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2015-2016学年高中数学 2.3等差数列的前n项和(第1课时)学案设计 新人教A版必修5


第二章 2.3 2.3

数列

等差数列的前 n 项和

等差数列的前 n 项和(第 1 课时)
学习目标

掌握等差数列前 n 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.了解等差数列前 n 项和的 定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前 n 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式; 用方

程思想认识等差数列前 n 项和的公式,利用公式求 Sn,a1,d,n;等差数列通项公式与前 n 项和的公式共涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最值.

合作学习
一、设计问题,创设情境

1.一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一 支,最上面一层放 100 支.这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 问题就是 这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.这实际上是一 个求等差数列前 100 项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50 组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一 组,?,每组数的和均相等,都等于 101,50 个 101 就等于 5050.高斯算法将加法运算转化为乘 法运算,迅速准确的得到了结果. 我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?

二、信息交流,揭示规律 2.公式推导 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,Sn=a1+a2+a3+?+an=?,由学生讨论,研究高斯算法 对一般等差数列求和的指导意义. 思路一:运用基本量思想,将各项用 a1 和 d 表示,得 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+?+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d], 有 以 下 等 式 a1+[a1+(n-1)d]=(a1+d)+[a1+(n-2)d]=(a1+2d)+[a1+(n-3)d]=?, 问 题 是 一 共 有 多 少 个 ,似乎与 n 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了. 思路二: 上 面 的 等 式 其 实 就 是 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?, 为 回 避 个 数 问 题 , 做 一 个 改 写 Sn=a1+a2+a3+?+an-2+an-1+an,Sn=an+an-1+an-2+?+a3+a2+a1,两式左右分别相加,得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+?+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1), 2Sn=n(a1+an)

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于是有 .这就是倒序相加法. 思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 2Sn=n[a1+a1+(n-1)d],于是 Sn=na1+d. 综合思路二和思路三得到了两个公式: 和 . 三、运用规律,解决问题 3.求和:(1)101+100+99+98+97+?+64; (2)2+4+6+8+?+2n(结果用 n 表示).

4.等差数列 2,4,6,?中前多少项的和是 9900?

5.2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不同 标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的 顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内, 该市在“校校通”工程中的总投入是多少?

四、变式训练,深化提高 6.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=6,a4=8,求公差 d.

7.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若满足 an=an-1+2(n≥2),且 S3=9,求首项 a1.

五、反思小结,观点提炼

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一、设计问题,创设情境 1.“1+2+3+4+?+100=?” 二、信息交流,揭示规律 2.a1+[a1+(n-1)d] Sn= Sn= Sn=na1+d 三、运用规律,解决问题 3.解:(1)101,100,99,98,97,?,64 可以看做是一个首项为 101,公差为-1 的等差数列, 由等差数列的通项公式,可得 64=101+(n-1)(-1),解得 n=38, 于是 Sn==3135. 另外也可用公式 Sn=na1+d 来求解,Sn=38×101+×(-1)=3135. (2)2+4+6+8+?+2n 可以看做是等差数列{2n}的前 n 项和, 2 则 Sn==n +n, 另外可运用公式 Sn=na1+d 来求解. 2 4.解:由题知,等差数列首项 a1=2,公差 d=2,由 Sn=na1+d,得 2n+×2=9900,即 n +n-9900=0, 解得 n=-100(舍去),或 n=99,所以等差数列 2,4,6,?中的前 99 项的和是 9900. 5.解:根据题意,从 2001~2010 年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万元. 所以,可以建立一个等差数列{an},表示从 2001 年起各年投入的资金,其中 a1=500,d=50. 那么,到 2010 年(n=10),投入的资金总额为 S10=10×500+×50=7250(万元) 答:从 2001~2010 年,该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元. 四、变式训练,深化提高 6.解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, ∵S3=6,即 a1+a2+a3=6∴a2=2.∵a4=8,∴8=2+2d,∴d=3. 7.解:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2(n≥2), ∴等差数列{an}的公差是 2.由 S3=3a1+×2,即 3a1+6=9,解得 a1=1. 五、反思小结,观点提炼 略

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