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高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 用CASIO—fxCG20探求函数零点的个数


辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试 活动学生 用 CASIO—fxCG20 探求函数零点的个数
【原问题】 已知 f ( x) ? 1 ? 2 x , x ? 0,1 ,那么函数 y ? f ( f ( f ( x ))) 零点的个数是_______ 解法一:用零点分段法手工求解。 函数 y ? f ( f ( f ( x )))零点的个数即方程 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 x ? 0 解的个数。对于该绝对值方 程,采用零点分段法去绝对值,可以求得共有四个解:

? ?

1 3 5 7 , , , ,故函数的零点个数为 4。 8 8 8 8

解法二:用 CASIO fx-CG20 图形计算器的“解方程(组) ”模块求解。

图1

图2

图3

图4

将求解范围分别锁定在区间 ?0,0.25? 、 ?0.25,0.5? 、 ?0.5,0.75? 和 ?0.75,1? 上,即可以具体求出 该方程的四个解,见图 1—4,即函数的零点个数为 4。不过该方法需要事先锁定方程的根所在的区 间,容易漏根。 解法三:用 CASIO fx-CG20 图形计算器的“图形”模块求解。

图5

图6

输入函数 y ? 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 x ,绘制函数图像,见图 5 和图 6,观察发现在区间 ?0,1? 的零点 个数共 4 个。

【原问题的推广】 已知 f ( x) ? 1 ? 2 x , x ? 0,1 ,记 f 1 ( x ) ? f ( x ), f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x )), f 3 ( x ) ? f ( f 2 ( x )), ? , f n?1 ( x ) ? f ( f n ( x )) , n ? N ,探求函数 y ? f n ( x ) 在 ?0,1? 上的零点个数。
?

? ?

分析:

1

原问题相当于:当 n ? 3 时,求函数 y ? f n ( x ) 在 ?0,1? 上的零点个数。现在将原问题推广到一 般。于是我们先从 n ? 1,2,3 开始,寻找结论是否可能存在一些规律。 对于 n ? 1,2,3 ,手工计算工作量还不算很大,但是从 n ? 4 开始,如果采用零点分段法,通过 手工计算寻找零点就非常繁琐了。于是借助于 CASIO fx-CG20 图形计算器的“图形”模块,利用函 数的迭代,见图 7,就可以非常轻松、直观地得到当 n ? 4,5,6 ? ? ? 时,函数 y ? f n ( x ) 图像与 x 轴在

?0,1? 上的交点个数,即函数 y ?

f n ( x ) 在 ?0,1? 上的零点个数。

当 n ? 3 时,见图 8,可得函数 y ? f 3 ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 4; 当 n ? 4 时,见图 9,可得函数 y ? f 4 ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 8??

图7 归纳:

图8

图9

0 当 n ? 1 时,函数 y ? f 1 ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 2 ; 1 当 n ? 2 时,函数 y ? f 2 ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 2 ; 2 当 n ? 3 时,函数 y ? f 3 ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 2 ;

当 n ? 4 时,函数 y ? f 4 ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 2 ??
3

猜测: 若 f ( x) ? 1 ? 2 x , x ? 0,1 ,记 f 1 ( x ) ? f ( x ), f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x )), f 3 ( x ) ? f ( f 2 ( x )), ? , f n?1 ( x ) ? f ( f n ( x )) , n ? N ,则函数 y ? f n ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 2
?
n ?1

? ?



论证: 因为这是一个与自然数 n 有关的命题,所以自然想到用数学归纳法来证明。

1 ? 当 n ? 1 时,结论显然成立。 2 ? 假设当 n ? k 时,结论成立,即函数 y ? f k ( x ) 在 ?0,1? 上零点的个数为 2 k ?1 。
事实是这 2
k ?1

个零点在开区间 (0,1) 上。

(说明: f (0) ? 1, f 2 (0) ? f ( f (0)) ? f (1) ? 1, f 3 (0) ? f ( f 2 (0)) ? f (1) ? 1,? ? ?, f k (0) ? 1 ,即 0 不是函数 y ? f k ( x ) 的零点;同样可得 1 也不是函数 y ? f k ( x ) 的零点。故在假设中的 2 点在开区间 (0,1) 上。此处可用数学归纳法证明。 )
2
k ?1

个零

当 n ? k ? 1 时,研究方程 f k ?1 ( x ) ? 0 根的个数。 将方程 f k ?1 ( x ) ? 0 写成 f k ( f ( x )) ? 0 。令 t ? f ( x ) ,则 f k (t ) ? 0 。由假设可知,方程

f k (t ) ? 0 有 2 k ?1 个 根 , 设 它 们 是 在 区 间 (0,1) 上 的 t1 , t 2 ,? ? ?, t 2k ?1 , 亦 可 写 成 t i ? (0,1) , i ? 1,2,? ? ?,2 k ?1 。
对于形如 t i ? f ( x), t i ? (0,1) 的 2 模块,见图 10—12) ,于是这 2
k ?1 k ?1

个方程中的每一个方程都有两个不等的根 (用 “动态图”
k

个方程共有两两不等的 2 个根。

图 10

图 11

图 12

故方程 f k ?1 ( x ) ? 0 即 f k ( f ( x )) ? 0 共有 2 个两两不等的根, 即函数 y ? f k ?1 ( x ) 的零点个
k k 数为 2 。即当 n ? k ? 1 时,结论亦成立。

由 1 2 得证。

?

?

【进一步的变式】 已知 f ( x) ? 1 ? 2 x , x ? 0,1 ,记 f 1 ( x ) ? f ( x ), f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x )), f 3 ( x ) ? f ( f 2 ( x )), ? , f n?1 ( x ) ? f ( f n ( x )) , n ? N ,探求方程 f n ( x ) ? 解析: 对于 n ? 1,2 ,采用零点分段法,手工计算工作量还不算很大。但是从 n ? 3 开始,如果采用零 点分段法手工计算就开始繁琐了。于是借助于 CASIO fx-CG20 图形计算器的“图形”模块,仍然利 用函数的迭代,就可以非常轻松、直观地得到当 n ? 3,4,5,6 ? ? ? 时,函数 y ? f n ( x ) 与 y ? 像的交点个数,即方程 f n ( x ) ?
?

? ?

1 x 在 ?0,1? 上有几个根? 2

1 x图 2

1 x 在 ?0,1? 上根的个数。 2

3

图 13

图 14

图 15 当 n ? 3 时,见图 13,方程 f 3 ( x ) ?

图 16

1 x 在 ?0,1? 上根的个数为 2 3 ; 2

当 n ? 4 时,见图 14(将图像局部放大,见图 15 中的矩形框选中区域和图 16) ,可得方程

f 4 ( x) ?

1 x 在 ?0,1? 上根的个数为 2 4 ; 2 1 x 在 ?0,1? 上根的个数为 2 n 。 2
2013 年 9 月 12 日

以此类推?? 方程 f n ( x ) ?

4

5


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