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09年高考数学卷(上海[1].文)含详解


上海
1.函数 f(x)=x3+1 的反函数 f-1(x)=_____________. 2.已知集体 A={x|x≤1},B={x|≥a},且 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是__________________.

4 5 x
3. 若行列式 1 x 3 中,元素 4 的代数余子式大于 0,则 x 满足的条件是

/>7 8 9
__________________. 4.某算法的程序框如右图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是 ________________. 5.如图,若正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长为 2, 高 为 4 , 则 异 面 直 线 BD1 与 AD 所 成 角 的 大 小 是 ___________________
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(结果用反三角函数值表示). 6. 若 球 O1 、 O2 表 示 面 积 之 比
R1 =_____________. R2 S1 =4 ,则它们的半径之比 S2

? y ≤ 2x ? 7.已知实数 x、y 满足 ? y ≥ ?2 x 则目标函数 z=x-2y 的最小值是___________. ?x ≤ 3 ?

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

8.若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体 积是 。
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

9.过点 A(1,0)作倾斜角为

π
4

的 直 线 , 与 抛 物 线 y 2 = 2 x 交 于 M 、N 两 点 , 则

MN

=

。 。

10.函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + sin 2 x 的最小值是

11.若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者,则选出的志愿者 中男女生均不少于 1 名的概率是 12.已知 F1、F2 是椭圆 C : (结果用最简分数表示) 。

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一点,且 a 2 b2

PF1 ⊥ PF2 。若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =

.

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

13.已知函数 f ( x ) = sin x + tan x 。项数为 27 的等差数列 {an } 满足 an ∈ ? ?

? π π? , ? , 且公差 ? 2 2?

d ≠ 0 ,若 f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (a27 ) = 0 ,则当 k=

时, f ( ak ) = 0. 。

14.某地街道呈现东——西、南——北向的网络状,相邻街距都为 1,两街道相交的点称为格 点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2)(3,1)(3,4) , , , (-2,3)(4,5)为报刊零售店,请确定一个格点 , 行站之间路程的和最短。 二。 、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分。 15.已知直线 l1 : ( k ? 3) x + (4 ? k ) y + 1 = 0, 与l2 : 2( k ? 3) x ? 2 y + 3 = 0, 平行,则 K 得值是 ( )
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

为发行站,使 5 个零售点沿街道发

(A) 1 或 3

(B)1 或 5

(C)3 或 5

(D)1 或 2

16,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧棱长为

4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是(



17.点 P(4,-2)与圆 x 2 + y 2 = 4 上任一点连续的中点轨迹方程是 (A) ( x ? 2) 2 + ( y + 1) 2 = 1 (C) ( x + 4) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 (B) ( x ? 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4 (D) ( x + 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 1

[答]( )

18.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体 感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”. 根据过去 10 天甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 [答]( )

(A)甲地:总体均为 3,中位数为 4 . (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 .

(B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 . (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 .

三.解答题(本大题满分 78 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 14 分) 已知复数 z = a + bi (a、b ∈ R + )(I 是虚数单位)是方程 x ? 4 x + 5 = 0 的根 . 复数
2

w = u + 3i ( u ∈ R )满足 w ? z < 2 5 ,求 u 的取值范围 .

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m = ( a, b) ,

n = (sin B,sin A) , p = (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

π
3

,求ΔABC 的面积 .

21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分 .有时可 用函数

a ? ?0.1 + 15 ln a ? x ,  x ≤ 6, ? f ( x) = ? ? x ? 4.4 ,       6 > ? x?4 ?

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ∈ N ) f ( x ) 表示对 ,
*

该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ≥ 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降;
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.

