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【2013顺义一模】顺义区2013届高三第一次统练理科数学试卷


顺义区 2013 届高三第一次统练 数学试卷(理工类)
一、选择题.共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知集合 A ? ?x ? R 2 x ? 1 ? 0?, B ? ?x ? R ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 0?,则 A ? B ? A. ?? ?,?1? 【答案】B
A ?

{x x ? ? 1 2 } , B ? { x ? 1 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? { x ? 1 ? x ? ?

B. ? ? 1,?
?

?

1? ? 2?

C. ? ?
?

?

1

? ,2 ? 2 ?

D. ?2,?? ?

1 2

} ,选 B.

2.在复平面内,复数 A. ?0,?1? 【答案】A
1 ? 2i 2?i ?

1 ? 2i 2?i

对应的点的坐标为
?4 ?5 3? ? 5? ?4 ?5 3? ? 5?

B. ?0,1?

C. ?

,?

D. ?

,

(1 ? 2 i ) ( 2 ? i ) ( 2 ? i )( 2 ? i)

?

?5i 5

? ? i ,所以对应点的坐标为 ( 0 , ? 1) ,选 A.

3.参数方程 ?

?x ? 2 ? t, ? y ? ?1 ? 2t

(为参数)与极坐标方程 ? ? sin ? 所表示的图形分别是 C.圆、圆 D.圆、直线

A.直线、直线 【答案】B 将参数方程 ?
?x ? 2 ? t,

B.直线、圆

? y ? ?1 ? 2t
2

消去参数得 2 x ? y ? 5 ? 0 ,所以对应图形为直线。由 ? ? sin ? 得
1 1

? ? ? sin ? ,即 x ? y ? y ,即 x ? ( y ?
2

2

2

) ?
2

,对应图形为圆,所以选 B.

2 4 ? ? ? 4.已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 2, k ? ,且 a ? ( 2 a ? b ) ,则实数 k ?

A. ? 14 【答案】D

B. ? 6

C.6

D.14

因为 a ? ( 2 a ? b ) ,所以 a ? ( 2 a ? b ) ? 0 ,即 2 a

?

?

?

?

?

?

?

2

? ? ? a ? b ? 0 ,所以 2 ? 5 ? ( ? 4 ? k ) ? 0 ,

第 1 页 共 18 页

解得 k ? 1 4 。选 D. 5.如图, AB, AC 分别与圆 O 相切于点 B, C , ADE 是⊙ O 的割线,连接 CD, BD, BE , CE .则

A. AB ? AD ? DE
2

B. CD ? DE ? AC ? CE C. BE ? CD ? BD ? CE D. AD ? AE ? BD ? CD 【答案】C 由切线长定理知 A B 2 ? A D ? A E ,所以 A 错误。选 C. 6.从 0,1 中选一个数字,从 2,4,6 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 A.36 C.24 【答案】C
2 1 2 2 3 2 若选 1,则有 C 3 C 2 A 2 ? 1 2 种。若选 0,则有 C 3 ( A 3 ? A 2 ) ? 1 2 种,所以共有1 2 ? 1 2 ? 2 4 ,

B.30 D.12

选 C.
? x ? y ? 4, ? 2 2 7.设不等式组 ? y ? x ? 0, 表示的平面区域为 D .若圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 2 ?x ? 1 ? 0 ?

?r

? 0? 不

经过区域 D 上的点,则 r 的取值范围是 A. ?2 2 ,2 5 ? C. ?3 2 ,2 5 ? 【答案】D 不等式对应的区域为 ABE.圆心为 ( ? 1, ? 1) ,区域中,A 到圆心的距离最小,B 到圆心的距
第 2 页 共 18 页

B. ?2 2 ,3 2 ? D. ?0,2 2 ? ? ?2 5 ,?? ?

离最大,所以要使圆不经过区域 D,则有 0 ? r ? A C 或 r ? B C .由 ?
?x ? 1 ?x ? 1 ,得 ? ,即 B (1, 3 ) 。所以 A C ? 2 A (1, 1) 。由 ? ?y ? ?x ? 4 ?y ? 3
0 ? r ? 2 2 或r ? 2

?x ? 1 ?y ? x

得?

?x ? 1 ?y ?1

,即

2 , BC ? 2

5 ,所以

5 ,即 r 的取值范围是 ( 0 , 2

2 ) ? (2

5 , ? ? ) ,选 D.

