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绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试仿真试题-数学


绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试仿真试题 数学
第一卷(选择题,共 36 分)
一. 选择题(本大题共 12 个小题, 每小题 3 分, 共 36 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的) 1. 下列运算中, 计算结果正确的是( A. 3x ? 2 x ? 1 C. 2 x ? 2 x ? 2 x 2 B. x ? x ?

)

x2

D. ( ? a3 )2 ? ?a6 )

2. 如图, 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c , 若 OA =OC, 则下列关系中正确的是 ( A . ac+1=b C. bc+1=a B. ab+1=c D.

a ?1 ? c b
)

3. 如图, MN 是圆柱底面的直径,MP 是圆柱的高, 在圆柱的侧面上, 过点 M、P 有一条绕了四周的路 径最短的金属丝, 现将圆柱侧面沿 MP 剪开, 所得的侧面展开图可以是(

4. 如图, 矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O, 过点 O 的直线分别交 A D 和 BC 于点 E 、 F , AB =2,BC=3, 则图中阴影部分的面积为( ) A .6 B. 3 C.2 D. 1 5. 如图, 若正方形 OABC, ADEF 的顶点 A 、D、C 在坐标轴上, 点 F 在 AB 上, 点 B 、E 在函数

y?
A. (

1 ( x ? 0 )的图象上, 则点 E 的坐标是( x

)

5 ? 1 5 ?1 , ) 2 2

B. (

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

C. (

3? 5 3? 5 , ) 2 2

D. (
y

3? 5 3? 5 , ) 2 2

A
O

E

C

D
C
5 题图

o

B E F A D

x

B
3 题图 4 题图

F

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6. 如图, 已知直线 y ? 3x ? b 与 y ? ax ? 2 的交点的横坐标为 ? 2 , 根据图象有下列 3 个结论: ① a ? 0 ;② b ? 0 ;③ x ? ?2 是不等式 3x ? b ? ax ? 2 的解集. 其中, 正确结论的个数是( ) A .0 B.1 C.2 D.3

A

α

C B

6 题图 7 题图 9 题图 10 题图 7. 如图, 圆锥的母线 AB =6, 底面半径 CB=2, 则其侧面展开图扇形的圆心角 α 的度数为( A .90 B.100 C.120 8. 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块, 图(2)、(3)是 由这样的小正方体木块叠放而成, 按照这样的规律继 续叠放下去, 至第七个叠放的图形, 此时第七个图形中 小正方体木块总数应是( ) A .25 B.66 C. 91 D.120
(1)

)

o

o

o

D.150

o

(2)

(3)

9. 如图, 在三角形纸片 ABC 中, ?ACB ? 90 , BC=3, AB =6,在 AC 上取一点 E, 以 BE 为折痕, 使 AB 的 一部分与 BC 重合, A 与 BC 延长线上的点 D 重合, 则 CE 的长度为( A. 3 的长为( ) B. 6 C. 2 3 ) D. 3

10. 如图, 点 A 、B 、C、D 为⊙O 上的四个点, AC 平分∠BAD,AC 交 BD 于点 E, CE =4, CD=6,则 AE A .4 B.5 C.6 D.7 11. 如下右图, 在矩形 ABCD 中, AB =4, BC=3, 点 F 在 DC 边上运动, 连结 AF , 过点 B 作 BE ⊥AF 于 E , 设 BE =y, AF =x, 则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.
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12. 一次函数 y ? ax ? b(a ? 0) 、二次函数 y ? ax2 ? bx 和反比例函数 y ? 坐标系中的图象如图, A 点为(-2,0). 则下列结论中, 正确的是( A . b ? 2a ? k C. a ? b ? 0 B. a ? b ? k D. a ? k ? 0 )

k (k ? 0) 在同一直角 x

第二卷(非选择题,共 114 分)
二. 填空题(本大题共 6 个小题, 每小题 4 分, 共 24 分. 将答案填写在答题卡相 应的横线上) 13. 一 个函 数 的图 像 关 于 y 轴 成 轴对 称 图形 时 , 我 们 称该 函 数为 “ 偶 函数 ”. 如果 二 次函 数

y ? x2 ? bx ? 4 是“偶函数”, 该函数的图像与 x 轴交于点 A 和点 B, 顶点为 P, 那么△ABP 的面积是
___________. 14. 如图 , OA 是⊙ B 的直径 , OA =4, CD 是⊙ B 的切线 , D 为切点 , ∠ DOC=30° , 则点 C 的坐标 为 .
a ? ?b (a ? b) . 根据这个规则, 则方程 2 ? x =9 a ? b ? b ( a ? b ) ?

15. 对任意两实数 a、b, 定义运算“*”如下 : a ? b ? ?

的解为________________________. 16. 如图所示的两个圆盘中, 指针落在每一个数上的机会均等, 那么两个指针同时落在偶数上的概 率等于____________. 17. 定义: a 是不为 1 的有理数, 我们把

1 1 ? ?1 , ?1 的差倒 称为 a 的差倒数 . 如:2 的差倒数是 ... 1? a 1? 2

1 1 1 ? . 已知 a1 ? ? , a2 是 a1 的差倒数, a3 是 a2 的差倒数, a4 是 a3 的差倒数, …, 依此类 3 1 ? (?1) 2 推, 则 a 2012 = .
数是

14 题图

16 题图
?

18 题图

18. 如图, 在等腰直角 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , O 是斜边 AB 的中点, 点 D、 E 分别在直角边 AC、 BC 上, 且 ?DOE ? 90 , DE 交 OC 于点 P. 则下列结论: ①图形中全等的三角形只有两对; ② ?ABC 的面积等于四边形 CDOE 面积的 2 倍;
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?