22.( 个小题, 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知双曲线

C

的中心是原点,右焦点为

F ( 3,) ,一条渐近线 0

m: x+ 2 y = 0 ,设过点

A (?3 2, 0) 的直线 l 的方向向量 e = (1, k ) 。 (1) 求双曲线 C 的方程;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

v

(2) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值; (3) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列 (1)若 an = 3n + 1 ,是否存在 m, n ∈ N * ,有 am + am +1 = ak ?请说明理由;

(2)若 bn = aq (a、q 为常数,且 aq ≠ 0)对任意 m 存在 k,有 bm ? bm +1 = bk ,试求 a、q 满
n

足的充要条件; (3)若 an = 2n + 1, bn = 3 试确定所有的 p,使数列 {bn } 中存在某个连续 p 项的和式数列中
n

{an } 的一项,请证明.

2009 年高考上海卷 数学试卷(文史类) 年高考上海 上海卷 数学试卷(文史类) 全解全析
考生注意: 考生注意: 1. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条 形码。 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.函数 f ( x) = x 3 + 1 的反函数 f 【答案】 3 x ? 1, ( x ∈ R ) 答案】 【解析】由 y = x + 1 ? x = y ? 1 ? x = 3 y ? 1 ,又原函数的值域为 R,则反合适的定义 解析】
3 3
?1

( x) = _____________.

域为 R, ∴反函数是 f
?1

( x) =

3

x ? 1, ( x ∈ R)

2.已知集体 A={x|x≤1},B={x|≥a},且 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是__________________. 1. 已知集合 A = { x | x ≤ 1} , B = { x | x ≥ a} ,且 A ∪ B = R , 则实数 a 的取值范围是______________________ . O

a1

x

【答案】 a ≥ 1 答案】 解析】 【解析】由图示知, a ≥ 1 时成立

4 5 x
3. 若行列式 1 x 3 中, 元素 4 的代数余子式大于 0, x 满足的条件是__________________. 则

7 8 9
【答案】 x >

8 3

【解析】 解析】 (余子式:把行列式中某元素 a 所在的行与列划去后, 剩下的元素按原行列顺序排列所组成小行列式,叫元素 a 的余子式, ) ∴元素 4 的余子式是

x 8

3 9 8 3

= 9 x ? 24 ,

由题意 9 x ? 24 > 0 ? x >

【高考考点】本题属课改区内容 高考考点】

4. 某算法的程序框如右图所示,则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是 ________________. 【答案】 y = ? 答案】

? x ? 2, ( x > 1)
x ?2 , ( x ≤ 1)

【高考考点】本题属课改区内容――算法初步. 高考考点】 5. 如图,若正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面边长为 2, 高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的大小 是___________________
w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

(结果用反三角函数值表示). 【答案】 arctan 5 答案】 【解析】连接 CD1 ,因 BC∥AD,所以 ∠D1 BC 为所求. 解析】 又 CD1 =

4 2 + 2 2 = 2 5 , ?D1CB S 是 Rt△,∴ tan ∠D1 BC = ∴

CD1 2 5 = = 5 BC 2

6. 若球 O1、O2 表示面积之比 【答案】2 答案】

S1 R = 4 ,则它们的半径之比 1 =_____________. S2 R2

【解析】 解析】

S1 4πR12 R12 R = = 2 =4? 1 =2 2 S 2 4πR2 R2 R2

? y ≤ 2x ? 7. 已知实数 x、y 满足 ? y ≥ ?2 x 则目标函数 z=x-2y 的最小值是___________. ?x ≤ 3 ?
【答案】- 答案】-9 】- ,B(3,6) 【解析】作出可行域如图,解得 A(3,-6) 解析】 ∴ zO= 0 ? 2× 0 = 0 ,

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

y
B

O

3

x

z A = 3 ? 2 × (?6) = 15 z B = 3 ? 2 × 6 = ?9
∴目标函数经过 B 点时取得最小值为-9

A

8. 若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体 体积是 【答案】 答案】 。
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

