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2014-2015学年河北省保定市容城中学高二(下)第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年河北省保定市容城中学高二(下)第二次月考数学 试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.设集合 A={﹣1,0,1},B={x∈R|x>0},则 A∩B=( A. {﹣1,0} B. {﹣1} C. {0,

1} D. {1} 3.已知集合 M={x|x+1≥0},N={x|x <4},则 M∩N=( A. (﹣∞,﹣1] B. D. (2,+∞)
2







4.设全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T={4},则(?US)∪T 等于( A. {2,4} B. {4} C. ? D. {1,3,4} 5.函数 f(x)= + 的定义域为( )



A. (﹣3,0] B. (﹣3,1] C. (﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0] D. (﹣∞,﹣3)∪(﹣ 3,1] 6.已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f=1,则 a=( A. 1 B. 2 C. 3 D. ﹣1
2 |x| 2



7.已知函数 y=ax +bx﹣1 在(﹣∞,0]是单调函数,则 y=2ax+b 的图象不可能是(



A.
x

B.

C.

D.

8.函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为( A. B. C. D.



9.已知函数 f(x)=|x|,则下列哪个函数与 y=f(x)表示同一个函数( A. g(x)=( ) B. h(x)=
2



C. s(x)=x D. y=

10.已知 a=log23,b=log

3,c=3

,则(



A. c>b>a B. c>a>b C. a>b>c D. a>c>b 11.函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( )

A. (﹣∞,﹣1) B. (1,+∞) C. (﹣1,1)∪(1,+∞) D. (﹣∞,+∞) 12.已知函数 f(x)是定义在区间上的偶函数,当 x∈时,f(x)是减函数,如果不等式 f(1 ﹣m)<f(m)成立,则实数 m 的取值范围是( ) A. m 的范围. 19. (12 分) (2011?湖南模拟)命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实 2 2 数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 或 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 20. (12 分) (2015 春?保定校级月考)已知函数 f(x)在定义域上单调递减,又当 a,b∈,且 a+b=0 时,f(a)+f(b)=0. (Ⅰ)证明:f(x)是奇函数; (Ⅱ)求不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m )>0 的解集. 21. (12 分) (2015?贵州模拟)选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|. (1)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若 f(x)≥5﹣x 对?x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22. (12 分) (2015 春?保定校级月考)已知函数 f(x)=log2(x+1) ,g(x)=log2(3x+1) . (1)求出使 g(x)≥f(x)成立的 x 的取值范围; (2)当 x∈ B. D. (2,+∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用两个集合的交集的定义求得 M∩N. 2 解答: 解:集合 M={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1},N={x|x <4}={x|﹣2<x<2}, 则 M∩N={x|﹣1≤x<2}, 故选:B. 点评: 本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,属于基础题. 4.设全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T={4},则(?US)∪T 等于( A. {2,4} B. {4} C. ? D. {1,3,4} )
2 2 2

B. C. 上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 利用集合的交、并、补集的混合运算求解. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T={4}, ∴(?US)∪T={2,4}∪{4}={2,4}. 故选:A. 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题,解题时要认真审题. 5.函数 f(x)= + 的定义域为( )

A. (﹣3,0] B. (﹣3,1] C. (﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0] D. (﹣∞,﹣3)∪(﹣ 3,1] 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 从根式函数入手,根据负数不能开偶次方根及分母不为 0 求解结果,然后取交集. 解答: 解:根据题意: ,

解得:﹣3<x≤0 ∴定义域为(﹣3,0] 故选:A. 点评: 本题主要考查函数求定义域,负数不能开偶次方根,分式函数即分母不能为零,及指 数不等式的解法. 6.已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax ﹣x(a∈R) ,若 f=1,则 a=( A. 1 B. 2 C. 3 D. ﹣1 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的表达式,直接代入即可得到结论. 2 解答: 解:∵g(x)=ax ﹣x(a∈R) , ∴g(1)=a﹣1, 若 f=1, 则 f(a﹣1)=1, 即5 =1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用条件直接代入解方程即可,比较基础. 7.已知函数 y=ax +bx﹣1 在(﹣∞,0]是单调函数,则 y=2ax+b 的图象不可能是(
2 |a﹣1| |x| 2





A.

B.

C.

D.

考点: 一次函数的性质与图象;二次函数的性质. 专题: 数形结合;分类讨论. 2 分析: 先由函数 y=ax +bx﹣1 在(﹣∞,0]是单调函数求出 a 和 b 所能出现的情况,再对每 一中情况求出对应的图象即可. (注意对二次项系数的讨论) . 2 解答: 解:因为函数 y=ax +bx﹣1 在(﹣∞,0]是单调函数, 所以:①当 a=0,y=2ax+b 的图象可能是 A; ②当 a>0 时,﹣ ③当 a<0 时,﹣ ≥0?b≤0,y=2ax+b 的图象可能是 C; ≤0?b≤0,y=2ax+b 的图象可能是 D.

