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数学选修1-1《圆锥曲线与方程》复习训练题(含详细答案)


2.圆锥曲线与方程复习检测题
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。
2 x 2 ? y ?1与曲线 25 9 2 x 2 ? y ?1 (0 <k<9) 25 ? k 9 ? k

1 曲线

具有(



A、相等的长、短轴 C、相等的

离心率

B、相等的焦距 D、相同的准线
2 2

2、若 k 可以取任意实数,则方程 x +ky =1 所表示的曲线不可能是( ) A.直线 B.圆 C.椭圆或双曲线 D.抛物线 2 3、如果抛物线 y = ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为( ) A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) 4 、 平 面 内 过 点 A ( -2 , 0 ) 且 与 直 线 x=2 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 , ( ) 2 2 2 2 A. y =-2x B. y =-4x C.y =-8x D.y =-16x 5、双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率 为 ( ) A. 3 6.椭圆 B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上,那么 12 3

|PF1|是|PF2|的 A.7 倍 ( ) B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 )

x2 2 7、过点 P(2,-2)且与 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2
A.

y2 x2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 2 4 4 2 4 2 2 4
2

8、抛物线 y ? A、 (1,0)

1 x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是( 4 1 1 B、 ( ,0) C、 (0,0) D、 (0, ) 16 16



9、中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率 e ? 3 ,一条准线方程为 3x ? 6 ? 0 的双 曲线方程是 (A) ( (B) )

x2 y 2 ? ?1 3 4

y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1 (C) ? ?1 5 3 2 4

(D)

y 2 x2 ? ?1 4 2

10.已知点 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直 a 2 b2

于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点,若 ?ABF2 是钝角三角形,则该双曲线离心率
-1-

的取值范围是( A. ( 2 ? 1, ??)

) B. ( 3 ? 1, ??) C. (1 ? 2, ??)
2

D. (1,1 ? 2)

2 y2 x 2 ? y ?1 11、已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 2

a

b

m

b

(a>0, m>b>0)的离心率互为 )

倒数,那么以 a、b、m 为边长的三角形是( A、锐角三角形 C、钝角三角形
2

B、直角三角形 D、等腰三角形

12、过抛物线 y =4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那么|AB|= ( ) A.8 B.10 C.6 D.4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。 x y 13、椭圆 + =1(x?0,y?0)与直线 x-y-5=0 的距离的最小值为__________ 9 4 14、若 m 是 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?
2
2 2

y2 ? 1 的离心率是为 m

x2 y2 15、抛物线的焦点为椭圆 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程 9 4
为 . 16、 动点到直线x=6的距离是它到点A(1,0)的距离的2倍,那么动点的轨迹方程是 _________________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17.(本小题满分 12 分)椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B,C 是 AB 的中 点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为
2

2 ,求椭圆的方程. 2

18.如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x 0 , y 0 ) y0 ? 0 ) ( ,作两条直线分别交 抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ) . (1)求该抛物线上纵坐标为

(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1 ? y 2 的值,并证明直线 AB 的斜率 y0 y 是非零常数.(12 分)
P O x

p 的点到其焦点 F 的距离; 2

A B

-2-

19.(本小题满分 12 分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一 个公共的焦点(4,0),其中双曲线的一条渐近线方程为 y= 3x,求三条曲线的标准方程 20.(本小题满分 12 分))已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍 且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) l 交椭圆于 A、B 两个 , 不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; x2 y2 21.、 (本小题满分 12 分). P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆 a b a2 的右焦点,O 是椭圆中心,B 是椭圆的上顶点,H 是直线 x=- (c 为椭圆的半焦距)与 x 轴 c 的交点,若 PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率 e. 22、 (本小题满分 14 分)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶 → → 点为 A,P 为椭圆 C 上任意一点,已知PF1· 2的最大值为 3,最小值为 2. PF (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点(M,N 不是左右顶点),且以线段 MN 为直径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标

x 2 y2 a b

-3-

圆锥曲线与方程参考答案
一、选择题 1、B 2、D 二、填空题 13、 -8 3、A 4、C 5、B 6、A 7、A 8、D 9、C 10、C 11、B 12、A

14、

3 或 5 2

15 、 y 2 ? ?4 5 x

16、 3x2+4y2+4x?32=0

三、解答题
?ax2+by2=1 ? 17.解:由? 得(a+b)x2-2bx+b-1=0. ? ?x+y=1

设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则|AB|= (k2+1)(x1-x2)2 4b2-4(a+b)(b-1) = 2· . a+b ∵|AB|=2 2,∴ a+b-ab =1.① a+b

x1+x2 b a 设 C(x,y),则 x= = ,y=1-x= , 2 a+b a+b ∵OC 的斜率为 2 a 2 ,∴ = . 2 b 2

1 2 代入①,得 a= ,b= . 3 3 x2 2 ∴椭圆方程为 + y2=1. 3 3

18. (12 分)[解析]: (I)当 y ?

