当前位置:首页 >> 数学 >> 黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷


黑龙江省齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年高一(下)期末数 学试卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 a>b>0,那么下列不等式成立的是( ) A. ﹣a>﹣b B. a+c<b+c C. (﹣a) >(﹣b)
2 2

D.

2.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体的体 积为( )

A.

B.

C.

D.

3.若直线 l∥平面 α,直线 m?α,则 l 与 m 的位置关系是( ) A. l∥m B. l 与 m 异面 C. l 与 m 相交 D. l 与 m 没有公共点 4.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A. 若 l∥α,m⊥α,则 l⊥m B. 若 l⊥m,m∥α 则 l⊥α C. 若 l⊥m,m⊥α,则 l∥α D. 若 l∥α,m∥α 则 l∥m 5.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
2 2

6.已知实数 x,y 满足不等式组

,则

的取值范围是(



A. D. [﹣ ,1]

B.

C. [﹣ , ]

7.若不等式|a﹣2x|≤x+3 对任意 x∈[0,2]恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣1,3) B. [﹣1,3] C. (1,3) D. [1,3] 8.圆 x +y +2x﹣2y+1=0 关于直线 x﹣y+3=0 对称圆的方程为( ) 2 2 2 2 A. (x﹣1) +(y+1) =1 B. (x+2) +(y﹣2) =1 C. (x+1) 2 2 2 2 +(y﹣1) =1 D. (x﹣2) +(y+2) =1 9.如图,下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱 的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形序号是( )
2 2

A. ①②

B. ③④
2 2

C. ②③

D. ①④

10.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x﹣1) +y =5 相切,且与直线 ax﹣y+1=0 垂直,则 a=( ) A. B. 1 C. 2 D.

11.棱长为 的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小 球,则这些球的最大半径为( ) A. B. C. D.

12.定义

设实数 x、y 满足约束条件

且 z=max{4x+y,

3x﹣y},则 z 的取值范围为( ) . A. [﹣6,0] B. [﹣7,10]

C. [﹣6,8]

D. [﹣7,8]

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12,则 S7 的值为



14.若正方体的棱长是 1,则该正方体的外接球的表面积为 15.已知 x>1,则函数 的最小值是 .



16.在斜三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若

,则

=



三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. 在四棱锥 E﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点 O, EC⊥平面 ABCD, F 为 BE 的中点. (1)求证:DE∥平面 ACF; (2)求证:BD⊥AE .

18.已知锐角△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos A+cos2A=0,a=7,c=6, 求 b 的值.

2

19.已知△ ABC 的边 AB 所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0,M(2,0)满足 1,1)在 AC 边所在直线上且满足 (1)求 AC 边所在直线的方程. (2)求△ ABC 外接圆的方程. ? =0.

=

,点 T(﹣

20.如图:三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 .若 M 是 BC 的中点,求:

(1)三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

21.已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4,直线 l1 过定点 A (1,0) . (Ⅰ)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时直线 l1 的 方程.
*

2

2

22.已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an= b3=6+b2. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)设 cn=

(n∈N ) .若{an}为等比数列,且 a1=2,

(n∈N ) .记数列{cn}的前 n 项和为 Sn.

*

(i)求 Sn; * (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈N 均有 Sk≥Sn.

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年高一(下)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 a>b>0,那么下列不等式成立的是( ) A. ﹣a>﹣b B. a+c<b+c C. (﹣a) >(﹣b)
2 2

D.

考点:不等式的基本性质. 专题:计算题. 2 2 分析:由条件求得﹣a<﹣b<0,从而得到 (﹣a) >(﹣b) ,从而得到结论. 2 2 解答: 解:∵a>b>0,∴﹣a<﹣b<0,∴(﹣a) >(﹣b) , 故选 C. 点评:本题主要考查不等式的基本性质的应用,属于基础题. 2.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体的体 积为( )

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:通过三视图判断组合体的形状,利用三视图的数据,求解几何体的体积即可. 解答: 解:由题意可知组合体上部是底面半径为 1,母线长为 2 的圆锥,下部是半径为 1 的球, 所以圆锥的高为: 所以组合体的体积为: 故选 A. , = .