故 y=2ax+b 的图象不可能是 B. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的单调性以及一次函数的图象.是对基础知识的考查,属于基础踢.
x

8.函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上的最大值比最小值大 ,则 a 的值为( A. B. C. D.



考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数为单调函数,故函数 f(x)=a (0<a<1)在区间在区间上的最大值与 最小值的差是 ,由此构造方程,解方程可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)=a (0<a<1)在区间上为单调递减函数, 2 ∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=a , ∵最大值比最小值大 , ∴1﹣a = , 解得 a= 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是指数函数单调性的应用,熟练掌握指数函数的单调性是解答的关 键 9.已知函数 f(x)=|x|,则下列哪个函数与 y=f(x)表示同一个函数( A. g(x)=( ) B. h(x)=
2 2 x x



C. s(x)=x D. y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)的对应关系和定义域,求出 A、B、C、D 中函数的定义域和对应关系,判定 是否与 f(x)为同一函数即可. 解答: 解:∵f(x)=|x|,x∈R; ∴A 中,g(x)=x,x≥0,定义域不同,不是同一函数; B 中,h(x)=|x|,x∈R,定义域相同,对应关系也相同,是同一函数; C 中,s(x)=x,x∈R,对应关系不同,不是同一函数; D 中,y= =|x|,x≠0,定义域不同,不是同一函数.

故选:B. 点评: 不同考查了判定函数是否为同一函数的问题,解题时只需考虑两个函数的定义域、对 应关系是否相同即可,是基础题.

10.已知 a=log23,b=log

3,c=3

,则(



A. c>b>a B. c>a>b C. a>b>c D. a>c>b 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由指数函数与对数函数的图象与性质,得出 1<a<1.6,b<0,c= a、b、c 的大小 解答: 解:由指数函数与对数函数的图象与性质,得出: 5 8 ∵3 <2 , ∴3< , =1.6,

>1.7,从而得出

∴a=log23<log2

∵log23>log22=1, ∴1<a<1.6, b=log 3<log 1=0,

c=3

=

>1.7,

∴c>a>b. 故选:B. 点评: 本题考查了利用函数的图象与性质判定数值大小的问题,解题时应考查对应函数的图 象与性质,是基础题.

11.函数 f(x)=

+lg(1+x)的定义域是(



A. (﹣∞,﹣1) B. (1,+∞) C. (﹣1,1)∪(1,+∞) D. (﹣∞,+∞) 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,结合分式与对数函数的定义域,可得 ,解可得答案.

解答: 解:根据题意,使 f(x)=

+lg(1+x)有意义,

应满足

,解可得(﹣1,1)∪(1,+∞) ;

故选:C. 点评: 本题考查函数的定义域,首先牢记常见的基本函数的定义域,如果涉及多个基本函数, 取它们的交集即可. 12.已知函数 f(x)是定义在区间上的偶函数,当 x∈时,f(x)是减函数,如果不等式 f(1 ﹣m)<f(m)成立,则实数 m 的取值范围是( ) A. B. C. 上是减函数,在是增函数,由此可以得出函数在上具有这样

的一个特征﹣﹣自变量的绝对值越小,其函数值就越小,由此抽象不等式 f(1﹣m)<f(m)

可以转化为

,解此不等式组即为所求.

解答: 解:偶函数 f (x)在上是减函数, ∴其在(﹣2,0)上是增函数,由此可以得出,自变量的绝对值越小,函数值越大

∴不等式 f(1﹣m)<f(m)可以变为

解得 m∈, ∴8+5=﹣,得 f(100)=﹣18, 故答案为:﹣18. 点评: 本题考查函数奇偶性及其应用,属基础题,恰当构造函数是解决本题的关键. 三.简答题 17. (10 分) (2012?靖远县校级模拟)若二次函数 f(x)满足 f(2)=﹣1,f(﹣1)=﹣1 且 f (x)的最大值是 8,试确定此二次函数. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义.

