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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章 专题二


专题二

高考中的三角函数的综合问题

1.(2013· 北京)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A

(

)

解析 当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=-

sin 2x 过原点.当曲线过原点时,φ=kπ,k∈Z, 不一定有 φ=π.∴“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过原点”的充分不必要条件. 2.已知向量 a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数 f(x)=a· b 的最小正周期是 π A. 2 C.2π 答案 B 解析 f(x)=2cos2x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x B.π D.4π ( )

π? 2π =1+ 2sin? ?2x+4?,T= 2 =π. π 3.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x< ,则 f(x)的最大值为 2 A.1 答案 B π 解析 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin(x+ ), 6 π π π 2π 当 0≤x< 时, ≤x+ < , 2 6 6 3 f(x)的最大值是 2. → → → → → 4.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=( 2cos α, 2sin α),则向量OA与向量OB 的夹角的取值范围是 π? A.? ?0,4? 5 π? C.? ?12π,2? 答案 D π 5 ? B.? ?4,12π? π 5 ? D.? ?12,12π? ( ) B.2 C. 3+1 D. 3+2 ( )

→ → → 解析 由题意,得:OA=OC+CA=(2+ 2cos α,2+ 2sin α),所以 → 点 A 的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当 A 位于使向量OA与圆 → → 相切时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值,故选 D. 5.(2012· 四川改编)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE =1,连接 EC、ED,则 sin∠CED=_______________________. 答案 10 10

解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解. 由题意知,在 Rt△ADE 中,∠AED=45° , 在 Rt△BCE 中,BE=2,BC=1, ∴CE= 5,则 sin∠CEB= 而∠CED=45° -∠CEB, ∴sin∠CED=sin(45° -∠CEB) = = 2 (cos∠CEB-sin∠CEB) 2 1 2 ?2 10 - ?= × . 2 ? 5 10 5? 1 2 ,cos∠CEB= . 5 5

方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解. 由题意得 ED= 2,EC= 12+22= 5. 在△EDC 中,由余弦定理得 CE2+DE2-DC2 3 cos∠CED= = 10, 2CE· DE 10 又 0<∠CED<π, ∴sin∠CED= 1-cos2∠CED= 3 ?2 10 1-? ?10 10? = 10 .

题型一 三角函数的图像和性质 例1 π π ωx 已知函数 f(x)=sin(ωx+ )+sin(ωx- )-2cos2 ,x∈R(其中 ω>0). 6 6 2 (1)求函数 f(x)的值域; π (2)若函数 y=f(x)的图像与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 , 求函数 y=f(x)的单 2 调增区间.

思维启迪

对三角函数的性质的讨论,首先要化成 y=Asin(ωx+φ)+k(一角、一次、一

函数)的形式;根据(2)中条件可确定 ω. 解 =2( (1)f(x)= 3 1 3 1 sin ωx+ cos ωx+ sin ωx- cos ωx-(cos ωx+1) 2 2 2 2

3 1 π sin ωx- cos ωx)-1=2sin(ωx- )-1. 2 2 6

π 由-1≤sin(ωx- )≤1, 6 π 得-3≤2sin(ωx- )-1≤1, 6 所以函数 f(x)的值域为[-3,1]. 2π (2)由题设条件及三角函数图像和性质可知,y=f(x)的周期为 π,所以 =π,即 ω=2. ω π 所以 f(x)=2sin(2x- )-1, 6 π π π 再由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 3 π π 所以函数 y=f(x)的单调增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 思维升华 三角函数的图像和性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为 y =

Asin(ωx+φ)+k 的形式,然后将 t=ωx+φ 视为一个整体,结合 y=sin t 的图像求解. 已知函数 f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; 19π (2)当 x∈[ ,π]时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 24 解 f(x)=sin2x-2sin xcos x+3cos2x

=1-sin 2x+2cos2x=2+cos 2x-sin 2x π =2+ 2cos(2x+ ). 4 (1)函数 f(x)的最小正周期 T=π. 19π 11 π 9π (2)因为 ≤x≤π,所以 π≤2x+ ≤ . 24 6 4 4 所以 2 π ≤cos(2x+ )≤1. 2 4

π 所以 3≤2+ 2cos(2x+ )≤2+ 2,即 3≤f(x)≤2+ 2. 4 所以函数 f(x)的最小值为 3,最大值为 2+ 2.