p p 时, x ? 2 8 p 2 又抛物线 y ? 2 px 的准线方程为 x ? ? 2
由抛物线定义得,所求距离为 p ? ( ? p ) ? 5 p
8 2 8

(2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB 由 y1 ? 2 px1 , y 0 ? 2 px 0
2 2

相减得 ( y1 ? y0 )( y1 ? y0 ) ? 2 p( x1 ? x0 ) ,故 k PA ? y1 ? y0 ?
x1 ? x 0

2p ( x1 ? x 0 ) y1 ? y 0

2p ( x 2 ? x 0 ) ,由 PA,PB 倾斜角互补知 k PA ? ? k PB y2 ? y0 即 2 p ? ? 2 p ,所以 y1 ? y2 ? ?2 y0 , 故 y1 ? y2 ? ?2 y1 ? y 0 y2 ? y0 y0
同理可得 k PB ? 设 直 线 AB 的 斜 率 为 k AB , 由 y 2 2 ? 2 px 2 , y1 2 ? 2 px1 , 相 减 得
-4-

( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 )
所以 k AB ? y 2 ? y1 ?
x 2 ? x1 2p ( x1 ? x 2 ) , 将 y1 ? y2 ? ?2 y0 ( y0 ? 0) 代入得 y1 ? y 2

k AB ?

2p p ? ? ,所以 k AB 是非零常数. y1 ? y 2 y0

19. 解: 因为双曲线的焦点在 x 轴上,故其方程可设为 2- 2=1(a>0,b>0),又因为 它的一条渐近线方程为 y= 3x, 所以 = 3, 即

x2 y2 a b

b a

b2 = a2

c2-a2 2 = e -1= 3.解得 e=2, a2 x2 y2

因为 c=4,所以 a=2,b= 3a=2 3,所以双曲线方程为 - =1. 4 12 因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列,所以这个等比数列的中间项一 定是抛物线的离心率 1,由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数,因此,椭圆 1 x y 2 2 2 的离心率为 ,设椭圆方程为 2+ 2=1(a1>b1>0),则 c=4,a1=8,b1=8 -4 =48. 2 a1 b1 所以椭圆的方程为 + =1,易知抛物线的方程为 y =16x. 64 48
2 2

x2

y2

2

x2 y2 20 解:解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
?a ? 2b ?a 2 ? 8 ? ? 解得? 2 1 则? 4 ?b ? 2 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?

x2 y2 ? ?1 ∴椭圆方程为 8 2
1 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m ; 又 KOM=

? l的方程为:y ?

1 x?m 2

1 ? y ? x?m ? ? 2 ? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0
a2 依题意,知 H?- c ,0?,F(c,0),又由题设得 B(0,b),xP=c,代入椭圆方程结合题设 ? ?

-5-

b2 解得 yP= . a 因为 HB∥OP,所以 kHB=kOP. b2 b-0 a 由此得 = ?ab=c2, a2 c 0+ c
2 2 c b 2 a -c - 从而得 = ?e = 2 =e 2-1. a c c

∴e4+e2-1=0,又 0<e<1, 解得 e= 5-1 . 2

22.解:(1)∵P 为椭圆上任意一点, ∴|PF1|+|PF2|=2a 且 a-c≤|PF1|≤a+c, → → → → 令 y=PF1· 2=|PF1||PF2|cos∠F1PF2 PF 1 → 2 → 2 2 = (|PF1| +|PF2| -4c ) 2 1 → 2 → 2 2 = [|PF1| +(2a-|PF1|) -4c ] 2 2 2 2 =(|PF1|-a) +a -2c , 2 2 当|PF1|=a 时,y 有最小值 a -2c ; 2 2 当|PF1|=a-c 或 a+c 时,y 有最大值 a -c , 2 2 2 ? ? ?a -c =3 ?a =4 2 2 2 ∴? 2 .∴? 2 ,b =a -c =3, 2 ?a -2c =2 ?c =1 ? ? ∴椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2), 将 y=kx+m 代入椭圆方程得 2 2 2 (4k +3)x +8kmx+4m -12=0, 2 -8km 4m -12 ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4k +3 4k +3 ∵y1=kx1+m,y2=kx2+m, y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2, 又以 MN 为直径的圆过点 A(2,0), →→ ∴AM· =0,即 x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0, AN 2 2 ∴7m +16km+4k =0, 2 ∴m=- k 或 m=-2k,且满足 Δ>0, 7 若 m=-2k,直线 l 恒过定点(2,0),不合题意舍去, 2 2 2 若 m=- k,直线 l:y=k(x- )恒过定点( ,0) 7 7 7

x2 y2

-6-


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