8π 3

【解析】旋转一周所成的几何体是其个圆锥,其底面半径为 2,高为 2。 解析】 ∴体积 V =

1 8π π × 22 × 2 = 3 3

9. 过点 A(1,0)作倾斜角为

π

4

的直线,与抛物线 y 2 = 2 x 交于 M 、N 两点,则

MN

=



【答案】 2 6 答案】 【解析】直线方程是 y = x ? 1 ,代入抛物线方程得: x ? 4 x + 1 = 0 , ? x1 + x 2 =4, x1 x 2 解析】
2

=1 ∴ MN =

(1 + k 2 )[( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 2(4 2 ? 4) = 2 6


10. 函数 f ( x ) = 2 cos 2 x + sin 2 x 的最小值是 【答案】1- 2 答案】 - 【解析】 2 cos x + sin 2 x = 1 + cos 2 x + sin 2 x = 1 + 解析】
2

2 sin(2 x +

π
4

) ,∴ y min = 1 ? 2

11. 若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者, 则选出的志愿者

中男女生均不少于 1 名的概率是 【答案】 答案】

(结果用最简分数表示) 。

5 7

, 【解析】解法一:男女生均不少于 1 名即“1 男 2 女,或 2 男 1 女” 解析】
1 2 1 C 5 C 2 + C 52 C 2 5 + 20 5 ∴概率 P = = = 3 35 7 C7

解法二、 “男女生均不少于 1 名”的互斥事件是“3 名都是男生” , ∴概率 P = 1 ?
3 C5 10 2 5 = 1? = 1? = 3 35 7 7 C7

12. 已知 F、F2 是椭圆 C : 1

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点, p 为椭圆 C 上的一点,且 a 2 b2
.
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

PF1 ⊥ PF2 。若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =
【答案】3 答案】

[ (1) [PF1 [ ·PF2 =2×9=18 (2) PF1 , , 【解析】PF1 [ + PF2 =2 a 解析】
(3) 将(1)两边平方,得: PF1 得:
2 2

2

+ PF2

2

= ( 2c ) 2 = 4c 2 .

+ PF2 + 2 PF1 ? PF2 = 4a 2 ,将(2)(3)代入上式, 、

4c 2 + 36 = 4a 2 ? a 2 ? c 2 = 9 ? b 2 = 9 ? b = 3
13. 已知函数 f ( x ) = sin x + tan x 。项数为 27 的等差数列 {an } 满足 an ∈ ? ?

? π π? , ? , 且公差 ? 2 2?

d ≠ 0 ,若 f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (a27 ) = 0 ,则当 k=
【答案】14 答案】 【解析】易知,当 a k = 0 时, f ( a k ) = 0 ,由诱导公式知 解析】

时, f ( ak ) = 0. 。

f (a k ?1 ) + f (a k +1 ) = f (a k ? d ) = f (a k + d ) = f (?d ) + f (d ) = [sin(? d ) + tan(? d )] + (sin d + tan d )

= ? sin d ? tan d + sin d ? tan d = 0 .同理, f (a k = 2 ) + f (a k + 2 ) = 0 ┅,
∴当 a k 是 a1 至 a 27 的中间项,即 k =14 时, f ( a1 ) + f ( a 2 ) + … + f ( a 27 ) = 0

14. 某地街道呈现东——西、南——北向的网络状,相邻街距都为 1,两街道相交的点称为格 点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2)(3,1)(3,4) , , , (-2,3)(4,5)为报刊零售店,请确定一个格点 , 行站之间路程的和最短。 (3, ) 【答案】 ,3) 答案】 ( ,因为总可以把各零售点平移到横向或纵向线上研究,所以对于 【解析】设格点为( x , y ) 解析】 横向有: 为发行站,使 5 个零售点沿街道发

t x =| x +2|+| x +2|+| x -3|+| x -3|+| x -4|+| x -6|,显然,
? 2 < x < 6 且 x 是整数,∴当 x 依次取-1。0,1,2,3,4,5 时, t x 依次等于 22,20,18,
16,14,16,18. 故当 x =3 时, t x 最小; 同理, t y =| y -1|+| y -2|+| y -3|+| y -4|+| y -5|+| y -6| 当 y 依次取 2,3,4,5 时, t y 依次等于 11,9,9,11. 故当 y =3 或 4 时, t y 最小. ∴当格点取(3,3)时,路程 t = t x + t y =14+9=23 最小。 二。 、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分。 15. 已知直线 l1 : ( k ? 3) x + (4 ? k ) y + 1 = 0, 与l2 : 2( k ? 3) x ? 2 y + 3 = 0, 平行,则 K 得值是 ( )
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(A) 1 或 3 【答案】C 答案】

