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数学必修2第四章知识点小结及典型习题


第四章 圆与方程
一、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆, 定点为圆心,定长为圆的半径. 二、圆的方程: (标准方程和一般方程) (一)标准方程:

?x ? a ?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r

圆的参数方程(还未学习,暂作了解) ? x ? a ?

r cos ? , ? 为参数 2 2 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0? ? ? ? y ? b ? r sin ?

? x ? r cos ? , ? 为参数 x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ? ? ? y ? r sin ?
1、求标准方程的方法——关键是求出圆心 ?a, b ? 和半径 r
119 ①待定系数法:往往已知圆上三点坐标,例如教材 P 例 2

②利用平面几何性质:往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交。 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2、特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切 (二)圆的一般方程:

x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0?

? x ? a?
? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ? 0?
2

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0?
2

x2 ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0?

? x ? a?

2

? y2 ? a2 ? a ? 0?
2

x2 ? ? y ? b ? ? b2 ?b ? 0?

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? b2 ?b ? 0?
2

? x ? a?

2

? ? y ? b? ? a2 ? a ? 0?
2

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? a2 ? a ? b ? 0?
2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ?

1、圆的一般方程的特点: (1)① x 和 y 的系数相同,且不等于 0.
2
2

②没有 xy 这样的二次项. (2) 求圆的一般方程采用待定系数法:圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F,只要 求出这三个系数,圆的方程就确定了.如教材 P 例 4 122 (3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程 则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 2、 Ax ? By ? Cxy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆方程,则
2 2

? ? ?A ? B ? 0 ?A ? B ? 0 ? ? ? ?C ? 0 ?C ? 0 2 ? ? 2 2 2 ? D ? E ? 4 AF ? 0 ?? D ? ? ? E ? ? 4 ? F ? 0 ?? A ? ? A ? A ?? ? ? ?
2 2 3、常可用 D ? E ? 4F ? 0 来求有关参数的范围。

2 2 ? 4、 当 D ? E ? 4F ? 0 时, (1) 方程表示圆, 此时圆心为 ?

?

?

D E? r ,? ? 2 2 ?, 半径为

?

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2 ;

(2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; (3)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 例:若方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示圆,则实数 a 的取值范是(
2 2 2

) 。

A、 ?

2 ?a?0 3

B、 ?2 ? a ? 0

C、 a ? ?2或a>

2 3

D、 ?2 ? a ?

2 3

(三)注意求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立 条件,若利用圆的标准方程,需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F;另外 要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 三、点与圆的位置关系 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 1、判断方法:点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系

d ? r ? 点在圆内; d ? r ? 点在圆上; d ? r ? 点在圆外
2、涉及最值: (1)圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论

PB

的最值

PB min ? BN ? BC ? r
PB max ? BM ? BC ? r

PB min ? NB ? BC ? r, PB max ? MB ? BC ? r

(2)圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论

PA

的最值

PA min ? AN ? r ? AC



PA max ? AM ? r ? AC

思考:过此 A 点作最短的弦?(此弦垂直 AC ) 例:若点(1,1)在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a) 2 ? 4 的内部,则实数 a 的取值范围是( A. —1<a<1 B. 0<a<1 C.a<—1 或 a>1 D.a=±1 四、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式: (一)直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,判断方法如下: 1、设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到直线 l 的距 离为 d ? Aa ? Bb ? C ,则有 2 2
A ?B

) 。

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相离; d ? r ? 直线 l 与圆 C 相切; d ? r ? 直线 l 与圆 C 相交;
这一知识点可以出题:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2 2、设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,先将方程联立消元,得到一 2 2

个一元二次方程之后,令其中的判别式为 ? ,则有

? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交
注:如果圆心的位置在原点,可使用公式
xx0 ? yy0 ? r 2