8. 已 知 函 数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? , 其 中 ? 为 实 数 , 若 f ( x ) ? f (
?
2

?
6

) 对 x?R 恒成立,且

f (

) ? f ( ? ) .则下列结论正确的是
? 11 ? 12 ? ? ? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ? 5 ?
? ?

A. f ?

? ? ? ?1

B. f ?

C. f ? x ? 是奇函数 【答案】D 因为 f ( x ) ? f (
?
6

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

? ?
? 6?

?k ? Z ?

?
6

) 恒成立,所以

?
6

是函数的对称轴,即 2 ?

?
6

?? ?

?
2

? k ? , k ? Z ,所以

? ?

? k ? , k ? Z ,又 f (

?
2

) ? f ( ?) ,所以 s in ( ? ? ? ) ? s in ( 2 ? ? ? ) ,即 ? sin ? ?sin

? ,

所以 s in ? ? 0 ,所以 ? ?
?
3

?
6

,即 f (x ) ? sin(2 x ? )

?
6

。由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

?2 k ? ,

得?

? k? ? x ?

?

? ? ? ? ? k ? ,即函数的单调递增区间是 k? ? ?k ? Z ? ,所以 D , k? ? ? ? 6 3 6? ?

正确,选 D. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 .

第 3 页 共 18 页

【答案】 ? 2
1
3 ?1 1

?1 ? ? ?1

第一次循环, i ? 2 , s ? ;第二次循环, i ? 3, s ? 2 ? 1 3?1 2
2 ? i ? 4, s ? ? 1 3 1 3 ?1

1 3

;第三次循环,

? ? 2 ;第四次循环,不满足条件,输出 s ? ? 2 。 ?1

10.在 ?ABC 中,若 b ? 4, cos B ? ? 【答案】 2,3
1 4
b
2 2 2 2

1 4

, sin A ?

15 8

,则 a ?

,c ?

.

由 cos B ? ?

得, s in B ?

1 ? cos B ?
2

15 4

。由正弦定理

a s in A

?

b s in B

得 a ? 2 。又

? a ? c ? 2 a c c o s B ,即 c ? c ? 1 2 ? 0 ,解得 c ? 3 。

11.下图是根据 50 个城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图, 其 中 平 均 气 温 的 范 围 是 ?20.5,26.5? , 样 本 数 据 的 分 组 为 ?20.5,21.5? ,

?21.5,22.5? , ?22.5,23.5? , ?23.5,24.5? , ?24.5,25.5? , ?25.5,26.5? . 由 图 中 数 据 可 知
a?

;样本中平均气温不低于 23.5℃的城市个数为

.

第 4 页 共 18 页

【答案】0.18,33 因为 ( 0 . 1 0? 0 . 1 2 2 a ? 0 . 2 2 ? ? ?
0 . 2 6 ) ? ,所以 a ? 0 . 1 8 。不低于 23.5℃的频率为 ? 1 1

( 0 .1 8 ? 0 .2 2 ? 0 .2 6 ) ? 1 ? 0 .6 6 , 所 以 样 本 中 平 均 气 温 不 低 于 23.5 ℃ 的 城 市 个 数 为

0 .6 6 ? 5 0 ? 3 3 。

12.已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? 在 ?? ?,0? 上是减函数,且 f ? 的解集为 【答案】 ?? 1,?? ? 因为函数为你偶函数, 所以 f ( ? 得2 ?
x

?1? x ? ? 2 ,则不等式 f 2 ? 2 ?2?

? ?

.

1 2

) ? f(

1 2
x

且函数在 ( 0 , ? ? ) 上递增。 所以由 f ( 2 ) ? 2 ) ? 2,
x

1 2

,即 x ? ? 1 ,所以不等式 f ?2

? ? 2 的解集为 ?? 1,?? ? 。
2

13.在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l, P 为抛物线上一 点, PA ? l , A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,那么 PF ? 【答案】4 抛物线的焦点坐标为 F (1, 0 ) ,准线方程为 x ? ? 1 。因为直线 AF 的倾斜角为 120 ? ,所以
? A F O ? 6 0 ,又 ta n 6 0 ?
0
?

.

yA 1 ? ( ? 1)

,所以 y A ? 2 3 。因为 PA ? l ,所以 y P ? y A ? 2 3 ,

2 代入 y ? 4 x ,得 x A ? 3 ,所以 P F ? P A ? 3 ? ( ? 1) ? 4 .