点评:本题考查三视图与组合体的关系, 判断组合体的是由那些简单几何体构成是解题的关 键,考查计算能力与空间想象能力. 3.若直线 l∥平面 α,直线 m?α,则 l 与 m 的位置关系是( ) A. l∥m B. l 与 m 异面 C. l 与 m 相交 D. l 与 m 没有公共点 考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:计算题. 分析:由线面平行的定义可判断 l 与 α 无公共点,直线 m 在平面 α 内,故 l∥m,或 l 与 m 异面. 解答: 解:∵直线 l∥平面 α,由线面平行的定义知 l 与 α 无公共点, 又直线 m 在平面 α 内, ∴l∥m,或 l 与 m 异面, 故选 D. 点评:本题考查平面的基本性质及其推论,解题时要认真审题,仔细解答. 4.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A. 若 l∥α,m⊥α,则 l⊥m B. 若 l⊥m,m∥α 则 l⊥α C. 若 l⊥m,m⊥α,则 l∥α D. 若 l∥α,m∥α 则 l∥m 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可 解答: 解:对于 A,若 l∥α,m⊥α,则 l⊥m,故 A 正确; 对于 B,若 l⊥m,m∥α 则 l⊥α 或 l∥α 或 l?α,故 B 错误; 对于 C,若 l⊥m,m⊥α,则 l∥α 或 l?α,故 C 错误; 对于 D,若 l∥α,m∥α 则 l∥m 或重合或异面;故 D 错误; 故选 A. 点评:本题考查空间中线线、 线面间的位置关系, 考查学生分析解决问题的能力, 比较基础. 5.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析:由 M 在圆外,得到|OM|大于半径,列出不等式,再利用点到直线的距离公式表示出 圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d, 根据列出的不等式判断 d 与 r 的大小即可确定出直线与圆 的位置关系. 2 2 解答: 解:∵M(a,b)在圆 x +y =1 外, 2 2 ∴a +b >1, ∴圆 O(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d= <1=r,
2 2

则直线与圆的位置关系是相交. 故选 B 点评:此题考查了直线与圆的位置关系,以及点与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准 方程,点到直线的距离公式,以及两点间的距离公式,熟练掌握公式是解本题的关键.

6.已知实数 x,y 满足不等式组

,则

的取值范围是(



A. D. [﹣ ,1]

B.

C. [﹣ , ]

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:首先作出不等式组对应的平面区域,利用 z= 的几何意义,即动点 P(x,y)与

定点 A(﹣3,1)连线斜率的取值范围 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:其中 B(2,0) ,C(2,6) z= 的几何意义,即动点 P(x,y)与定点 A(﹣3,1)连线斜率的取值范围, . =1,则 的取值范围是[ ,1];

由图象可知 AB 直线的斜率 k= 直线 AC 的斜率 k= 故选 D.

点评:本题主要考查线性规划的基本应用, 利用目标函数的几何意义是解决本题的关键, 要 利用数形结合的数学思想. 7.若不等式|a﹣2x|≤x+3 对任意 x∈[0,2]恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣1,3) B. [﹣1,3] C. (1,3) D. [1,3] 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由题意可得( f x) =|a﹣2x|的图象在 x∈[0, 2]上恒位于直线 y=x+3 的下方或在直线 y=x+3

上,数形结合可得

①,或

②,分别求得

①、②的解集,再取并集,即得所求. 解答: 解:由不等式|a﹣2x|≤x+3 对任意 x∈[0,2]上恒成立, 可得 f(x)=|a﹣2x|的图象在 x∈[0,2]上恒位于直线 y=x+3 的下方或在直线 y=x+3 上, 如图所示:



①,或

②.

由①可得﹣1≤a<0,由②可得 0≤a≤3, 故实数 a 的取值范围是{a|﹣1≤a<0,或者 0≤a≤3}=[﹣1,3], 故选:B.