专题: 计算题. 分析: 由题意知 x=2 与 x=﹣1 是方程 f(x)+1=0 的两个根,故解决本题宜将函数设为两根 式,这样引入的参数最少,然后再利用函数最值为 8,即 f(x)+1 的最大值为 9 建立方程求 参数. 解答: 解:∵二次函数 f(x)满足 f(2)=﹣1,f(﹣1)=﹣1 ∴x=2 与 x=﹣1 是方程 f(x)+1=0 的两个根 设 f(x)+1=a(x﹣2) (x+1)=a(x ﹣x﹣2)=a ∵f(x)的最大值是 8, ∴f(x)+1 的最大值为 9,且 a<0 ∴﹣ a=9,得 a=﹣4. 故 f(x)+1=﹣4(x﹣2) (x+1)=﹣4x +4x+8 2 所以 f(x)=﹣4x +4x+7 2 答:二次函数的解析式为 f(x)=﹣4x +4x+7 点评: 考查求二次函数的解析式,主要用待定系数法,常设的形式有三种,一般式,顶点式, 两根式,在做题时就根据题目条件灵活选用采取那一种形式,如本题,设为两根式最方便. 18. (12 分) (2012?白银区校级模拟)二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0) =1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)先设 f(x)=ax +bx+c,在利用 f(0)=1 求 c,再利用两方程相等对应项系数相 等求 a,b 即可. 2 (2)转化为 x ﹣3x+1﹣m>0 在上恒成立问题,找其在上的最小值让其大于 0 即可. 2 2 解答: 解: (1)设 f(x)=ax +bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax +bx+1. 2 2 因为 f(x+1)﹣f(x)=2x,所以 a(x+1) +b(x+1)+1﹣(ax +bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以
2 2 2 2

,∴



所以 f(x)=x ﹣x+1 2 2 (2)由题意得 x ﹣x+1>2x+m 在上恒成立.即 x ﹣3x+1﹣m>0 在上恒成立. 设 g(x)=x ﹣3x+1﹣m,其图象的对称轴为直线
2 2

,所以 g(x)在上递减.

故只需 g(1)>0,即 1 ﹣3×1+1﹣m>0, 解得 m<﹣1. 点评: 本题考查了二次函数解析式的求法.二次函数解析式的确定,应视具体问题,灵活的 选用其形式,再根据题设条件列方程组,即运用待定系数法来求解.在具体问题中,常常会 与图象的平移,对称,函数的周期性,奇偶性等知识有机的结合在一起. 19. (12 分) (2011?湖南模拟)命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实 2 2 数 x 满足 x ﹣x﹣6≤0 或 x +2x﹣8>0;若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.
2 2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定;一元二次不等式的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用不等式的解法求解出命题 p,q 中的不等式范围问题,结合二者的关系得出关于 字母 a 的不等式,从而求解出 a 的取值范围. 2 2 解答: 解:x ﹣4ax+3a =0 对应的根为 a,3a; 由于 a<0, 则 x ﹣4ax+3a <0 的解集为(3a,a) , 故命题 p 成立有 x∈(3a,a) ; 2 由 x ﹣x﹣6≤0 得 x∈, 2 由 x +2x﹣8>0 得 x∈(﹣∞,﹣4)∪(2,+∞) , 故命题 q 成立有 x∈(﹣∞,﹣4)∪上单调递减,又当 a,b∈,且 a+b=0 时,f(a)+f(b)=0. (Ⅰ)证明:f(x)是奇函数; (Ⅱ)求不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m )>0 的解集. 考点: 抽象函数及其应用;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)令 b=﹣a,结合奇函数的定义,即可得证; (Ⅱ)解此不等式的基本思路是 f(1﹣m)+f(1﹣m )>0 可化为 f(1﹣m)>﹣f(1﹣m ) 2 =f(m ﹣1) ,然后利用单调性转化为自变量的大小关系,要注意定义域. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵当 a,b∈,且 a+b=0 时,f(a)+f(b)=0, ∴令 b=﹣a,可得 f(a)+f(﹣a)=0, 即 f(﹣a)=﹣f(a) , ∴f(x)是定义域为的奇函数; 2 (Ⅱ)由(1)得不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m )>0 2 2 可化为 f(1﹣m)>﹣f(1﹣m )=f(m ﹣1) , 又∵f(x)在定义域上单调递减,
2 2 2 2 2



即为

解得 1<m≤ , 2 ∴不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m )>0 的解集为(1, ]. 点评: 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用:解不等式,考查运算能力,注意定义 域的运用,属于中档题和易错题. 21. (12 分) (2015?贵州模拟)选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|. (1)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥2 的解集; (2)若 f(x)≥5﹣x 对?x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ)a=3 时,即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2.分①当

时,②当

时,③当 x≤1

时,三种情况,分别去掉绝对值求得不等式的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立,令 可得函数 y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数 g(x)的图象的上方, 数形结合可求得 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)a=3 时,即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2. ①当 ②当 时,不等式即 2x﹣3+x﹣1≥2,解得 x≥2. 时,不等式即 3﹣2x+x﹣1≥2,∴2﹣x≥2,∴x<0. ,由题意

③当 x≤1 时,3﹣2x+1﹣x≥2,解得 3x≤2,即 x≤ . ∴综上,解集为 .…(5 分)

(Ⅱ)即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立 令 ,则由函数 g(x)的图象可得它的最大值为 4,

故函数 y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数 g(x)的图象的上方,数形结合可得 a 的范围是, 即函数 y=g(x)﹣f(x)的值域为 点评: 本题考查对数函数的单调性,考查解不等式组的能力,属于中档题.

,∴a≥6,即


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