14.函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单 函数.例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题:

第 5 页 共 18 页

①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, ?2 ? x , x ? 2

是单函数;

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是 【答案】③ ① 若
( x1 ? f ( x? ) ( x1 ?
2

(写出所有真命题的编号).

?x x? 2

2 ,x 则



f ( x1 ) ? f ( x 2 )



x1 ? 2 x1 ? x 2 ? 2 x 2
2 2

, 即

x2 )

2, ) 得 0 1 ? x 2 , 或 x 1 ? x 2 ? 2 ? 0 , 所 以 ① 不 是 单 函 数 。 ② 若 ?解 x

?log 2 x, x ? 2, f ?x ? ? ? 则由函数图象可知当 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,时, x 1 ? x 2 ,所以②不是单函 ?2 ? x , x ? 2

数。③根据单函数的定义可知,③正确。④在在定义域内某个区间 D 上具有单调性,单在 整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数。所以真命题为③。

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三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? cos? 2?x ?
? ?

? ?

? ? ? 2 ? ? cos? 2?x ? ? ? 1 ? 2 sin ?x, ? x ? R , ? ? 0 ? 的最 6 ? 6 ? ?

小正周期为 ? . (I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 在区间 ??
? ?

?
4

,

? ?
? 3?

上的最大值和最小值.

16.(本小题满分 13 分) 已知 ?a n ? 为等差数列,且 a 2 ? ?1, a5 ? 8 . (I)求数列 ?a n ? 的前 n 项和; (II)求数列 ?2 n ? a n ?的前 n 项和.

17.(本小题满分 13 分) 现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为 有命中得 0 分;向乙靶射击一次,命中的概率为
2 3 3 4

,每命中一次得 1 分,没

,命中得 2 分,没有命中得 0 分.该射手每次射

击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
第 7 页 共 18 页

(I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

第 8 页 共 18 页

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ?
1 3 x ? ax?a ? 0 ?, g ? x ? ? bx ? 2b ? 1 .
3 2

(I)若曲线 y ? f ? x ? 与曲线 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处具有公共切线,求 a, b 的值; (II)当 a ? 1 ? 2b 时,若函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a ? 1 ? 2b ? 1 时,求函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

? y

2

? 1?a ? 1? 的 上 顶 点 为 A , 左 焦 点 为 F , 直 线 AF 与 圆

1? ? 2 2 M : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过点 ? 0,? ? 的直线与椭圆 C 交于 P, Q 两点. 2? ?

(I)求椭圆 C 的方程; (II)当 ?APQ 的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且点 ?n, S n ? 在函数 y ? 2 (I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ?满足: b1 ? 0, bn ?1 ? bn ? a n ?n ? N *? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和公式; (III)在第(II)问的条件下,若对于任意的 n ? N * 不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,求实数 ? 的取值范 围.
第 9 页 共 18 页
x ?1

? 2 的图像上.

顺义区 2013 届高三第一次统练

数学试卷(理工类)参考答案
一、BABD CCDD 二、9. ? 2 12. ?? 1,?? ? 三、 15.解:(I)
f ? x ? ? cos 2?x ? cos

10. 2,3 13.4

11.0.18,33 14.③

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x

? sin 2?x ? cos 2?x
?

? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? .?????????????????????5 分 4 ? ?

因为 f ? x ? 是最小正周期为 ? , 所以
2? 2? ?? ,

因此 ? ? 1 .?????????????????????????7 分 (II)由(I)可知, f ? x ? ?
?
4

? ? ? 2 sin ? 2 x ? ?, 4 ? ?

因为 ? 所以 ?

? x?

?
3

,
? 11? 12

?
4

? 2x ?

?
4

.???????????????????9 分
?
8

于是当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?

?
2

,即 x ?
?
4

时, f ? x ? 取得最大值 2 ;???????11 分
?
4

?
4

??

,即 x ? ?

时, f ? x ? 取得最小值 ? 1 .?????13 分

16.解:(I)设等差数列 ?a n ? 的公差为 d , 因为 a 2 ? ?1, a5 ? 8 , 所以 ?
?a1 ? d ? ?1, ?a1 ? 4d ? 8
第 10 页 共 18 页

解得 a1 ? ?4, d ? 3 ,??????????????????????2 分 所以 a n ? ?4 ? 3?n ? 1? ? 3n ? 7 ,?????????????????3 分 因此 a n ? 3n ? 7 ? ?
?? 3n ? 7, n ? 1,2, ?3n ? 7, n ? 3

???????????????4 分

记数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 4 , 当 n ? 2 时, S 2 ? a1 ? a 2 ? 5 , 当 n ? 3 时, S n ? S 2 ? a3 ? a 4 ? ? ? a n
? 5 ? ?3 ? 3 ? 7 ? ? ?3 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ?3n ? 7 ?