点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了数形结合、分类讨论 的数学思想,属于中档题. 8.圆 x +y +2x﹣2y+1=0 关于直线 x﹣y+3=0 对称圆的方程为( ) 2 2 2 2 A. (x﹣1) +(y+1) =1 B. (x+2) +(y﹣2) =1 C. (x+1) 2 2 2 2 +(y﹣1) =1 D. (x﹣2) +(y+2) =1
2 2

考点:圆的标准方程. 专题:计算题;直线与圆. 2 2 分析:先求出圆 x +y +2x﹣2y+1=0 的圆心和半径;再利用两点关于已知直线对称所具有的 结论,求出所求圆的圆心坐标即可求出结论. 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 x +y +2x﹣2y+1=0 转化为标准方程为(x+1) +(y﹣1) =1, 所以其圆心为: (﹣1,1) ,r=1, 设(﹣1,1)关于直线 x﹣y+3=0 对称点为: (a,b)

则有

?



故所求圆的圆心为: (﹣2,2) .半径为 1. 2 2 所以所求圆的方程为: (x+2) +(y﹣2) =1 故选:B. 点评:本题是基础题,考查对称圆的方程问题,重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径,本 题考查函数和方程的思想,注意垂直条件的应用. 9.如图,下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱 的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形序号是( )

A. ①②

B. ③④

C. ②③

D. ①④

考点:直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据直线与平面平行的判定方法,得出图①④中 AB∥平面 MNP. 解答: 解:对于①,该正方体的对角面 ADBC∥平面 MNP,得出直线 AB∥平面 MNP; 对于②,直线 AB 和平面 MNP 不平行,因此直线 AB 与平面 MNP 相交; 对于③,易知平面 PMN 与正方体的侧面 AB 相交,得出 AB 与平面 MNP 相交; 对于④, 直线 AB 与平面 MNP 内的一条直线 NP 平行, 且直线 AB?平面 MNP, ∴直线 AB∥ 平面 MNP; 综上,能得出直线 AB∥平面 MNP 的图形的序号是①④. 故选:D. 点评:本题考查了空间中的直线与平面平行的判断问题, 解题时应结合图形进行分析, 是基 础题目.

10.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x﹣1) +y =5 相切,且与直线 ax﹣y+1=0 垂直,则 a=( ) A. B. 1 C. 2 D.

2

2

考点:直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题:直线与圆. 分析:由题意判断点在圆上,求出 P 与圆心连线的斜率就是直线 ax﹣y+1=0 的斜率,然后 求出 a 的值即可. 2 2 解答: 解:因为点 P(2,2)满足圆(x﹣1) +y =5 的方程,所以 P 在圆上, 2 2 又过点 P(2,2)的直线与圆(x﹣1) +y =5 相切,且与直线 ax﹣y+1=0 垂直, 所以切点与圆心连线与直线 ax﹣y+1=0 平行, 所以直线 ax﹣y+1=0 的斜率为:a= =2.

故选 C. 点评:本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线的垂直,考查转化数学与计算能力. 11.棱长为 的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小 球,则这些球的最大半径为( ) A. B. C. D.

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;压轴题;转化思想. 分析:棱长为 的正四面体内切一球,那么球 O 与此正四面体的四个面相切,即球心到 四个面的距离都是半径,由等体积法求出球的半径,求出上面三棱锥的高,利用相似比求出 上部空隙处放入一个小球,求出这球的最大半径. 解答: 解:由题意,此时的球与正四面体相切, 由于棱长为 的正四面体,故四个面的面积都是 =3

又顶点 A 到底面 BCD 的投影在底面的中心 G, 此 G 点到底面三个顶点的距离都是高的 倍, 又高为 =3,故底面中心 G 到底面顶点的距离都是 2 =2 , = .

由此知顶点 A 到底面 BCD 的距离是 此正四面体的体积是 ×2 ×3 =2

又此正四面体的体积是 ×r×3

×4,故有 r=

上面的三棱锥的高为 ,原正四面体的高为 2 , 所以空隙处放入一个小球,则这球的最大半径为 a,

, ∴a= .

故选 C.