去解直线与圆相切的问题,其中

?x0 , y 0 ? 表示切点坐标,r 表示半径。
(二)直线与圆相切 1、知识要点 ①基本图形 ②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线 l 与圆 C 相切意味着什么? 圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r 2、常见题型——求过定点的切线方程 (1)切线条数:点在圆外——3 条;点在圆上——1 条;点在圆内——无 (2)求切线方程的方法及注意点 ... i)点在圆外 如定点 P ? x0 , y0 ? ,圆: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,[ ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ]
2 2 2 2 2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 第二步:通过 d ? r ? k ,从而得到切线方程 特别注意:以上解题步骤仅对 k 存在有效,当 k 不存在时,应补上——千万不要漏了!

ii)点在圆上

y 1) 若点 ? x0, 0 ? 在圆 x ? y ? r 上,则切线方程为 x0 x ? y0 y ? r
2 2 2

2

会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目.

y 2) 若点 ? x0, 0 ? 在圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上,则切线方程为
2 2 2

? x0 ? a ?? x ? a ? ? ? y0 ? b ?? y ? b ? ? r 2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判 断点与圆的位置关系,得出切线的条数。 如: 过点 P ?1, 1? 作圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0 的切线, 1、 求切线方程。答案: x ? 4 y ? 1 ? 0 和 x ? 1 ) ( 3 2、经过点 P(1,—2)点作圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的切线,则切线方程为 3、经过点 P(—4,—8)点作圆 ( x ? 7)2 ? ( y ? 8)2 ? 9 的切线,则切线方程为 4、经过点 P(1,—2)点且与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 相切的直线方程为 (3)求切线长:利用基本图形, AP 2 ? CP 2 ? r 2 ? AP ?
CP ? r 2
2

? AC ? r 求切点坐标:利用两个关系列出两个方程 ? ? k AC ? k AP ? ?1
(三)直线与圆相交 1、求弦长及弦长的应用问题:垂径定理及勾股定理——很常用 .... 弦长公式: l ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ?

?1 ? k ? ?? x ?
2

1

? x2 ? ? 4 x1 x2 ? (暂作了解,无需掌握) ?
2

2、判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合) :直线过定点,而定点恰好在圆内. 3、关于点的个数问题 如:1、若圆 ? x ? 3?2 ? ? y ? 5 ?2 ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则半 径 r 的取值范围是_________________.答案: ? 4, 6 ? 2、已知直线 l :3x +4y-12=0 与圆 C:C:(x—3)2 + (y—2)2=4.请选择适当的方法判断 直线 l 与圆 C 的位置关系;若直线 l 与圆 C 相交,请求出直线 l 被圆 C 截得的弦长。 解法 1: (代数法) 解法 2: (几何法) 总结: (1)代数法: 设直线与圆的方程连立方程组, 消元后所得一元二次方程为 ax2 ? bx2 ? c ? 0 , 其两个不等实根为 x1 , x2 .则其两点弦长为|AB|=
1? k2 Δ |a|



(2)几何法;设直线 l :Ax+By+C=0,圆 C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,圆心 C(a,b)到直
| Aa ? Bb ? C |

线 l 的距离 d =

A2 ? B2

2 2 ,弦长|AB|=2 r ? d 。

3、圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 的上点到直线 x+y—14=0 的最大距离和最小距离为
2 2

和 。最大距离和最小距离的差为 五、圆与圆的位置关系: 1、判定方法:常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1:(x—a1)2+(y—b1)2=r 2,C2:(x—a2)2+(y—b2)2=R 2 (设 R>r) 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连接圆心与切点或者连圆心与弦中点 如:已知圆 C1: x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 和圆 C2: x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 ,试判断圆
2 2 2 2

和位置关系,若相交,试求出它们的交点坐标。 2、两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,
2 2
2 2

则 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? ? F1 ? F2 ? ? 0 为两相交圆公共弦方程. 补充说明:若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; 若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. ※两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例:已知圆 C1: x ? y ? 2 x ? 0 和圆 C2 : x ? y ? 4 y ? 0 ,试判断圆和位置关系,若相
2 2

2

2

交,则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。 3、圆系问题 (1)过两圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 交点的
2 2
2 2

圆系方程为 x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ( ? ? ?1 )
2 2 2 2

?

?