=5 ?

?n ? 2 ??2 ? ?3n ? 7 ??
2

?

3 2

n ?
2

11 2

n ? 10 ,

又当 n ? 2 时满足此式,
?4, n ? 1, ? ????????????????8 分 ? ?3 2 11 n ? 10, n ? 2 ? n ? 2 ?2

综上, S n

(II)记数列 ?2 n a n ?的前 n 项和为 Tn . 则 Tn ? 2a1 ? 2 2 a 2 ? 2 3 a3 ? ? ? 2 n a n ,
2Tn ? 2 a1 ? 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? 2 a n ?1 ? 2
2 3 4 n n ?1

an ,

所以 ? Tn ? 2a1 ? d ?2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? ? 2 n ?1 a n . 由(I)可知, a1 ? ?4, d ? 3, a n ? 3n ? 7 ,
4 1? 2

所以 ? Tn ? ?8 ? 3 ?

?

n ?1

?

1? 2

? ?3n ? 7 ? ? 2

n ?1

? ?20 ? ?3n ? 10 ? ? 2

n ?1

,

故 Tn ? 20 ? ?3n ? 10 ? ? 2 n ?1 .??????????????????13 分 17.解:(I)记: 该射手恰好命中两次” “ 为事件 A , 该射手第一次射击甲靶命中” “ 为事件 B , 该 “ 射手第二次射击甲靶命中”为事件 C ,“该射手射击乙靶命中”为事件 D .

第 11 页 共 18 页

由题意知, P ?B ? ? P ?C ? ?

3 4

, P ?D ? ?

2 3

,

所以 P? A? ? P ?BC D ? ? P ?BC D ? ? P ?BCD ?
? P ?B ?P ?C ?P D ? P ?B ?P C P ?D ? ? P B P ?C ?P ?D ?

? ?

? ?

? ?

?

3 4

?

2? 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 ? 3? 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 3

?

7 16

.???????????????????????????4 分

(II)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.
3? ? 3? ? 2? 1 ? , P ? X ? 0 ? ? P B C D ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 4? ? 4? ? 3? 48 ?

?

?

P ? X ? 1? ? P BC D ? P BC D ?

?

?

?

?

3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 3

?

1 8

.

P ? X ? 2 ? ? P BC D ? P BC D ?

?

?

?

?

3 4

?

2? ? 3? ? 3? 2 11 ? , ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 ? 3? ? 4? ? 4? 3 48 3

P ? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

?

?

?

3? 2 ? 3? 3 2 1 ? , ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4 3

P ? X ? 4 ? ? P ?BCD ? ?

3 4

?

3 4

?

2 3

?

3 8

,

故 X 的分布列是
X

0
1

1
1 8

2
11 48

3
1 4

4
3 8

P

48

????????8 分 所以 EX ? 0 ?
1 48 ? 1? 1 8 ? 2? 11 48 ? 3? 1 4 ? 4? 3 8 ? 17 6

.?????????9 分

(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件 A1 ,“该射手向甲靶射击命中 一次且向乙靶射击未命中”为事件 B1 ,“该射手向甲靶射击命中 2 次且向乙靶射击命中”为 事件 B2 ,则 A1 ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件.
第 12 页 共 18 页

P ? A1 ? ? P ?B1 ? ? P ?B2 ?
3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 3 3 2 ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 4 4 3 3

?

?

1 2

.
1 2

所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为
2 18.解:(I) f ?? x ? ? x ? a, g ?? x ? ? 2bx .

.???13 分

因 为 曲 线 y ? f ? x ? 与 曲 线 y ? g ? x ? 在 它 们 的 交 点 ?1, c ? 处 具 有 公 共 切 线 , 所 以
f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? ,



1 3

? a ? b ? 2b ? 1 ,且 1 ? a ? 2b , 1 3 ,b ? 1 3

解得 a ?

.??????????????????????3 分

(II)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b 时,
h? x ? ? 1 3
2

x ?
3

1? a 2

x ? ax ? a ,
2

h ?? x ? ? x ? ?1 ? a ?x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? ,

令 h ?? x ? ? 0 ,得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:
x
h ?? x ?

?? ?,?1?
?

