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排列组合第一讲 分类加法与分步乘法计数原理


两个计数原理
【知识网络】
知识点 内容 完成一件事,可有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方法,在 第二类办法中有 m2 种方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种方法, 则完成这件事情,共有 N=① 种不同的方法. 完成一件事情需要经过 n 个步骤,缺一不可,完成第一步有 m1 种不同的方法,完成第二步有 m2 种不同的方法,??,完成第 n 步有

mn 种不同的方法,那么完成这件事情共有 N=② 种不同 的方法. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理, 联系:都涉及③ 的不同方法的种数。 区别: 分类加法计数原理与④ 有关, 各种方法⑤ 用其中的任一种方法都可以完成这件事; 分步乘法计数原理与⑥ 有关,各个步骤⑦ 只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

区别与联系

, ,

【典型例题】
题型一、分类加法计数原理
例1、 从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会, 则不同的选法种数 为( ) A.6 B.5 C.3 D.2

例2、

在所有两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

【变式练习】 1. 若 a,b∈N ,且 a+b≤5,则在直角坐标平面内的点(a,b)共有________个.
*

2.在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有多少个?

1

例3、 有不同的语文书 9 本,不同的数学书 7 本,不同的英语书 5 本,从中选出不属于同一 学科的书 2 本,则不同的选法有( A.21 种 B.315 种 ) D.153 种

C.143 种

例4、

某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每 ). D.20 种

位朋友一本,则不同的赠送方法共有( A.4 种 B.10 种 C.18 种

方法总结 分类时,首先要确定一个恰当的分类标准,然后进行分类;其次分类时要注意完成这件 事情的任何一种方法必须属于某一类, 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法, 只 有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理 【变式练习】 1. 某校开设 10 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门学 校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是( ) A.120 B.98 C.63 D.56

2. 某电脑用户计划使用不超过 500 元购买单价分别为 60 元、 70 元的电脑软件和电脑元件, 根据需要,软件至少买 3 个,元件至少买 2 个,则不同的选购方法有( ) A.5 B.6 C.7 D.8

3. 如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形 有________个.

4. 由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中,有重复数字的四位数共有( A.238 个 B.232 个 C.174 个 D.168 个

).

例5、 在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个信息, 不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置 上的数字相同的信息个数为( ) A.10 B.11 C.12 D.15

2

【变式练习】 1. 为了应对欧债危机, 沃尔沃汽车公司决定从 10 名办公室工作人员中裁去 4 人, 要求甲、 乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为________.

2. 在一块并排的 10 垄田地中,选择二垄分别种植 A、B 两种作物,每种种植一垄,为有利 于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不少于 6 垄,不同的选法共有多少种。

3. 有 4 人各写一张贺卡,放在一起,然后每个人取一张不是自己写的贺卡,共有多少种不 同取法?

题型二:分步乘法计数原理
例6、 (1)四名运动员争夺三项冠军,不同的结果最多有多少种? (2)四名运动员参加三项比赛,每人限报一项,不同的报名方法有多少种?

例7、 有(

甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法 ). B.12 种 C.24 种 D.30 种

A.6 种

例8、

用数字 2,3 组成四位数, 且数字 2,3 至少都出现一次, 这样的四位数共有____ ____

个(用数字作答).

3

方法总结 此类问题,首先将完成这件事的过程分步,然后再找出每一步中的方法有多少种,求其 积.注意:各步之间相互联系,依次都完成后,才能做完这件事.简单说使用分步计数原理 的原则是步与步之间的方法“相互独立,逐步完成”.

【变式练习】 1. 从-1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)=ax +bx+c 的系数,可组成不 同的二次函数共有_____________个,其中不同的偶函数共有_____________个.(用数字 作答)
2

2. 从集合{1,2,3,?,10}中,选出由 5 个数组成的子集,使得这 5 个数中的任何两个数 的和不等于 11,这样的子集共有多少个?

例9、

由数字 1,2,3,4,

(1)可组成多少个 3 位数; (2)可组成多少个没有重复数字的 3 位数; (3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数 字.

4

例10、

(1)5 名学生从 3 项体育项目中选择参赛,若每名学生只能参加一项,则有多少种

不同的参赛方法? (2)5 名学生争夺 3 项比赛的冠军,获得冠军的可能情况种数有多少?

探究 2 解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么?怎样才能完成计数, 本题给出解决 此类问题的一种方法:住店法. 【变式练习】 1. 十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有_____________种行车路线. A.24 B.16 C.12

D.10

2. 设集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M,P 可以表示 ①平面上多少个不同的点? ②第二象限内的多少个点? ③不在直线 y=x 上的多少个点?

3. (1)三封信投入到 4 个不同的信箱中,共有________种投法.

(2)动物园的一个大笼子里,有 4 只老虎,3 只羊,同一只羊不能被不同的老虎分食,问老 虎将羊吃光的情况有多少种?

5

4. 乘积 (a1 ? a2 ? a3 )(b1 ? b2 ? b3 )(c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 ) 展开后共有多少项?

5.8 本不同的书,任选 3 本分给 3 位同学,每人 1 本,有多少种不同的分法?

考点三:分类与分步综合之简单的面的涂色问题 例11、 如图,用 5 种不同的颜色给图中 A、B、C、D 四个区域涂色,规定每个区域只涂一 种颜色,相邻区域颜色不同,求有多少种不同的涂色方法?

方法总结 涂色问题的实质是分类与分步, 一般是整体分步, 分步过程中若出现某一步需分情况说 明时还要进行分类.涂色问题通常没有固定的方法可循,只能按照题目的实际情况,结合两 个基本原理和排列组合的知识灵活处理. 例12、 图为四棱锥 P-ABCD,用四种不同的颜色涂四棱锥的各个面,每个面只用一种颜色 涂,要求相邻两面不同色,有多少种涂法?

6

【变式练习】 1. 如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

2.如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色, 现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种.(以数字作答)

排数问题 例13、 用 0,1,2,3,4 这五个数字可以组成多少个无重复数字的: (1)银行存折的四位密码?(2)四位数?(3)四位奇数?(4)比 2000 大的四位偶数?

7

五、课后习题(40 分钟,共 50 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. 如图,A、B、C、D 为四个村庄, 要修筑三条公路,将这四个村庄连接起来,则不同的 修筑方案共有( ).

A.8 种

B.12 种

C.16 种

D.20 种

2. 如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种 颜色,则不同的涂法共有( A.4 00 种 C.480 种 B.460 种 D.496 种 ).

3. 甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加 一天且每天至多安排一人, 并要求甲安排在另外两位前面. 不同的安排方法共有( A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 ).

4. 高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去何工厂可自由选择 , 甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( A.16 种 B.18 种 C.37 种 ). D.48 种

5. 4 位同学从甲、 乙、 丙 3 门课程中选修 1 门, 则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有( A.12 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种

).

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 6. 五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则报名方法的种数为________.五名 学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),获得冠军的可能性有________种.

8

7. 如图所示 2 ? 2 方格, 在每一个方格中填入一个数字, 数字可以是 1,2,3,4 中的任何一个, 允许重复,若填人 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共有 A. 192 种 B. 128 种 C. 96 种 D. 12 种

三、解答题(共 15 分) 8. (15 分)如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点涂 一种颜色,且图中每条线段的两个端 点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有多少种?

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