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用二分法求方程的近似解


夯实基础

成就未来

3.1.2 用二分法 求方程的近似解
祁东二中 谭雪峰

上节回忆

1、函数的零点的定义:
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

结论:

方程f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与x轴有交点 ? 函数y ? f ( x)有零点

上节回忆

2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否 有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线 (2) f(a)· f(b)<0

思考:区间[a,b]上零点是否是唯一的?

思考二: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,那么当

f(a)· f(b)>0时,函数y=f(x)在区间
(a,b)内一定没有零点吗?

上节回忆

练习:
函数 f ( x) ? x ? x ?1 在下列哪个区间内 有零点? (C )
3

A.(?1,0)

B.(1,2)

C .(0,1)

D.(2,3)

问题:你会解下列方程吗?

2x-6=0; 2x2-3x+1=0; lnx+2x-6=0 你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?

思 路

?

求方程根的问题 相应函数的零点问题

?

求方程 ln x ? 2 x ? 6 ? 0的近似解的问题 可以转化为函数 f ?x ? ? ln x ? 2 x ? 6 在区 间(2,3)内零点的近似值。

如何找到零点近似值 ??

在已知存在零点的区间确定函数的 零点的近似值,实际上就是如何缩小零 点所在的范围,或是如何得到一个更小

的区间,使得零点还在里面,从而得到
零点的近似值。 思考:如何缩小零点所在的区间?

游戏规则: 给出一件商品,请你猜 出它的准确价格,我们给的 提示只有“高了”和“低 了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数,如果你能 在规定的次数之内猜中 价格,这件商品就是你的了。

?游戏: “看商品猜价格”,请同学 们猜一下下面这部科学计算器(120~ 200元间)的价格。要求:误差小于1元 ?探究:你猜这件商品的价格,是如何 想的?在误差范围内如何做才能以最 快的速度猜中?

(对半猜)

这能提供求确定

函数零点的思路吗
思路:用区间两个端点的中点, 将区间一分为二??

对于一个已知零点所在区间[a,b],取
其中点 c ,计算f(c),如果f(c)=0,那么 c 就是函数的零点;如果不为0,通过比较

中点与两个端点函数值的正负情况,即可 从而将范围缩小了一半,以此方法重复进
行??

判断零点是在(a,c)内,还是在(c,b)内,

问题

解方程 : ? ln x ? 2 x ? 6 ? 0
找函数? ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点 f

(2,3)
逐渐缩小函数f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点所在范围

在区间(2,3)内零点的近似值.
区间 (2,3) 中点 的值 2.5 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625

(2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 (2.5,2.625) 2.5625 (2.5,2.5625) 2.53125 (?,?) …

?思考: 通过这种方法,是否可以得到任 意精确度的近似值? (如精确度 为0.01)

精确度为0.01,即零点值与近 似值的差的绝对值要小于或等于 0.01

结论 1.通过这样的方法,我们可以得到任意精确度的零点近似值. 2.给定一个精确度,即要求误差不超过某个数如0.01时,可 以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤, 而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点,与零点的误 差都不超过给定的精确度,即都可以作为零点的近似值. 3.本题中,如在精确度为0.01的要求下,我们可以将区间 (2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2, 3)内的零点近似值. 4.若再将近似值保留两为小数,那么2.53,2.54都可以作 为在精确度为0.01的要求下的函数在(2,3)内的零点的近似 值.一般地,为便于计算机操作,常取区间端点作为零点的 近似值,即2.53125

求函数f ? x ? ? ln x ? 2x ? 6在区间? 2, 零点的近似值.(精确度为0.01) 3?
区间 中点的值 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001 区间长度

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875) (2.53125,2.5390625)

2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125

设函数的零点为 如图

=2.53125, b =2.5390625,则 a ? x ? b. x0 , a 0 . . .

x0 a b 由于 a ? b ? 2.53125 ? 2.5390625 ? 0.0078125 ? 0.01,
所以

x0 ? a ? b ? a ? 0.01, x0 ? b ? a ? b ? 0.01,

所以我们可将此区间内的任意一点作为函数 零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零 点的近似值. 所以方程的近似解为

x ? 2.53125

y

二分法概念
a
0 b x



y ? f ?x ? ,通过不断地把函数 f ?x ?的零点所在的区

? 对于在区间 a, b? 上连续不断且 f ?a ? ? f ?b? ? 0 的函

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.

二分法的实质:就是将函数零点所在的 区间不断地一分为二,使新得到的区间 不断变小,两个端点逐步逼近零点.

问题5: 你能归纳出“给定精确度ε,用二 分法求函数零点近似值的步骤”吗?

1.确定区间 ?a, b? ,验证 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,给定精确度 2.求区间 ?a, b ?的中点 c ; 3.计算 f ?c ? ; (1)若 f ?c ? ? 0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若 f ?a ? ? f ?c? ? 0 ,则令 b

给定精确度 ,用二分法求函数 f ?x ?零点近似 值的步骤如下:

?

?;

(3)若 f ?c ? ? f ?b? ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? 4.判断是否达到精确度 近似值 a(或

? c(此时零点 x0 ? ?a, c?).

? :即若 a ?b ? ? ,则得到零点

?c, b?).

b);否则重复2~4.

尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解(精确度0.1).
先确定零点的范围;再用二分法去求方程的近似解

列表

x
f ? x ? ? 2 x ? 3x ? 7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6

-2

3

10

21

40

75

142

273

绘制函数图像

解:由图像和函数值表可知,f ?1? ? 0, f ? 2 ? ? 0, 则f ?1? ? f ? 2 ? ? 0, 所以f ? x ? 在 ?1, 2 ?内有一个零点x0 .

取 ?1, 2 ? 区间的中点x1 ? 1.5, f ?1.5 ? ? 0.33,因为

f ?1? ? f ?1.5 ? ? 0所以x0 ? ?1,1.5 ? .

取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87, 因为f(1.25)· f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5) 同理可得, x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375, 1.4375),由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375

小结
方程
用二分法求 方程的近似解

函数

1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 逼近思想 二分法 数形结合 转化思想

通过本节课的学习,你学会了 哪些知识? 基本知识:1. 二分法的定义; 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.

借助计算器用二分法求 x ? 3x ? 1 ? 0
3

的近似解(精确度0.1).

方程的近似解为

x ? 0.3125或0.375.

作业
1.课外作业: 课本P92 习题3.1 3,4,5 A组

2.课外搜索:请通过网络、杂志等途径 寻找“方程求解”的数学历史.


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