?1

?? 1, a ?
— ↘

a

?a,?? ?
?

0 极大值

0 极小值

h? x ?





所 以 函 数 h? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? ; 单 调 递 减 区 间 为

?? 1, a ? ,?????????????????????????????6 分
故 h? x ? 在区间 ?? 2,?1? 内单调递增,在区间 ?? 1,0 ? 内单调递减, 从而函数 h? x ? 在区间 ?? 2,0 ? 内恰有两个零点,当且仅当

第 13 页 共 18 页

?h?? 2 ? ? 0, 1 ? , ?h?? 1? ? 0, 解得 0 ? a ? 3 ?h?0 ? ? 0 ?

所以 a 的取值范围是 ? 0,
?

?

1? ? .???????????????????9 分 3?

(III)记 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 ? 2b ? 1 时,
h? x ? ? 1 3 x ? x ?1.
3

由(II)可知,函数 h? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ;单调递减区间为 ?? 1,1? . ① 当 t ? 3 ? ?1 时 , 即 t ? ?4 时 , h? x ? 在 区 间 ?t , t ? 3? 上 单 调 递 增 , 所 以 h? x ? 在 区 间

?t , t ? 3? 上的最大值为 h?t ? 3? ?

1 3

?t ? 3?

3

? ?t ? 3? ? 1 ?

1 3

t ? 3t
3

2

? 8t ? 5 ;

②当 t ? ?1 且 ? 1 ? t ? 3 ? 1 ,即 ? 4 ? t ? ?2 时, h? x ? 在区间 ?t ,?1? 上单调递增,在区间

?? 1, t ? 3? 上单调递减,所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?? 1? ? ?

1 3



当 t ? ?1 且 t ? 3 ? 1 ,即 ? 2 ? t ? ?1 时, t+3<2 且 h(2)=h(-1), 所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上 的最大值为 h?? 1? ? ?
1 3



③当 ? 1 ? t ? 1 时, t ? 3 ? 2 ? 1 ,
h? x ? 在区间 ?t ,1? 上单调递减,在区间 ? , t ? 3? 上单调递增,而最大值为 h?t ? 与 h?t ? 3? 中的 1

较大者. 由 h?t ? 3? ? h?t ? ? 3?t ? 1??t ? 2 ? 知,当 ? 1 ? t ? 1 时, h?t ? 3? ? h?t ? , 所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为 h?t ? 3? ?
1 3 t ? 3t
3 2

? 8t ? 5 ;??13 分

④当 t ? 1 时, h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,所以 h? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最大值为
h?t ? 3? ? 1 3 t ? 3t
3 2

? 8t ? 5 .??????????????????14 分

第 14 页 共 18 页

19. 解 :(I) 将 圆 M 的 一 般 方 程 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化 为 标 准 方 程
2 2

? x ? 3?

2

? ? y ? 1? ? 3
2

, 则 圆
2

M

的 圆 心

M ?? 3,1?

, 半 径 r?

3

. 由

A?0,1?, F ?? c,0 ? c ?

?

a ? 1 得直线 AF 的方程为 x ? cy ? c ? 0 .

?

由直线 AF 与圆 M 相切,得

?3?c ?c 1? c
2

?

3,

所以 c ? 当c ?

2 或 c ? ? 2 (舍去). 2 时, a
2

? c ?1 ? 3 ,
2

故椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1 .??????????????????5 分

3

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为 k , 则直线的方程为 y ? kx ?
? ? 1? ? 在椭圆内, 2?

1 2

.

因为点 ? 0,?

所以对任意 k ? R ,直线都与椭圆 C 交于不同的两点.
1 ? y ? kx ? , ? 9 ? 2 由? 2 得 ?1 ? 3k 2 ?x 2 ? 3kx ? ? 0 . 4 ? x ? y2 ? 1 ? 3 ?

设点 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ?, ? x 2 , y 2 ? ,则
y1 ? kx1 ? 1 2 , y 2 ? kx 2 ? 1 2 , x1 ? x 2 ? 3k 1 ? 3k
2

, x1 x 2 ? ?

9 4 1 ? 3k

?

2

?

,

所以 PQ ?
?

?x2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ?
2

2

?1 ? k ???x
2

1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2
2

?

第 15 页 共 18 页

?

3

?1 ? k ??1 ? 4k ?
2 2

1 ? 3k

2

.
3 2 k
2

又因为点 A?0,1? 到直线 y ? kx ?

1 2

的距离 d ?

