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直线与圆的位置关系


直线和圆的位置关系

点和圆的位置关系有几种?

A B C

点到圆心的距离为d, 圆的半径为r,则: 点在圆外 点在圆上 点在圆内
位置关系

d>r; d=r; d<r.
数量关系

同学们,在我们的生活中到处都 蕴含着数学知识,下面老师请同 学们欣赏美丽的

海上日出
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪 些基本的几何图形呢?

请同学们利用手中的工具再现海上 日出的整个情景。

在再现过程中,你认为直线与圆的 位置关系可以分为哪几类?
你分类的依据是什么?

一、直线与圆的位置关系
(用公共点的个数来区分)
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交, 这条直线叫圆的割线,

这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线, 这个公共点叫切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。

O

O

O

l
A

l
相离

l

相交

相切

上述变化过程中,除了公共点的个数发生了变化, 还有什么量在改变?你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系?

相关知识点回忆
.A

直线外一点到这条直线 的垂线段的长度叫点到直线 的距离。

D

a

二、直线和圆的位置关系
(用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分)
d r

直线和圆相交

d< r

d

r

直线和圆相切

d= r

r

直线和圆相离

d> r
数量关系

d


位置关系

总结:

两 判定直线 与圆的位置关系的方法有 ____种:
直线 与圆的公共点 (1)根据定义,由________________

的个数来判断; 圆心到直线的距离d与半径r (2)根据性质,由_________________ 的关系来判断。 在实际应用中,常采用第二种方法判定。

小试牛刀
1、已知圆的直径为13cm,设直线和圆心的距离为d : 2 个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____ 1 个公共点. 相切 , 直线与圆有____ 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 相离 , 直线与圆有____ 0 个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . ;



O



O



O

相交

相切

相离

? 上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能 画出它们的对称轴吗?

探索切线的性质
? 如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样 的位置关系?说说你的理由.

? 直径AB垂直于直线CD.
? ? ?

B

小颖的理由是: ∵右图是轴对称图形,AB是对称轴, ∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因 此,∠BAC=∠BAD=90° C



O D

A

探索切线的性质
? 小亮的理由是: ?直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直. 假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
B
?

则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于 ⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已 知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. 所以CD与AB垂直.
C



O D

?

A

M

切线的性质
圆的切线垂直于过切点的直径.
? ? ?

如图 ∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.

B



O
D

C ?温馨提示:切线的性质是证明两线垂直的重要根据; ? 作过切点的半径是常用的辅助线之一.

A

例1: 在 Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB=8cm,AC=4cm. (1)以C为圆心作圆,当半径为多长时, AB与⊙C相切? (2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半 径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的 位 置关系?
A
4cm C B

D

8 cm

?

解:(1)过点C作CD⊥AB于D.
?

∵AB=8cm,AC=4cm.
AC 1 ? cos A ? ? . AB 2

A

D


C

B

?

∴∠A=60°.

?CD ? AC sin A ? 4 sin 600 ? 2 3?cm?.
?因此,当半径长为

2 3 cm时,AB与⊙C相切.

(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两 个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
?
?

解:(2)由(1)可知,圆心到AB的距离 d= 2 3 cm,所以

当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离; 当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.

例2:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,
BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系?为什么? (1)r=2cm;(2)r=2.4cm (3)r=3cm. B

4 C d 3

D

A

解:过C作CD⊥AB,垂足为D
在△ABC中, AB= AC 2 ? BC 2 ? 32 ? 42 ? 5 根据三角形的面积公式有
1 1 CD ? AB ? AC ? BC 2 2 AC ? BC 3 ? 4 CD ? ? ? 2.4(cm ) AB 5

D



d

即圆心C到AB的距离d=2.4cm 所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。

有d=r, (2)当r=2.4cm时, 因此⊙C和AB相切。
D

d

(3)当r=3cm时, 有d<r, 因此,⊙C和AB相交。
D

d

自我检验
1、已知:圆的直径为13cm,如果直线和圆心 的距离为以下值时,直线和圆有几个公共点? 为什么?

(1) 4.5cm A、0 个; (2) 6.5cm A、0 个; (3) 8cm

答案:C B、1个;

C、2个;

A、0 个;

答案:B B、1个; 答案:A B、1个;

C、2个; C、2个;

2、如图,已知∠BAC=30度,M为AC 上一点,且AM=5cm,以M为圆心、 r为半径的圆与直线AB有怎样的 位置关系?为什么? (1) r=2cm
D

(2) r=4cm
(3) r=2.5cm


B
3、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm, C AC=3cm,以C为圆心的圆与AB 12 cm。 相切,则这个圆的半径是

5
4、直线L 和⊙O有公共点,则直线L与⊙O( D ).

A

A、相离;B、相切;C、相交;D、相切或相交。

拓展 已知⊙A的直径为6,点A的坐标为 (-3,-4),则x轴与⊙A的位置关系是 相离 y轴与⊙A的位置关系是_____ 相切 。 _____,
y
B

-1

O

-1
C

x

4
A.(-3,-4) 3

思考 若⊙A要与x轴相切,则⊙A该向上移动 多少个单位?若⊙A要与x轴相交呢?
y

B 4

-1
3 .(-3,-4)

O

-1
C

x

A

观察

已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
A 。 o C l2

B l1 l2

讨论
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,BC=12cm, 以C为圆心,r为半径作圆。 ①当r满足
60 0﹤r﹤13

②当r满足
③当r满足

60 r= 13 60 r﹥ 13

时, 直线AB与⊙C相离。
CD=

时,直线AB与⊙C相切。
时,直线AB与⊙C相交。

60 cm 13

B
13

④当r满足 时, 线段AB与⊙C只有一个公共点。

60 r= 或5﹤r≤12 13

12 C

D

5

A

小结:1、直线与圆的位置关系:
图形 直线与圆的 位置关系
.O r d ┐ l .o d r ┐ l .
A

. B

.O d r ┐ . lC

相离
0 d>r

相切
1 d=r

相交
2 d<r

公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系

公共点的名称 直线名称

切点
切线

交点
割线

切线的性质
圆的切线垂直于过切点的直径.
? ? ?

如图 ∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径, ∴CD⊥OA.

B



O
D

C

A


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