题型二 三角函数和解三角形 例2 (2013· 重庆)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2+ 2ab=c2. (1)求 C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设 cos Acos B= , = ,求 tan α 的值. 5 cos2α 5 思维启迪 (1)利用余弦定理求 C;

3 2 (2)由(1)和 cos Acos B= 可求得 A+B,代入求 tan α. 5 解 (1)因为 a2+b2+ 2ab=c2,

a2+b2-c2 - 2ab 2 由余弦定理有 cos C= = =- . 2ab 2ab 2 3π 又 0<C<π,故 C= . 4 (2)由题意得 ?sin αsin A-cos αcos A??sin αsin B-cos αcos B? 2 = . cos2α 5 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)= 2 , 5 2 , 5

tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B= tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B= 2 .① 5

3π π 2 因为 C= ,所以 A+B= ,所以 sin(A+B)= , 4 4 2 因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 即 3 2 2 -sin Asin B= , 5 2

3 2 2 2 解得 sin Asin B= - = . 5 2 10 由①得 tan2α-5tan α+4=0,解得 tan α=1 或 tan α=4. 思维升华 三角函数和三角形的结合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形 的边角,再代入到三角函数中,三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键. (2012· 安徽)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且有 2sin Bcos A=sin Acos C+cos Asin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 解 (1)方法一 由题设知,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B.

1 因为 sin B≠0,所以 cos A= . 2 π 由于 0<A<π,故 A= . 3 方法二 由题设可知, b2+c2-a2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 2b· =a· +c· , 2bc 2ab 2bc b2+c2-a2 1 于是 b2+c2-a2=bc,所以 cos A= = . 2bc 2 π 由于 0<A<π,故 A= . 3

?→ → ? → (2)方法一 因为AD2=?AB+AC?2 ? 2 ?
1 → → → → = (AB2+AC2+2AB· AC) 4 1 π 7 = (1+4+2×1×2×cos )= , 4 3 4 7 7 → 所以|AD|= .从而 AD= . 2 2 1 π 方法二 因为 a2=b2+c2-2bccos A=4+1-2×2×1× =3,所以 a2+c2=b2,B= . 2 2 因为 BD= 3 ,AB=1,所以 AD= 2 3 7 1+ = . 4 2

题型三 三角函数与平面向量的综合应用 例3 x x x 3sin ,1?,n=?cos ,cos2 ?. 已知向量 m=? 4 ? 4 4? ? ? 2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? ? 3 -x?的值; (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B =bcos C,求函数 f(A)的取值范围. 思维启迪 (1)由向量数量积的运算转化成三角函数式,化简求值.(2)在△ABC 中,求出

∠A 的范围,再求 f(A)的取值范围. 解 (1)m· n= 3sin 1+cos 2 x x x · cos +cos2 4 4 4 x 2 x π? 1 =sin? ?2+6?+2,

3 x = sin + 2 2

x π? 1 ∵m· n=1,∴sin? ?2+6?=2. π? π? 1 2? x ∵cos? ?x+3?=1-2sin ?2+6?=2,

2π ? 1 ? π? ∴cos? ? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B= ,∵0<B<π,∴B= .∴0<A< . 2 3 3 A π? ?1 ? π A π π ∴ < + < ,sin? ? 2 +6?∈?2,1?. 6 2 6 2 x π? 1 又∵f(x)=sin? ?2+6?+2. A π? 1 ∴f(A)=sin? ? 2 +6?+2. 3? 故函数 f(A)的取值范围是? ?1,2?. 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或

性质转化成三角函数问题. (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程 的影响. 3 已知 a=(5 3cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),设函数 f(x)=a· b+|b|2+ . 2 π π (1)当 x∈[ , ]时,求函数 f(x)的值域; 6 2 π π π (2)当 x∈[ , ]时,若 f(x)=8,求函数 f(x- )的值; 6 2 12 π (3)将函数 y=f(x)的图像向右平移 个单位后, 再将得到的图像上各点的纵坐标向下平移 12 5 个单位,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 g(x)的表达式并判断奇偶性. 解 3 (1)f(x)=a· b+|b|2+ 2

3 =5 3sin xcos x+2cos2x+4cos2x+sin2x+ 2 5 =5 3sin xcos x+5cos2x+ 2 = 1+cos 2x 5 5 3 sin 2x+5× + 2 2 2

π =5sin(2x+ )+5. 6

π π π π 7π 由 ≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ , 6 2 2 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 π π 5 ∴当 ≤x≤ 时,函数 f(x)的值域为[ ,10]. 6 2 2 π (2)f(x)=5sin(2x+ )+5=8, 6 π 3 则 sin(2x+ )= , 6 5 π 4 所以 cos(2x+ )=- , 6 5 f(x- π π π 3 3 )=5sin 2x+5=5sin(2x+ - )+5= +7. 12 6 6 2

π (3)由题意知 f(x)=5sin(2x+ )+5→ 6 π π g(x)=5sin[2(x- )+ ]+5-5=5sin 2x, 12 6 即 g(x)=5sin 2x, g(-x)=5sin(-2x)=-5sin 2x=-g(x), 故 g(x)为奇函数.

