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《函数的零点》课堂教学设计


《函数的零点》课堂教学设计

一.教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的人教版普通高中课 程标准试验教科书,数学必修①,B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》 ,新授课, 第一课时。 1.知识背景 2.4 节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容,其课程目标是想 通过对本节的学习,使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法,从中体会函数与方程 之间的联系,同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实 际问题的函数模型,利用已知函数模型解决问题,作为一条主线贯穿了全章的始终,而方 程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解,是在建立和运用函数模型的 大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵 了“函数与方程的思想” ,这也是本章渗透的主要数学思想. 2.本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析,得到零点的概念,从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定,这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上,对函 数图像进行全新的认识,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二.学生分析 1.认知起点 建构主义的基本主张认为学习是一个积极主动的建构过程,学习者不是被动地接 受外在信息,而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在信息,建构当前事物的意 义,所以课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能,也不是学生只被动地陷于接受、记 忆、模仿和练习等低等而乏味的活动。高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、 合作交流、阅读自学等学习数学的方式下,师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互 动。所有这些活动都需要学生在知识起点方面有所准备。通过对 2.2 节的学习,学生已经 对一次函数、二次函数的性质与图像有了深刻了解,此时学生对初等函数的本质属性、初
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等函数的图像与性质的联系有了较高层次的认识,所以在本节课提出函数零点的概念,不 会显得突然,反而对学生的认知过程有很好的帮助。 2. 学习兴趣 有了良好的知识基础,学生的知识起点会很自然的与本节课的内容进行衔接,这 样学生的学习兴趣会得到保障。另外,在现代化教学设备方面,我们利用《几何画板》 这一具有超强画图功能的软件,可以帮助学生简单、准确地描绘函数图像,所以学生的 兴趣又得到了的提高。 3.学习障碍 本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了二次函数图像的基 础上,由图像与 x 轴的位置关系得到的一个全新概念,学生可能会设法画出图像找到所 有任意函数可能存在的所有零点,但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出,所以 在概念的接受上有一点的障碍。 4.学习难度 新教材关注学生的学习兴趣和认知特点,一方面注意控制教材内容总量,精选学 生终身学习必备的基础知识和基本技能,另一方面也适当降低了某些知识的难度要求, 改变了原有教材中原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象,本节课就充分体现了这一 点 。难度适中,知识要点突出,层次分明,符合学生的认知特点。 三.设计思想 本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托,借助《几何画板》的帮助, 为学生描绘一个数学图形的世界,营造一个探究学习的环境,让他们通过数学实验, 经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。 四.教学目标 知识与技能:(1)通过对二次函数增图像的描绘,理解函数零点的概念,体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 (2)通过对一般函数图像的描绘分析,领会函数零点与相应方程之间的 关系,掌握零点存在的判定条件。 (3)培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
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过程与方法: 通过画函数图像,分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合,渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 五.教学重点 重点:理解零点的概念,判定二次函数零点的个数,会求函数的零点. 难点:探究发现函数存在零点的方法及函数零点的应用 六.教学程序与环节设计

创设情境

结合描绘的二次函数图像,提出问题,引入课题.

组织探究

二次函数零点和零点的判定. 零售价格

意义建构

探索研究

感知数学,以零点存在性为练习重点进行练习.

例题研究 题 研 究 尝试练习

应用数学, 零点的存在性判断及零点的确定. 建立数学,进一步探索函数零点存在性的判定.

作业反馈

重点放在零点的确定和应用.

利用《几何画板》描绘某些特殊函数图像,找出零点, 并尝试进行系统的总结.

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具体流程设计 一、创设情境 画函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 的图像,并观察其图象与其对应的一元二次方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的根的关系。
y y

O

x

O

x

O

x

[师生互动] 师:引导学生通过配方,画函数图象,分析方程的根与图象和 x 轴交点坐标的关系。 生:独立画图,独立思考。 设计意图:通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。 再次利用《几何画板》绘制函数 y ? x 2 ? 2x ? 1 、 y ? x2 ? 2x ? 3 的图像,并观察它们 的图像与对应的一元二次方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 、 x2 ? 2 x ? 3=0 的根的关系。 [师生互动] 师:引出零点的概念,将上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样? 生:完成解答,观察、思考、总结、概括得出结论,并进行交流. 设计意图:利用《几何画板》的帮助,使学生的认知起点与新知识平顺对接,形成零 点概念的初步认识。几个特殊的函数与方程又具有很强的概括性,包括方程有两不相 等的根、两相等的根、无根的情况,研究它们有利于培养学生思维的完整性,为学生 归纳方程与函数的关系铺好了台阶。 二、组织探究 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点
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(zero point).
函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的 横坐标.即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零 点. [师生互动] 师:引导学生仔细体会理解零点的概念,进而感悟其中的思想方法 生:结合图像认真理解函数零点的意义,并对零点出现的条件进行思考,根据函数零 点的意义探索其求法. 设计意图:通过函数零点概念的形成过程,让学生对零点的概念由初步的认识到 掌握,并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识

三、意义构建 函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系 ○ 起来,并利用函数的性质找出零点. [师生互动] 师:引导学生就将由图象得到的概念进一步深化,得到函数零点的求法。 生:得到函数零点的求解方法,第一:代数法,即求解函数对应的方程; 第二:几何法,画出函数图像,找出零点。 设计意图:深刻认识图象与函数性质的关系,并掌握用几何法求函数的零点。 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 零点个数的判定方法:
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一元二次方程 判别式
? ? b2 ? 4ac ? 0 ? ? b2 ? 4ac ? 0