说明:①上述圆系不包括 C2 ;②当 ? ? ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ( 2 ) 过 直 线 A x? B y C 0 与 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 交 点 的 圆 系 方 程 为 ? ?
2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0
※数学思想方法简介——方程思想与坐标法 直线方程 Ax+By+C=0 与圆的方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 有三个方面的应用: (1)通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间

的交点情况, 从而判定直线与圆的之间位置关系, 圆与圆之间位置关系及求它们的交点坐标。
| Aa ? Bb ? C \

(2)通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d =

A2 ? B2

,并比较 d 与半

径 r 的大小解决圆与直线的有关性质问题。或圆心距与圆半径的和或差大小的比较,解决圆 与圆之间的性质问题。 (3) 利用已知方程,任给一个坐标 x 的值,就可以求另一个坐标 y 的值解决实际问题 专项练习: (1) 过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 截得弦 AB 长为
2 2

(2) 已知一圆上的两点 A(2,—3)、B(—2,—5),且圆心 C 在直线 x—2y—3=0 上,求此圆 C 的方程. (3) 求以点 M(2,—1)为圆心且与直线 3x—4y+5=0 相切的圆 M 的方程. (4) 求圆心在直线 3x—y=0 上,与 x 轴相切,且被直线 x—y=0 截得弦长为 2 程。
7

的圆 C 的方

2 2 (5) 已知过点 M(—3,—3)的直线 l 被圆 C: x ? y ? 4 x ? 21 ? 0 截得弦长为 4

5

,求直线

l 的方程。
(6) 求圆心在直线 x—y—4=0 上, 并且经过圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点的圆 C 方程。 (7) 求过点 M(3,—1),且与圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于 N(1,2)的圆 C 方程. (8) 求圆心在直线 2x+y=0 上,并且经过点 A(2,—1),与直线 x+y=1 相切的圆方程. (9) 已知圆 C 与圆 C1 : 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切, 并且与直线 l : x+ x
3

y=0 相切于点 P(3, —

3

)

的圆 C 的方程. (10) 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(—1,0)和 B(3,4),线段的垂直平分线交圆 P 于点 C、 D,且|CD|=4 1 0 .(1)求直线 CD 的方程。(2)求圆 P 的方程。 (11) 一条光线从点 A(—2,3)射出,经 x 轴反射后,与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,求反 射后的光线所在直线的方程。 (12) 一条光线从点 A(—1,1)射出,经 x 轴反射后,照射到圆 C: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 的 一点上,求这条光线由 A 点入射、反射到圆上的最短路程。 六、空间直角坐标系: 1、空间直角坐标系:从空间某一个定点 O 引三条 且有 单位长度的数轴 Ox、 Oy、Oz,这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O-xyz,点 O 叫做 ,x 轴、y 轴、z 轴叫做 。在画空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°。 2、坐标平面:通过每两个坐标轴的平面叫做 ,分别称为 xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面。 3、在空间直角坐标系中,空间一点 M 的坐标可以用有序数组(x,y,z)来表示,有序数组(x, y,z)叫做点 M 在空间直角坐标系中的坐标,记作 M(x,y,z),其中 x 叫做 坐标,y 叫 做 坐标,z 叫做 坐标.

4、右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,令右手大拇指、食指和中 指相互垂直时,让右手大拇指指向为 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的 正方向, 中指指向 z 轴的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系。 注意: (1)在空间直角坐标系中,坐标平面 xOy,xOz,yOz 上非原点的坐标 x 有什么特点? (2)在空间直角坐标系中,x 轴、y 轴、z 轴上非原点的坐标有什么特点? 5、空间两点间的距离公式: (1)空间中任意一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式:

R M O P Q M' y

P P2 ? 1

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

(2)在空间直角坐标系 O-xyz 中,设点 P(x,y,z)、 A?x1 , y1 , z1 ? 、 B?x2 , y 2 , z 2 ? , 则:点 P 到原点 O 的距离|OP|= A 与 B 两点间距离公式|AB|=
x2 ? y2 ? z2

