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2.3等差数列的前n项和教案


新授课
2.3 等差数列的前 n 项和(1)
知识与技能 教 学 目 标 过程与方法 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项和公 式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题。 通过公式的推导和公式的运用, 使学生体会从特殊到一般,再从一般到特 殊的思维规律,初步形成认识问题,解决问题的一般思路和方法;通过公 式推导的过程教学, 对学生

进行思维灵活性与广阔性的训练, 发展学生的 思维水平. 情感态度 与价值观 重 点、 难 点: 教学 过 程: 教学重点 教学难点 结合具体模型 , 将教材知识和实际生活联系起来 , 使学生感受数学的实用 性,有效激发学习兴趣。 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 会用等差数列的前 n 项和 公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题。

等差数列前 n 项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方 法。

一、创设情境,揭示课题 首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点,传说陵寝中有一个三 角形的图案嵌有大小相同的宝石,共有 100 层,同时提出第一个问题:你能计算出这个图案一共花 了多少颗宝石吗?也即计算 1+2+3+…..+100=? 问题 1:计算 1+2+3+…..+100=? 这个问题是我们都知道高斯已经解决了。 1+100=101;2+99=101;…50+51=101,所以 101×50=5050” 我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发? 二、 研研探新知 问题 2:如何求等差数列{ an }的前 n 项和公式? 学生分组讨论,研究解决方法。 倒序相加法。

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an



S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
由①+②得, 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
1

∵ an ? a1 ? (n ? 1)d 可知 Sn ? na1 ?

代入上式即得公式 2,

n(n ? 1) d 2

3. 等差数列前 n 项和公式

公式1 :S n ?

n (a1 ? an ) 2
n( n ? 1) d 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , an

公 式2:S n ? na1 ?

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用) 公式中一共含有五个量,根据公式之间的联系,由方程的思想,知三可求二。 三、质疑答辩,排难解惑,发展思维 例 1. (1) 等差数列{ an }中, a1 ? 5 , a10 ? 95, 求 d , S10 。 (2)等差数列{ an }中, a1 =100, d ? ?2, 求 a50 , S50 。 (3)等差数列{ an }中, d ? 2, S20 ? 380 ,求 a1 , a20 。 (4) 求 1+3+5+ ··· +(2n-1) 例 2. 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220, 求其前 n 项和的公式. 解:由题设: S10 ? 310 得: ?

S 20 ? 1220

? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 ?? 1 ?20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6
∴ S n ? 4n ?

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

例 3. 在 等 差 数 列 {a n }中

(1)已 知 : a 6 ? 20, 求S11
解: (1)

(2)已 知 : a 2 ? a 5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16

(a 1 ? a11 ) ? 11 2 2a ? 11 ? 6 ? 220 2 S11 ?

(2)? a2

? a15 ? a5 ? a12 ? a1 ? a16

? a1 ? a16 ? a2 ? a15 ? 18
? S16 ? 16(a1 ? a16 ) ? 144 2
2

本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间,本题作为机动练习, (2)小问留给 学生课后完成。 四、课堂练习 教材 P45 练习题 五、小结 本节课学习了以下内容: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 2.等差 数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? 2、公式的推导方法——倒序相加法 六、布置作业 教材 P46 习题 2.3[A 组]第 2 题(1) (2) ,第 3 题

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

板书 设 计:

2.3 等差数列前 n 项和 1、等差数列前 n 项和 2、公式的推导
3、公式的认识 公式 1: 公式 2:
4、例题及解答 练习

作业

教学 反 思:

3

课题: §2.3 等差数列的前 (第2课时)

n 项和
授课类型:新授课

●教学目标 知识与技能:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式;了解等差数列的一些性质, 并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值;

过程与方法:经历公式应用的过程; 情感态度与价值观:通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服 务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题。 ●教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点 灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? Ⅱ.讲授新课 探究:——课本 P45 的探究活动

结论: 一般地, 如果一个数列 ?a n ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r , 其中 p、 q、 r 为常数, 且 p?0, 那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少? 由 Sn ? pn2 ? qn ? r ,得 S1 ? a1 ? p ? q ? r 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 = ( pn2 ? qn ? r ) ? [ p(n ?1)2 ? q(n ?1) ? r ] = 2 pn ? ( p ? q)

?d ? an ? an?1 ? [2 pn ? ( p ? q)] ? [2 p(n ?1) ? ( p ? q)] =2p
对等差数列的前 n 项和公式2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 可化成式子: 2

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

[范例讲解] 等差数列前项和的最值问题 课本 P51 的例 4 解略 小结: 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

4

(1) 利用 an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(2) 利用 S n : 由 Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 2 2

Ⅲ.课堂练习 1.一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,求这个等差数列的通项 公式。 2.差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值。 Ⅳ.课时小结 1.前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,一定是等差数列,该数列 的 首项是 a1 ? p ? q ? r 公差是 d=2p 通项公式是 an ? ?

?

S1 ? a1 ? p ? q ? r , 当n ? 1 时

?Sn ? Sn?1 ? 2 pn ? ( p ? q), 当n ? 2 时

2.差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值。
王新敞
奎屯 新疆

当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值。
王新敞
奎屯 新疆

(2)由 S n ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 2 2

Ⅴ.课后作业 课本 P46 习题[A 组]的 5、6 题 ●板书设计 ●授后记

5


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