③ CD ? CE ?

2OA ;

④ AD2 ? BE 2 ? 2OP ? OC . 其中, 正确结论的序号是_____________. 三. 解答题:本大题共 7 个小题,共 90 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 19.(本题共 2 个小题, 每小题 8 分, 共 16 分)解答下列各题:

?x ?3 ?3? x ? (1)解不等式组 ? 2 , 并把其解集在数轴上表示出来. ? ?1 ? 3( x ? 1) ? 8 ? x
?a (2)将 4 个数 a, b, c, d 排成 2 行、2 列, 记成 ? ?c ? x ? 1 x ? 1? 列式. 若 ? ? ? 6 , 求 x 的值. ? 1 ? x x ? 1? b? ?a b? ? , 定义 ? ? ? ad ? bc , 上述记号就叫做 2 阶行 d? ?c d?

20.(本题满分 12 分)绵阳市“创建文明城市”活动如火如荼的展开. 南山中学为了搞好“创建”活动的 宣传, 校学生会就本校学生对绵阳“市情市况”的了解程度进行了一次 调查测试. 经过对测试成绩的 分析, 得到如下图所示的两幅不完整的统计图(A :59 分及以下;B :60—69 分;C:70—79 分;D:80—89 分;E :90—100 分). 请你根据图中提供的信息解答以下问题:
人数

E A 10% B

D 35% C 30%

400 350 300 250 200 150 100 50 A B C D E D E
成绩

(第 20 题图) 绵阳南山中学(实验学校)2014 年自主招生考试仿真试题-数学

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(Ⅰ)求该校共有多少名学生; (Ⅱ)将条形统计图补充完整; (Ⅲ)在扇形统计图中, 计算出“60—69 分”部分所对应的圆心角的度数; (Ⅳ)从该校中任选一名学生, 其测试成绩为“90—100 分”的概率是多少?

21.(本小题满分 12 分)如图, 已知双曲线 y = AC 垂直 y 轴于点 C, AC=

k 和直线 y=mx+n 交于点 A 和 B ,B 点的坐标是(2, -3), x

3 . 2

(Ⅰ)求双曲线和和直线的解析式; (Ⅱ)求△AOB 的面积.

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22.(本题满分 12 分)已知:如图, 在△ABC 中,AB =BC, D 是 AC 中点, BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E, 点 O 是 AB 上一点, ⊙O 过 B 、E 两点, 交 BD 于点 G,交 AB 于点 F. (Ⅰ)求证:AC 与⊙O 相切; (Ⅱ)当 BD=6,sinC=

3 时, 求⊙O 的半径. 5

C D E A F O G B

23.(本题满分 12 分)如图,△ ABC 中, AB =BC,AC=8,tanA =k, P 为 AC 边上一动点, 设 PC=x, 作 PE ∥AB 交 BC 于 E, PF ∥BC 交 AB 于 F . (Ⅰ)证明: △PCE 是等腰三角形; (Ⅱ)EM、FN、BH 分别是△PEC、△AFP 、△ABC 的高, 用含 x 和 k 的代数式表示 EM、FN, 并探 究 EM、FN、BH 之间的数量关系; (Ⅲ)当 k =4 时, 求四边形 PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式. 并求当 x 为何值时,S 有最大值?并求出 S 的最大值.

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24.(本题满分 12 分, 其中第(Ⅰ)小题 3 分, 第(Ⅱ)小题 4 分, 第(Ⅲ)小题 5 分) 已知点 A 、B 分别是 x 轴、y 轴上的动点, 点 C、D 是某个函数图像上的点, 当四边形 ABCD(A 、B 、 C、D 各点依次排列)为正方形时, 我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”. 例如:在图 1 中, 正方形 ABCD 是一次函数 y ? x ? 1 图像的其中一个“伴侣正方形”. (Ⅰ)如图 1, 若某函数是一次函数 y ? x ? 1 , 求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长; ( Ⅱ ) 如 图 2, 若 某 函 数是 反 比 例函 数 y ?

D (2, m) ( m ? 2) 在反比例函数图像上, 求 m 的值及反比例函数的解析式;

k (k ? 0) , 它 的 图 像的 “ 伴 侣 正方 形 ” 为 ABCD, 点 x

(Ⅲ)如图 3, 若某函数是二次函数 y ? ax2 ? c (a ? 0) , 它的图像的“伴侣正方形”为 ABCD, C、D 中的 一个点坐标为 (3, 4) , 请你直接写出该二次函数的解析式. y D C O B
(第 24 题图 1) (第 24 题图 2)

y ? x ?1

y

y

(3, 4)
4 3 2

A

x

O

x

1 -2 -1 O 1 2 3

x

(第 24 题图 3)

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25.(本题满分 14 分)如图, 已知抛物线的方程 C1 : y ? ? C, 与 y 轴交于点 E , 且点 B 在点 C 的左侧. (Ⅰ)若抛物线 C1 过点 M(2, 2), 求实数 m 的值;

1 ( x ? 2)( x ? m) (m>0)与 x 轴交于点 B、 m

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 求△BCE 的面积; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下, 在抛物线的对称轴上找一点 H, 使得 BH+EH 最小, 求出点 H 的坐标; (Ⅳ)在第四象限内, 抛物线 C1 上是否存在点 F, 使得以点 B 、 C、 F 为顶点的三角形与△BCE 相似? 若存在, 求 m 的值;若不存在, 请说明理由.

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