( x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z 1 ) 2

点 A 与 B 的中点 P?x0 , y 0 , z 0 ? 坐标公式: x0 ?

x1 ? x2 y ? y2 z ? z2 , y0 ? 1 , z0 ? 1 2 2 2

专题例题与练习: 例 1. 在空间直角坐标系中,到点 M(3,—1,2),N(0,2,1)距离相等且在 y 轴上的点的坐 标为___________ 例 2. 与点 P(1,3,5)关于原点对称的点是( ) A、(—1,—3,5) B、(1,—3,5) C、(—1,3,—5) D、(—1,—3,—5) 例 3. 已知空间两点 M(2,3,6),N(—m,3,—2n)关于 xOy 平面 对称,则 m+n=_________ 例 4. 如图右侧,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a, |BM|=|2MD’|,点 N 在 A′C′上,且|A′N|=3|NC′|,试求 MN 的长. 练习 1.若已知点 A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段 AB 的长为( ) A.4 3 B.2 3 C.4 2 D.3 2 2.在空间直角坐标系中,点 P(-5,-2,3)到 x 轴的距离为( ) 例4图 A.5 B. 29 C. 13 D. 34 3.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z)满足方程(x+2)2+(y-1)2+(z-3)2=3, 则点 P 的轨迹是( ) A.直线 B.圆 C.球面 D.线段 4.已知点 A(-3,1,4),B(5,-3,-6),则点 B 关于点 A 的对称点 C 的坐标为________. 5.以正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为一个单位长度,则棱 CC1 的中点的坐标为( )
1

1

1

1

1

A.( 2 ,1,1).

B.(1, 2 ,1).

C. (1,1, 2 ).

D. ( 2 , 2 ,1). )

6.空间直角坐标系中,x 轴上到点 P(4,1,2)的距离为 30的点有(

A.2 个 B.1 个 C.0 个 D.无数个 7.已知 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 8.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 1,则该点到原点的距离是( A. 6 2 B. 3 C. 3 2 D. 6 3

)

七、求最值问题方法主要有三种: (1)数形结合; (2)代换; (3)参数方程 1.已知实数 x ,
y (1) x ? 5
y
2 2 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,求:

的最大值和最小值;——看作斜率; (2) y ? x 的最小值;——截距(线性规划)

2 2 (3) x ? y 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方

2.已知 ?AOB 中,

OB ? 3



OA ? 4



AB ? 5

,点 P 是 ?AOB 内切圆上一点,求以 PA , PB , PO

为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.(数形结合和参数方程两种方法均可! )
x 2 ? ? y ? 1? ? 1 P x, y 3.设 ? ? 为圆 上的任一点, 欲使不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立, c 的取值范围是 则
2

____________. 答案: c ? 2 ? 1 (数形结合和参数方程两种方法均可! ) 八、相关应用 1.若直线 mx ? 2ny ? 4 ? 0 ( m , n ? R ) ,始终平分圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的周长,
2 2

则 m ? n 的取值范围是______________.
2 2 2.已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,问:是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦

为 AB ,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程,若不存在,说明理由.
d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 (提示: x1 x2 ? y1 y2 ? 0 或弦长公式 。答案: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 )

3.已知圆 C :

? x ? 3?

2

? ? y ? 4? ? 1
2

d ? PA ? PB , A ? 0,1 ? ,B ? 0, 1? , P 点是圆 C 上的动点, 点 设 ,
2 2

求 d 的最值及对应的 P 点坐标. 4.已知圆 C : ?
x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25
2 2

,直线 l :

? 2m ? 1? x ? ? m ? 1? y ? 7m ? 4 ? 0 ( m ? R ) (1) 。

证明:不论 m 取什么值,直线 l 与圆 C 均有两个交点; (2)求其中弦长最短的直线方程. 5.若直线 y ? ? x ? k 与曲线
2 2

x ? ? 1? y2

恰有一个公共点,则 k 的取值范围.

6.已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P , Q 两点, O 为坐标原点, 问:是否存在实数 m ,使 OP ? OQ ,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.


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