(B)1 或 5

(C)3 或 5

(D)1 或 2

【解析】当 k =3 时, k -3=0,此时两直线都平行于 x 轴,∴平行; 解析】 当 k ≠3 时, ? 综上, k =3 或 5 【易错提醒】注意直线平行于坐标轴的情况 易错提醒】 16, 如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4, 过直角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( 3 4 4 4 5 3 4 ) 4

k ?3 2(k ? 3) 1 =? ? = 1 ? 4 ? k = 1 ,∴ k =5 4?k 2 4?k

z

x

O 4

【答案】B 答案】 【解析】在 xoz 坐标平面后边“放堵墙” 解析】 【易错提醒】 ∠xoy 是直角,所以不能选 D 易错提醒】 17. 点 P(4,-2)与圆 x + y = 4 上任一点连续的中点轨迹方程是
2 2 2 2 (A) ( x ? 2) + ( y + 1) = 1

[答]( )

(B) ( x ? 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4 (D) ( x + 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 1

(C) ( x + 4) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 【答案】A 答案】

(典型的代入法求轨迹) 。设中点坐标 Q ( x, y ) ,圆上的动点 P ( x 0 , y 0 ) ,则有 【解析】 解析】

? x0 + 4 ? 2 = x ? x0 = 2 x ? 4 ? ?? ,代入圆的方程 x 2 + y 2 = 4 整理得: ? y 0 ?2 y0 = 2 y + 2 ? ? ? 2 ?y ?
( x ? 2)2 + ( y + 1) 2 = 1
18. 在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体 感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人”. 根据过去 10 天甲、乙、 丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 (A)甲地:总体均为 3,中位数为 4 . (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 . 【答案】D 答案】 【解析】甲地:总体均值为 3,中位数为 4,不能保证某些数据不超过 7,例如:0,0,0,2, 解析】 4,4,4,4,4,8. ∴(A)不符合 乙地:例如,十个数据是:0,0,0,0,0,0,0,0,0,10 满足总体均值为 1,总体方 差大于 0,但不能保证某些数据不超过 7,∴(B)不符合 丙地:中位数为 2,众数为 3 ,不能保证某些数据不超过 7,例如 0,0,1,1,2,2,3, 3,3,10; [答]( )

(B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 . (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 .

∴(C)不符合 故选 D 三.解答题(本大题满分 78 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 14 分) 已知复数 z = a + bi (a、b ∈ R + )(I 是虚数单位)是方程 x ? 4 x + 5 = 0 的根 . 复数
2

w = u + 3i ( u ∈ R )满足 w ? z < 2 5 ,求 u 的取值范围 .
【解析】原方程的根为 解析】
+

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

x1,2 = 2 ± i

∵ a、b ∈ R ,∴ z = 2 + i ∵ w ? z = (u + 3i ) ? ( 2 + i ) = ∴ ?2<u <6 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知ΔABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m = ( a, b) ,

(u ? 2) 2 + 4 < 2 5

n = (sin B,sin A) , p = (b ? 2, a ? 2) .
(3) 若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (4) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 【解析】 解析】 (1)∵ m ∥ n ,∴ a sin A = bsibB
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

π
3

,求ΔABC 的面积 .

a b ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a = b = b? 2R 2R ∴?ABC 为等腰三角形
即a? 解(2)由题意可知 m ∥ p =0,即 a (b ? 2) + b( a ? 2) = 0