点评:本题考查球的体积和表面积, 用等体积法求出球的半径, 熟练掌握正四面体的体积公 式及球的表面积公式是正确解题的知识保证.相似比求解球的半径是解题的关键.

12.定义

设实数 x、y 满足约束条件

且 z=max{4x+y,

3x﹣y},则 z 的取值范围为( ) . A. [﹣6,0] B. [﹣7,10]

C. [﹣6,8]

D. [﹣7,8]

考点:二元一次不等式(组)与平面区域;简单线性规划. 专题:计算题;压轴题;数形结合. 分析: 本题属于线性规划问题,先找出可行域,即四边形 ABCD 上及其内部, (4x+y)与 (3x﹣y)相等的分界线 x+2y=0,令 z1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求 得 z1 范围;令 z2=3x﹣y,点(x,y)在四边形 ABEF 上及其内部(除 AB 边)求得 z2 范围, 将这 2 个范围取并集可得答案. 解答: 解:∵(4x+y)﹣(3x﹣y)=x+2y, ∴ 直线 x+2y=0

将约束条件

所确定的平面区域分为两部分.如图,

令 z1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求得﹣7≤z1≤10; 令 z2=3x﹣y,点(x,y)在四边形 ABEF 上及其内部(除 AB 边) , 求得﹣7≤z2≤8.综上可知,z 的取值范围为[﹣7,10]. 故选 B.

点评:表面上看约束条件和目标函数都是静态的, 实际上二者都是动态变化的, 目标函数是 z=4x+y 还是 z=3x﹣y 并没有明确确定下来, 直线 x+2y=0 又将原可行域分为两部分. 本题看 似风平浪静,实际暗藏玄机,化动为静,在静态状态下,从容破解问题. 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a4+a5=12,则 S7 的值为 28 . 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:计算题. 分析:利用等差数列的性质可求得 a4,而 S7=7a4,从而可求得 S7 的值, . 解答: 解:∵{an}为等差数列,a3+a4+a5=12, ∴3a4=12, ∴a4=4, 又 S7=7a4=28. 故答案为:28. 点评:本题考查等差数列的前 n 项和,着重考查利用等差数列的性质,属于中档题. 14.若正方体的棱长是 1,则该正方体的外接球的表面积为 3π . 考点:球内接多面体;球的体积和表面积. 专题:计算题. 分析:求出正方体的体对角线的长度, 就是外接圆的直径, 求出半径即可求外接球的表面积. 解答: 解:正方体的体对角线的长度,就是外接圆的直径, 因为正方体的棱长是 1, 所以 2r= ,r= .

所以外接球的表面积为:4π

=3π.

故答案为:3π. 点评:本题是基础题,考查几何体的外接球的表面积的求法,考查计算能力. 15.已知 x>1,则函数 的最小值是 5 .

考点:基本不等式.

专题:计算题. 分析:利用基本不等式,凑“积”为定值. 解答: 解:∵x>1, ∴x﹣1>0, ∴f(x)=x+ =(x﹣1)+ +1≥2 +1=5, (当且仅当 x﹣1= ,

即 x=3 时取“=”) . 故答案为:5. 点评:本题考查基本不等式,凑“积”为定值是关键,属于基础题.

16. 在斜三角形 ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 3 .

, 则

=

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:计算题. 分析:先把已知条件利用切化弦, 所求的式子是边的关系, 故考虑利用正弦定理与余弦定理 把式子中的三角函数值化为边的关系,整理可求 解答: 解:由题设知: ,即 ,

由正弦定理与余弦定理得



即 故答案为:3 点评:本题主要考查了三角函数化简的原则: 切化弦. 考查了正弦与余弦定理等知识综合运 用解三角形,属于基础知识的简单综合. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. 在四棱锥 E﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, AC 与 BD 交于点 O, EC⊥平面 ABCD, F 为 BE 的中点. (1)求证:DE∥平面 ACF; (2)求证:BD⊥AE .

