)<3d2 在[ 1 ,4]上恒成立,?
2

∴s(t)max<3d .即 4+d<3d2.? 解得 d> 4 或 d<-1.∴d 的取值范围是{d|d> 4 或 d<-1}.
3 3

2


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