∴ a + b = ab
由余弦定理可知, 4 = a 2 + b 2 ? ab = ( a + b) 2 ? 3ab

即(ab) 2 ? 3ab ? 4 = 0

∴ ab = 4(舍去ab = ?1)

∴S =

1 1 π ab sin C = ? 4 ? sin = 3 2 2 3

21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分 . 有时可用函数

a ? ?0.1 + 15 ln a ? x ,  x ≤ 6, ? f ( x) = ? ? x ? 4.4 ,       6 > ? x?4 ?

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

描述学习某学科知识的掌握程度.其中 x 表示某学科知识的学习次数( x ∈ N ) f ( x ) 表示对 ,
*

该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x ≥ 7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)- f(x)总是下降;
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 【解析】证明(1)当 x ≥ 7 时, f ( x + 1) ? f ( x ) = 解析】

0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

而当 x ≥ 7 时,函数 y = ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) > 0 故函数 f ( x + 1) ? f ( x ) 单调递减 当 x ≥ 7 时,掌握程度的增长量 f ( x + 1) ? f ( x ) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 + 15ln 整理得

a = 0.85 a?6

a = e0.05 a?6 e0.05 ? 6 = 20.50 × 6 = 123.0,123.0 ∈ (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

解得 a =

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分

22.( 个小题, 22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知双曲线

C

的中心是原点,右焦点为

F ( 3,) ,一条渐近线 0

m: x+ 2 y = 0 ,设过点

A (?3 2, 0) 的直线 l 的方向向量 e = (1, k ) 。

v

(4) 求双曲线 C 的方程;

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(5) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值; (6) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2

(1)设双曲线 C 的方程为 x 2 ? 2 y 2 = λ (λ > 0) 【解析】 解析】

x2 ∴ λ + = 3 ,解额 λ = 2 双曲线 C 的方程为 ? y 2 = 1 2 2
(2)直线 l : kx ? y + 3 2k = 0 ,直线 a : kx ? y = 0 由题意,得

λ

| 3 2k | 1+ k
2

= 6 ,解得 k = ±

2 2

(3) 【证法一】设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y = 0 则直线 l 与 b 的距离 d =

3 2|k | 1+ k 2

,当k >

2 时, d > 6 2

又双曲线 C 的渐近线为 x ± 2 y = 0

∴ ∴

双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 【证法二】假设双曲线 C 右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? | kx0 ? y0 + 3 2k = 6 (1) ? 则? 1+ k 2 ? 2 2 (2) ? x0 ? 2 y0 = 2
由(1)得 y0 = kx0 + 3 2k ± 6 ? 1 + k 2 设 t = 3 2k ± 6 ? 1 + k ,
2

当k >

2 2 时, t = 3 2k + 6 ? 1 + k > 0 ; 2 2k 2 ? 1 3k 2 + 1 + k 2 >0

t = 3 2k + 6 ? 1 + k 2 = 6 ×

2 将 y0 = kx0 + t 代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t 2 + 1) = 0

∵k >

2 ,t > 0 , 2

∴1 ? 2k 2 < 0, ? 4kt < 0, ? 2(t 2 + 1) < 0

方程 (*) 不存在正根,即假设不成立,

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列 (1)若 an = 3n + 1 ,是否存在 m, n ∈ N * ,有 am + am +1 = ak ?请说明理由; (2)若 bn = aq (a、q 为常数,且 aq ≠ 0)对任意 m 存在 k,有 bm ? bm +1 = bk ,试求 a、q 满
n