考点:直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)利用正方形的性质以及中线性质任意得到 OF∥DE,利用线面平行的判定定 理可证; (2)利用底面是正方形得到对角线垂直,以及线面垂直的性质得到线线垂直,得到线面垂 直的判定定理可证. 解答: 证明: (1)连接 OF, . ∵ . ∴ 是 BE 的中点, ∴ …(5 分) ∴DE∥ACF; (2)证明:∵底面 ABCD 是正方形,∴BD⊥AC, ∵EC⊥平面 ABCD,∴EC⊥BD, ∴BD⊥平面 ACE, ∴BD⊥AE.

点评:本题考查了线面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用; 关键是 熟练掌握相关定理的条件及结论. 18.已知锐角△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos A+cos2A=0,a=7,c=6, 求 b 的值. 考点:余弦定理. 专题:计算题;解三角形.
2

分析:由已知及二倍角公式可得: 23cos A+2cos A﹣1=0, 结合 A 是锐角, 从而解得 cosA= , 利用余弦定理即可得 b 的值. 解答: (本题满分为 12 分) 2 解:由 23cos A+cos2A=0, 2 2 得 23cos A+2cos A﹣1=0, 解得 cosA=± . ∵A 是锐角, ∴cosA= . 又 a =b +c ﹣2bccosA, ∴49=b +36﹣2×b×6× , ∴b=5 或 b=﹣ (舍去) .
2 2 2 2

2

2

故 b=5. 点评:本题主要考查了二倍角公式,余弦定理的应用,属于基本知识的考查.

19.已知△ ABC 的边 AB 所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0,M(2,0)满足 1,1)在 AC 边所在直线上且满足 (1)求 AC 边所在直线的方程. (2)求△ ABC 外接圆的方程. ? =0.

=

,点 T(﹣

考点:直线的一般式方程与直线的性质. 专题:直线与圆. 分析: (1)利用相互垂直的正弦斜率之间的关系可得直线 AC 的斜率,再利用点斜式即 可得出; (2)利用直角三角形的外接圆的性质可知:斜边的中点即为外接圆的圆心,求出交点 A 的 坐标,再利用两点之间的距离公式即可得出半径. 解答: 解: (1)∵ =0,

∴AT⊥AB,又 T 在 AC 上, ∴AC⊥AB,△ ABC 为直角三角形, 又 AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0, ∴直线 AC 的斜率为﹣3.

又∵点 T(﹣1,1)在直线 AC 上, ∴AC 边所在直线的方程为 y﹣1=﹣3(x+1) ,即 3x+y+2=0. (2)AC 与 AB 的交点为 A, ∴由 ,解得点 A 的坐标为(0,﹣2) ,





∴M(2,0)为 Rt△ ABC 斜边上的中点,即为 Rt△ ABC 外接圆的圆心, 又
2 2



从而△ ABC 外接圆的方程为(x﹣2) +y =8. 点评:本题考查了相互垂直的正弦斜率之间的关系、点斜式、直角三角形的外接圆的性质、 直线的交点、 两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力, 属于中档题. 20.如图:三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 .若 M 是 BC 的中点,求:

(1)三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

考点:异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 分析: (1)欲求三棱锥 P﹣ABC 的体积,只需求出底面积和高即可,因为底面 ABC 是 边长为 2 的正三角形,所以底面积可用 来计算,其中 a 是正三角形的边长,又

因为 PA⊥底面 ABC,所以三棱锥的高就是 PA 长,再代入三棱锥的体积公式即可. (2)欲求异面直线所成角,只需平移两条异面直线中的一条,是它们成为相交直线即可, 由 M 为 BC 中点,可借助三角形的中位线平行于第三边的性质,做出△ ABC 的中位线,就 可平移 BC,把异面直线所成角转化为平面角,再放入△ PMN 中,求出角即可. 解答: 解: (1)因为 PA⊥底面 ABC,PB 与底面 ABC 所成的角为 所以

因为 AB=2,所以

(2)连接 PM,取 AB 的中点,记为 N,连接 MN,则 MN∥AC 所以∠PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角 计算可得: ,MN=1,