二次函数

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?
有两个不相等的实根

y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0?
有两个零点

有两个相等的实根 (重根) 有一个二重的零点或有二阶零点 没有实根 没有零点

? ? b2 ? 4ac ? 0

[师生互动] 师:引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况. 生:根据函数零点的意义,探索研究二次函数的图像的性质,完全独立完成对二次 函数零点情况的分析 ,总结概括形成结论,并进行交流。 设计意图:让学生对特殊的函数零点产生直观认识,深化零点概念 四、探索研究 (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图象
y

1 ] 有 零 点 ______ ; f (?3) ? ______ , ① 在 区 间 [? 3 , 上

f (1) ? _______, f (?3) ? f ?1? _____0( ? 或 ? ) .
O x

②在区间 [2, 4] 上有零点______; f (2) · f (5) ____0( ? 或 ? ) . 结论:二次函数零点的性质

(1)当函数的图象通过零点时(不是二重零点)函数的值变号. (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象
y

① 在 区 间 [a, b] 上 ______( 有 / 无 ) 零 点 ;
f (a ) · f (b) _____0( ? 或 ? ) .

a

b O

c

d x

② 在 区 间 [b, c] 上 ______( 有 / 无 ) 零 点 ;
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. f (b) · f (c) _____0( ? 或 ? ) ③在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f ( d ) _____0( ? 或 ? ). 结论:零点存在性定理 如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a , b? 上的图象是连续不间断的一条

曲线,并且有 f ? a ? ? f ?b ? ? 0 ,那么,函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a , b? 内至少存在一个零点, 即存在 c ? ? a , b? ,使得 f ? c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ? x ? ? 0 的根. 注意: (1)此性质成立的前提:函数图象是连续不间断的一条曲线; (2)零点 c 并不一定是唯一的,但一定存在; (3) f ?a ? ? f ?b? ? 0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 内有零点的充分条件。但是若函 数 y ? f ( x) 是一次、二次函数时,则 f ?a ? ? f ?b? ? 0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 内 有零点的充要条件。 [师生互动] 师:引导学生结合教师所提出的问题及函数图像,分析函数在区间端点上的函数值的符 号情况,与函数零点是否存在之间的关系。 生:结合函数图象,思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评 析。 设计意图:如何由函数零点的概念过度到函数零点的判定方法是本节课的难点,这 样设计,有得于营造气氛,调动学生的积极性,内容由浅入深,既展现了知识的形 成过程,又体现了能力的培养,符合素质教育的思想。 五、例题研究 例题 1:求函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的零点,并指出 y ? 0 , y ? 0 时, x 的取值范围. y 解:由 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 得, x1 ? ?3, x2 ? 1 ∴函数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的零点为-3,1.

y ? ? x ? 2 x ? 3 = ? ? x ? 1? ? 4 ,画出图象,
2
2

O

x

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由图象观察可得:当 ?3 ? x ? 1 时, y ? 0 当 x ? ?3 或 x ? 1 时, y ? 0 ,∴函数的零点为-3 ,1
y ? 0 时, x 的取值范围是 ? ?3,1? y ? 0 时, x 的取值范围是 ? ?? , ?3? ? ?1, ? ? ? .
y 8 6 4 2 -4 -2 O -2 -4 -6 2 4 6 x

例题 2:求函数 y ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 的零点,并画出它的图象. ∵ x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? x 2 ? x ? 2? ? ? x ? 2?
? ? x ? 2 ? ? x ? 1?
2

? ? x ? 2?? x ?1?? x ?1?
∴函数的零点为-1,1,2 三个零点把 x 轴分成四个区间: ? ?? , ? 1? , ??1,1? , ?1, 2 ? , ?2, ? ?? 列表 ?描点 ?连线

x

???

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

???

y

???

-4.38 0

1.88

2

1.13

0

-0.63 0

2.63

???

说明:求三次函数的零点关键是能正确地进行因式分解,而作它的图象,可先由零点分析 出函数值的正负变化情况,再进行适当的取点。 因式分解的方法主要有:提取公因式法,分组分解法,公式法,十字相乘法等. [师生互动] 师:引导学生探索判断函数零点的方法,指出可以借助计算机画函数的图象,结合图象对 函数有一个零点形成直观的认识. 生:借助计算机或计算器画出函数的图象,结合图象确定零点所在的区间,然后利用函数 单调性判断零点的个数. 设计意图:体现零点存在的判定思想,让学生自己动手做数学,玩数学,体会数学,
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感受成功,在这些综合性、趣味性强的练习中,充分体现了尝试教学和愉快教学。 六、尝试练习 1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: ( 1) ? x 2 ? 3 x ? 5 ? 0 ; (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; ( 3) ? 9 ? x 2 ? 6 x ; ( 4) 5 x 2 ? 2 x ? 3 x 2 ? 5 2.求出下列函数的零点,并画出函数的草图: (1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 3 ; (2) y ? x( x ?1)( x ? 2) ; (3) y ? ( x ?1)( x ? 1)2 ( x ? 3) ; (4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x . [师生互动] 师:结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性说明零点的个数, 并再次明确学习目标 生:认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用, 并总结出确定函数零点的一般步骤。 设计意图:拓展学生思维,培养思考能力,突出数形结合的思想。 七、作业反馈 1.教材 P77 练习 A 第 1、2 题; 2.求下列函数的零点: (1) y ? ? x 2 ? x ? 30 ; (2) f ( x) ? ( x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) .

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