足的充要条件; (3)若 an = 2n + 1, bn = 3 试确定所有的 p,使数列 {bn } 中存在某个连续 p 项的和式数列中
n

{an } 的一项,请证明.
【解析】 解析】 (1)由 am + am +1 = ak , 得 6m + 6 + 3k + 1 ,

4 , 3 ∵ m 、 k ∈ N ,∴ k ? 2m 为整数
整理后,可得 k ? 2m =

∴ 不存在 n 、 k ∈ N ? ,使等式成立。
(2)当 m = 1 时,则 b1 ? b2 = bk ,∴ a ? q = aq
2 3 k

∴ a = q k ?3 , 即 a = q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
反之当 a = q c 时,其中 c 是大于等于 ?2 的整数,则 bn = q 显然 bm ? bm +1 = q
m+c n+ c



? q m +1+ c = q 2 m +1+ 2 c = bk ,其中 k = 2m + 1 + c

∴ a 、 q 满足的充要条件是 a = q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数

(3)设 bm +1 + bm + 2 + ? + bm + p = ak 当 p 为偶数时, (*) 式左边为偶数,右边为奇数, 当 p 为偶数时, (*) 式不成立。

由 (*) 式得

3m +1 (1 ? 3 p ) = 2k + 1 ,整理得 3m +1 (3 p ? 1) = 4k + 2 1? 3

当 p = 1 时,符合题意。 当 p ≥ 3 , p 为奇数时,

3 p ? 1 = (1 + 2) p ? 1
0 2 p = C p + C 1 ? 21 + C p ? 22 + ? + C p ? 2 p ? 1 p 2 p = C 1 ? 21 + C p ? 22 + ? + C p ? 2 p p 2 p = 2 ( C1 + C p ? 2 + ? + C p ? 2 p ?1 ) p

2 2 = 2 ? 2 ( C p + C p ? 22 + ? + C pp ? 2 p ? 2 ) + p ? ? ?



由 3m +1 (3 p ? 1) = 4k + 2 ,得

2 2 p 3m +1 ? 2 ( C p + C p ? 22 + ? + C p ? 2 p ? 2 ) + p ? = 2k + 1 ? ?

∴ 当 p 为奇数时,此时,一定有 m 和 k 使上式一定成立。 ∴ 当 p 为奇数时,命题都成立。

数学文) 上海 (数学文)参考答案
一、填空题 1. x ? 1
3

2.ɑ≤1

8 3. x > 3
7.-9 11.

?2 x , x < 1 4. y = ? ? x ? 2, x > 1
8.

5 arctan 5 9. 2 6 13.14 二、选择题 题号

6.2 10. 1 ? 2 14(3,3) 15 16

8π 3

5 7

12.3

17

18

代号 三、解答题 19.解:原方程的根为

C

B

A

D

x1,2 = 2 ± i

Q a、b ∈ R + ,∴ z = 2 ± i

Q w ? z = (u + 3i ) ? (2 + i ) = (u ? 2) 2 + 4 < 2 5 ∴?2 < u < 6
20 题。证明: (1) Q m // n,∴ a sin A = b sin B,

u v v

a b = b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a = b 2R 2R ∴?ABC 为等腰三角形 u u v v 解(2)由题意可知 m // p = 0, 即a (b ? 2) + b( a ? 2) = 0
即a?

∴ a + b = ab
由余弦定理可知, 4 = a 2 + b 2 ? ab = ( a + b) 2 ? 3ab

即(ab) 2 ? 3ab ? 4 = 0

∴ ab = 4(舍去ab = ?1)
∴S =

1 1 π ab sin C = ? 4 ? sin = 3 2 2 3
0.4 ( x ? 3)( x ? 4)

21 题。证明(1)当 x ≥ 7 时, f ( x + 1) ? f ( x ) =

而当 x ≥ 7 时,函数 y = ( x ? 3)( x ? 4) 单调递增,且 ( x ? 3)( x ? 4) > 0 故函数 f ( x + 1) ? f ( x ) 单调递减 当 x ≥ 7 时,掌握程度的增长量 f ( x + 1) ? f ( x ) 总是下降 (2)有题意可知 0.1 + 15ln 整理得

a = 0.85 a?6

a = e0.05 a?6 e0.05 ? 6 = 20.50 × 6 = 123.0,123.0 ∈ (121,127] …….13 分 e0.05 ? 1

解得 a =

由此可知,该学科是乙学科……………..14 分
2 2 22. 【解】 (1)设双曲线 C 的方程为 x ? 2 y = λ (λ > 0)