异面直线 PM 与 AC 所成的角为

点评:本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力. 解题关键再与找平行线, 本题主要 通过三角形的中位线找平行线, 如果试题的已知中涉及到多个中点, 则找中点是出现平行线 的关键技巧. 21.已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4,直线 l1 过定点 A (1,0) . (Ⅰ)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (Ⅱ)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时直线 l1 的 方程. 考点:圆的切线方程;点到直线的距离公式. 专题:综合题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)通过直线 l1 的斜率存在与不存在两种情况,利用直线的方程与圆 C 相切, 圆心到直线的距离等于半径,即可求 l1 的方程; (Ⅱ)设直线方程为 kx﹣y﹣k=0,求出圆心到直线的距离,弦长,得到三角形 CPQ 的面积 的表达式,利用二次函数求出面积的最大值时的距离,然后求出直线的斜率,即可得到 l1 的直线方程. 解答: 解: (Ⅰ) ①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1:x=1,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即: ,解之得 .
2 2

所求直线 l1 的方程是 x=1 或 3x﹣4y﹣3=0. (Ⅱ)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,设直线方程为 kx﹣y﹣k=0, 则圆心到直 l1 的距离 d=

又∵三角形 CPQ 面积 S= ∴当 d= ∴d=

×2

=d

=

时,S 取得最大值 2. = ,k=1 或 k=7.

∴直线方程为 y=x﹣1,或 y=7x﹣7. 点评:本题考查直线与圆的位置关系,考查直线与圆相切,考查三角形的面积的最值,考查 计算能力,属于中档题.
*

22.已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an= b3=6+b2. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)设 cn=

(n∈N ) .若{an}为等比数列,且 a1=2,

(n∈N ) .记数列{cn}的前 n 项和为 Sn.

*

(i)求 Sn; * (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈N 均有 Sk≥Sn. 考点:数列与不等式的综合;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)先利用前 n 项积与前(n﹣1)项积的关系,得到等比数列{an}的第三项的值, 结合首项的值,求出通项 an,然后现利用条件求出通项 bn; (Ⅱ) (i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和, 得出本小题结论; (ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明. 解答: 解: (Ⅰ)∵a1a2a3…an= 当 n≥2,n∈N 时, 由①②知: 令 n=3,则有 ∵b3=6+b2, ∴a3=8. ∵{an}为等比数列,且 a1=2, ∴{an}的公比为 q,则 =4, , .
*

(n∈N ) ①, ②,

*

由题意知 an>0,∴q>0,∴q=2. ∴ (n∈N ) . (n∈N )得:
* *

又由 a1a2a3…an=

, , ∴bn=n(n+1) (n∈N ) . (Ⅱ) (i)∵cn= ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn = = = = ; = = .
*

(ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0; 当 n≥5 时, , 而 = 得 , 所以,当 n≥5 时,cn<0, * 综上,对任意 n∈N 恒有 S4≥Sn,故 k=4. 点评:本题考查了等比数列通项公式、求和公式,还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想 证明的思想, 证明可以用二项式定理, 还可以用数学归纳法. 本题计算量较大, 思维层次高, 要求学生有较高的分析问题解决问题的能力.本题属于难题. >0,


更多相关文档:

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年度高一学期期末考试 数学试卷一、...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年度高一学期期末考试 数学试卷一、...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年度高一学期期中考试 数学试题一....

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含...齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年度高一学期期末考试 数学试卷 一、选择题(...

1黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高一下学...

1黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年度高一下学期期末考试数学Word版有答案[来源:学优网407040]_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一下学期期末数学模拟试卷...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测九

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测九_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学高一数学周测试题(九)满分:100 分一、选择题(每小题 7 分)...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测一

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测一_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学高一数学周测试题(一)满分:100 分 时间:40 分钟 一、选择题...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测一

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测一_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学高一数学周测试题(一)满分:100 分 时间:40 分钟 一、选择题(6×...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一数学周测十四_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学高一数学周测(十四)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期...

黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。齐齐哈尔市实验中学 2014-2015 学年度高一学期期中考试 数学试题一....
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com