,
?1

所以 ?APQ 的面积为 S ?
1 1 ? 3k
2

1 2

PQ ? d ?

9 1 ? 4k 4 1 ? 3k
? 1 3

2

?

2

?

.??????????10 分

设t ?

,则 0 ? t ? 1 且 k 2 ?
1 3 9 4 4t 3 t
2

1 3t

,
1 3

S ?

9 4

t?

4 3t

?

?

?

?

9 4

?

?t ? 2 ?

2

?

4 3

.

3

因为 0 ? t ? 1 , 所以当 t ? 1 时, ?APQ 的面积 S 达到最大, 此时
1 1 ? 3k
2

? 1 ,即 k ? 0 . 1 2

故当 ?APQ 的面积达到最大时,直线的方程为 y ? ? 20.解:(I)由题意可知, S n ? 2 n ?1 ? 2 .

.???????14 分

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? ?2 n ? 2 ? ? 2 n , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2
1?1

? 2 ? 2 也满足上式,

所以 a n ? 2 n ?n ? N *? .??????????????????????3 分 (II)由(I)可知 bn ?1 ? bn ? 2 n ?n ? N *? ,即 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? . 当 k ? 1 时, b2 ? b1 ? 2 ,???①
1

当 k ? 2 时, b3 ? b2 ? 2 2 ,所以 ? b3 ? b2 ? ?2 2 ,???② 当 k ? 3 时, b4 ? b3 ? 2 3 ,???③ 当 k ? 4 时, b5 ? b4 ? 2 4 ,所以 ? b5 ? b4 ? ?2 4 ,???④ ?? 当 k ? n ? 1 时( n 为偶数), bn ? bn ?1 ? 2 n ?1 ,所以 ? bn ? bn ?1 ? ?2 n ?1 ??? n ? 1

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以上 n ? 1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1
? 2 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

1 ? ?? 2 ?

? ? 2?1 ? 2 ?
n ?1

3

?

2

n

?

2 3

.

3

又 b1 ? 0 ,
2
n

所以,当 n 为偶数时, bn ?

?

2 3

.

3

同理,当 n 为奇数时, ? bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1
? 2 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

1 ? ?? 2 ?

??

2?2 3

n

,

所以,当 n 为奇数时, bn ?

2

n

?

2 3

.?????????????????6 分

3

因此,当 n 为偶数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
?2 2? ?2 2? ?2 2? ?2 2? 2? ?2 ?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3 3? ? 3 3? ? 3 3? 3? ?3 ? 3
2 3 4 n

?

2 3

?

2

2

???

2

n

?

1 3

?

2 1? 2 1? 2

?

n

?

?

2

n ?1

? 3

2 3

;

3

3

当 n 为奇数时,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn
?2 2? ?2 2? ?2 ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 3? ? 3 3? ?3 ? 3
2 n ?1

?

2? ?2 2? ??? ? ? ? ? ? 3? ? 3 3?
n

?2 2 2 ?? ? ??? ? 3 3 ?3
2

n

n ?1 ? 2 2 4 ?? ? ? . ? 3 3 ? 3

故数列 ?bn ?的前 n 项和
?2 2 ? ? ? 3 3 Tn ? ? n ?1 4 ?2 ? ? 3 3 ?
n ?1

?n为偶数?
.???????????????????8 分

?n为奇数?
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?2 2 ? ? ? 3 3 (III)由(II)可知 bn ? ? n 2 ?2 ? ? 3 3 ?
n

?n为偶数? ?n为奇数?
2
n

①当 n 为偶数时,

bn bn ?1

? ?

2 3 2 3 ? 2 ?2
n n ?1

? 2

3
n ?1

2

?2

?

1 2

? 2

3
n ?1

?2

,

3

所以

bn bn ?1

随 n 的增大而减小,

从而,当 n 为偶数时,

bn bn ?1

的最大值是

b2 b3

? 1.

2

n

②当 n 为奇数时,

bn bn ?1

? ?

2 3 2 3 ? 2 ?2
n n ?1

? 2

3
n ?1

2

?2

?

1 2

? 2

3
n ?1

?2

,

3

所以

bn bn ?1

随 n 的增大而增大,



bn bn ?1 bn bn ?1

?

1 2

? 2

3
n ?1

?2

?

1 2

? 1.

综上,

的最大值是 1.

因此,若对于任意的 n ? N * ,不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,只需 ? ? 1 , 故实数 ? 的取值范围是 ?1,?? ? .??????????????????13 分

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