∴λ +

λ
2

= 3 ,解额 λ = 2 双曲线 C 的方程为

x2 ? y2 = 1 2

(2)直线 l : kx ? y + 3 2k = 0 ,直线 a : kx ? y = 0 由题意,得

| 3 2k | 1+ k
2

= 6 ,解得 k = ±

2 2

(3) 【证法一】设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y = 0 则直线 l 与 b 的距离 d =

3 2|k| 1+ k 2

,当k >

2 时, d > 6 2

又双曲线 C 的渐近线为 x ± 2 y = 0

∴ 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, ∴ 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 【证法二】假设双曲线 C 右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? | kx0 ? y0 + 3 2k = 6 (1) ? 则? 1+ k 2 ? 2 2 (2) ? x0 ? 2 y0 = 2
由(1)得 y0 = kx0 + 3 2k ± 6 ? 1 + k 设 t = 3 2k ± 6 ? 1 + k ,
2
2

当k >

2 2 时, t = 3 2k + 6 ? 1 + k > 0 ; 2 2k 2 ? 1 3k 2 + 1 + k 2
2 2

t = 3 2k + 6 ? 1 + k 2 = 6 ×

>0
2

将 y0 = kx0 + t 代入(2)得 (1 ? 2k ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t + 1) = 0

∵k >

2 ,t > 0 , 2

∴1 ? 2k 2 < 0, ? 4kt < 0, ? 2(t 2 + 1) < 0 ∴ 方程 (*) 不存在正根,即假设不成立,

故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 23. 【解】 (1)由 am + am +1 = ak , 得 6m + 6 + 3k + 1 ,

4 , 3 ∵ m 、 k ∈ N ,∴ k ? 2m 为整数
整理后,可得 k ? 2m =

∴ 不存在 n 、 k ∈ N ? ,使等式成立。
(2)当 m = 1 时,则 b1 ? b2 = bk ,∴ a ? q = aq
2 3 k

∴ a = q k ?3 , 即 a = q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
反之当 a = q c 时,其中 c 是大于等于 ?2 的整数,则 bn = q 显然 bm ? bm +1 = q
m+c n+ c



? q m +1+ c = q 2 m +1+ 2 c = bk ,其中 k = 2m + 1 + c

∴ a 、 q 满足的充要条件是 a = q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
(3)设 bm +1 + bm + 2 + ? + bm + p = ak 当 p 为偶数时, (*) 式左边为偶数,右边为奇数, 当 p 为偶数时, (*) 式不成立。

由 (*) 式得

3m +1 (1 ? 3 p ) = 2k + 1 ,整理得 3m +1 (3 p ? 1) = 4k + 2 1? 3

当 p = 1 时,符合题意。 当 p ≥ 3 , p 为奇数时,

3 p ? 1 = (1 + 2) p ? 1
0 2 p = C p + C 1 ? 21 + C p ? 22 + ? + C p ? 2 p ? 1 p 2 p = C 1 ? 21 + C p ? 22 + ? + C p ? 2 p p 2 p = 2 ( C1 + C p ? 2 + ? + C p ? 2 p ?1 ) p

2 2 = 2 ? 2 ( C p + C p ? 22 + ? + C pp ? 2 p ? 2 ) + p ? ? ?



由 3m +1 (3 p ? 1) = 4k + 2 ,得

2 2 p 3m +1 ? 2 ( C p + C p ? 22 + ? + C p ? 2 p ? 2 ) + p ? = 2k + 1 ? ?

∴ 当 p 为奇数时,此时,一定有 m 和 k 使上式一定成立。 ∴ 当 p 为奇数时,命题都成立。


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