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2015年全国高中数学联赛吉林省预赛


2015 年全国高中数学联赛吉林省预赛 一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ? 1 x ?( ) , x ? 1 1.已知函数 f ( x) ? ? 4 ,则 f [ f (?1)] 等于 log x , x ? 1 ? 1 ? 2 A.2 B. ?2 C. 1 4 D. ? 1 2 2

.“实数 a, b, c, d 依次成等差数列”是“ a ? d ? b ? c ”成立的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必邀条件 3.若方程 f ( x) ? 2 在 (??, 0) 内有解,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是 A. B. C. D. ? ? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a, b 的夹角为 60 ,且 | a |? 1,| a ? 2b |? 13 ,则 | b | 等于 A. 2 B. 3 2 C. 2 2 D.2 5.已知函数 f ( x) ? x | x | ,若对任意的 x ? 1 都有 f ( x ? m) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围 是 A. (??, ?1) 3 B. (??, ?1] C. (??, ?2) D. (??, ?2] 6.若函数 f ( x) ? 4 x ? 3x 在 (a, a ? 2) 上存在最大值,则实数 a 的取值范围是 A. ( ? 5 , ?1) 2 B. ( ? 5 , ?1] 2 C. ( ? 5 1 ,? ) 2 2 D. ( ? , ? ] 5 2 1 2 二、本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请将答案填在题后的横线上. 7. 已知四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形 , SD ? 平面 ABCD , 且 SD ? AB , 则四棱锥 S ? ABCD的外接球的表面积是 8.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 4an ? 3(n ? N * ) ,则数列 {an } 的通项公式是 第 1 页 共 3 页 9.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 区间 [0, ? ? 2 ) sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 f ( x) 在 2 4 ? ] 上的值域为 10. 如图 , 在四棱锥 E ? ABCD 中 , 底面 ABCD是正方形 , AE ? 平面 C D E , 已知 AE ? DE ? 3, F 为 线 段 DE 上 的 一 点 , 二 面 角 E ? BC ? F 与 二 面 角 F? BC ? D 的大小相等,则 DF 的长为 11.从 0,1, 2,? ,9 这 10 个数字值取出三个不同的数字组成四位数(其中的一个数字 用两次),如 5224,则这样的四位数共有 个 ? ?ax ? 2 y ? 8 ? 0 ? ? ? ? 12. 非空集合 A ? ?( x, y ) | ? x ? y ? 1 ? 0 ? , 当 ( x, y) ? A 时 , 目标函数 z ? y ? x 既存在最大值又存 ? ?2 x ? ay ? 2 ? 0 ? ? ? ? 在最小值,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题共 4 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13(本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对

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