(时间:70 分钟) π π 7π 1.函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在同一个周期内,当 x= 时,y 取最大值 1,当 x= 时, 2 4 12 y 取最小值-1. (1)求函数的解析式 y=f(x); (2)函数 y=sin x 的图像经过怎样的变换可得到 y=f(x)的图像; (3)若函数 f(x)满足方程 f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]内的所有实数根之和. 解 7 π 2 (1)∵T=2( π- )= π,∴ω=3, 12 4 3

3 又∵sin( π+φ)=1, 4 ∴ 3π π +φ=2kπ+ ,k∈Z. 4 2

π π 又|φ|< ,得 φ=- , 2 4 π ∴函数的解析式为 f(x)=sin(3x- ). 4

π (2)y=sin x 的图像向右移 个单位, 4 π 得到 y=sin(x- )的图像, 4 π 1 再由 y=sin(x- )的图像上所有点的横坐标变为原来的 , 4 3 π 纵坐标不变,得到 y=sin(3x- )的图像. 4 π 2 (3)∵f(x)=sin(3x- )的最小正周期为 π, 4 3 π ∴f(x)=sin(3x- )在[0,2π]内恰有 3 个周期, 4 π π ∴sin(3x- )=a(0<a<1)在[0,2π]内有 6 个实数根且 x1+x2= . 4 2 11π 19 同理,x3+x4= ,x5+x6= π, 6 6 π 11π 19π 11π 故所有实数根之和为 + + = . 2 6 6 2 π? 2.(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin? ?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; π? (2)讨论 f(x)在区间? ?0,2?上的单调性. 解 π? (1)f(x)=4cos ωx· sin? ?ωx+4?

=2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos2ωx = 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2 π? =2sin? ?2ωx+4?+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0. 从而有 2π =π,故 ω=1. 2ω

π? (2)由(1)知,f(x)=2sin? ?2x+4?+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π 当 ≤2x+ ≤ , 2 4 4 π π 即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 8 2

π? 综上可知,f(x)在区间? ?0,8?上单调递增, π π? 在区间? ?8,2?上单调递减. A-B 3.(2013· 四川)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2 cos B-sin(A 2 3 -B)sin B+cos(A+C)=- . 5 (1)求 cos A 的值; → → (2)若 a=4 2,b=5,求向量BA在BC方向上的射影. 解 A-B 3 (1)由 2cos2 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- ,得 2 5

3 [cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=- , 5 3 即 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 3 4 (2)由 cos A=- ,0<A<π,得 sin A= , 5 5 由正弦定理,有 a b bsin A 2 = ,所以,sin B= = . sin A sin B a 2

π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= , 4 3? 根据余弦定理,有(4 2)2=52+c2-2×5c×? ?-5?, 解得 c=1 或 c=-7(舍去). 2 → → → 故向量BA在BC方向上的射影为|BA|cos B= . 2 4. 已知向量 a=(cos α, sin α), b=(cos x, sin x), c=(sin x+2sin α, cos x+2cos α), 其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3 解 (1)∵b=(cos x,sin x),

π c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α= ,∴f(x)=b· c 4 =cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α =2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). π ? 令 t=sin x+cos x? ?4<x<π?,

则 2sin xcos x=t2-1,且-1<t< 2. 则 y=t2+ 2t-1=?t+

?

2?2 3 - ,-1<t< 2, 2? 2

∴t=-

2 3 2 时,ymin=- ,此时 sin x+cos x=- , 2 2 2

π 2 x+ ?=- , 即 2sin? ? 4? 2 π π π 5 ∵ <x<π,∴ <x+ < π, 4 2 4 4 π 7 11π ∴x+ = π,∴x= . 4 6 12 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为- ,相应 x 的值为 . 2 12 π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a· b ∴cos = =cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α). 3 |a|· |b| π ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α= . 3 ∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0, π? ∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即 sin? ?2α+3?+2sin 2α=0. 5 3 3 ∴ sin 2α+ cos 2α=0,∴tan 2α=- . 2 2 5 π 5.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< )的部分图像如图所 2 示. (1)求 f(x)的解析式; π π π (2)设 g(x)=[f(x- )]2,求函数 g(x)在 x∈[- , ]上的最大值,并确定此时 x 的值. 12 6 3 解 则 T π (1)由题图知 A=2, = , 4 3 2π π 3 =4× ,∴ω= . ω 3 2

π 3 π π 又 f(- )=2sin[ ×(- )+φ]=2sin(- +φ)=0, 6 2 6 4 π ∴sin(φ- )=0, 4 π π π π ∵0<φ< ,∴- <φ- < , 2 4 4 4 π π 3 π ∴φ- =0,即 φ= ,∴f(x)=2sin( x+ ). 4 4 2 4

π 3 π π (2)由(1)可得 f(x- )=2sin[ (x- )+ ] 12 2 12 4 3 π =2sin( x+ ), 2 8 π 1-cos?3x+ ? 4 π 2 ∴g(x)=[f(x- )] =4× 12 2 π =2-2cos(3x+ ), 4 π π π π 5π ∵x∈[- , ],∴- ≤3x+ ≤ , 6 3 4 4 4 π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,[g(x)]max=4. 4 4


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