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河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三数学第三次调研考试试题 文


河南省平顶山新乡许昌 2016 届高三第三次调研考试 文 科 数 学
注意事项 : 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答题前,考生务必先将自己的姓名 、 准考证号填写在答题卡相应位置上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指 定位置上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案的标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案答在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.设全集 U=R,集合 A={ x| x -x-2>0},B={x|1< 2 <8},则(CUA)∩B= A.[-1,3) B. (0,2] C. (1,2] D. (2,3)
2
x

2.设复数 z1=-1+3i,z2=1+i,则 A.-1-i C.1-i B.1+i D.-1+i

z1+z2 = z1-z2

3.tan70°cos10°+ 3 sin10°tan70°-2sin50°= A.-

1 2

B.

1 2

C.-2

D.2

4.如果等差数列{ an }中,a3+a4 +a5=12,那么 a1+a2+L+a7= A.14 B.21 C.28 D.35 5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+ g(x)= a - a 则 f(2)= A.2 B.
x -x

+2 (a>0,且 a≠1) .若 g(2)=a,

15 4

C.

17 4

D. a

2

6.如图所示的程序框图,当输入 n=50 时,输出的结果是 i= A.3 B.4 C.5 7.已知双曲线 C: A.y= ?

D.6

x2 y 2 5 - 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
B. ?

1 x 4

1 y=x 3
1

C.y= ?

1 x 2

D.y=x

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为 A.30 B.24 C.12 D.18 9.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是

? ? ) B.y=sin(2x- ) 6 6 ? ? C.y=cos(4x- ) D.y=cos(2x- ) 3 6
A.y=sin(x+ 10.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ∈R,使 e 0 < x0 +1 成立
x

B.对 ?x ∈R,使 2 > x 成立
x

2

a =-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 b uuu r uur uur uuu r 1 uuu uuu r uuu r r 11.设 P 是△ABC 内一点,且 AP + BP + CP =0, BD = BC ,则 AD + AP = 3 uuu r 2 uuu uuu r r r 1 2 uuu A. AB + B. AB + AC AC 2 3 3 uuu r uuu r uuu r uuu r 4 2 2 C. AB + D. AB + AC AC 3 3 3
C.a+b=0 的充要条件是 12.函数 f(x)= ? A.11 个

?(2 x-1)e-x , x≥0, ? f ( x+1),
B.10 个

x<0

在区间[-10,10]上零点个数为

C.22 个 D.20 个 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本 大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则 a=_________.

x≥0 ? ? 14.若 x,y 满足约束条件: ? x+2y≥3, 则 x-y 的取值范围是___________. ?2 x+y≤3 ?
15.在半径为 2 的球面中,有一个底面是等边三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱的顶点都 在这个球面上,则该三棱柱的侧面积的最大值为______________. 16.已知数列{ an }满足 a1=1,a2=2, an+2 - an =1+ (- 1) ,则数列{ an }的前 30 项的和为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= sin x + 3 sinxcosx+
2

n

1 . 2

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且函数 f(x)在 x=A 时取得最大值 a,求 △ABC 的面积 S 的最大值.
2

18. (本小题满分 12 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n(n=1,2,…,6) 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(Ⅰ)求第 6 位同学的成绩 x6,及这 6 位同学成绩的标准差 s; (Ⅱ)从前 5 位同学中,随机地选 2 位,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC, AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证:AC1∥平面 CD B1; (Ⅱ)求三棱锥 C1-B1CD 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 E 的中心在原点,对称轴为坐标轴.设 E 过点 A(0,1) ,焦点分别为 F1,F2,且 AF1 · AF2 =0. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)过点(- 3 ,0)的直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与圆 O: x2+y 2=r 2 (r>0)相切于点 Q,求 r 的值及△OPQ 的面积. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= e +ax+b(a,b∈R,e 是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若对一切 x∈R,关于 x 的不等式 f(x)≥(m-1)x+n 恒成立,求 m+n 的最大值. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,请写清楚 题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (Ⅰ)证明:△ABE∽△ADC; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S=
x

uuu r

uuu r

1 AD·AE,求∠BAC 的大小. 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1: ?

1+t cos ? , ? x= ? x=cos ? , (t 为参数) ,圆 C2: ? (θ 为参数) . ? y=t sin ? , ? y=sin ? ,
3

(Ⅰ)当 ? =

(Ⅱ)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,当 ? 变化时,求 A 点轨迹的参数方程,并指出它是什么 曲线. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等 式选讲 (Ⅰ)解不等式:|2x-1|-|x|<1; (Ⅱ)设 f(x)= x -x+1,实数 a 满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|< 2(|a|+1) .
2

? 时,求 C1 被 C2 截得的线段的 长; 3

平顶山许昌新乡 2016 届高三第三次调研考试 文科数学答案 一.选择题: (1)B (2)C 二.填空题: (3)D (4)C (5)B (6)C (7)C (8)B (9)D (10)D (11)A (12)A

(13) 3,(14) [?3, 0] ,(15) 12 3 , (16) 255. 三.解答题: (17)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? 2 2 2 2
? 3
……… 3 分 … 5分

= 1 ? sin(2 x ? ) (或= 1 ? cos(2 x ? ) ) . ∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ? π . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 2 x ? 即 x ? k? ? ∴A? ∵S ?

? 6

? ? ? 2k ? ? 时, 6 2
……… 6分

? 时, f ( x ) 最大为 2. 3

? ,a ? 2. 3

……… 7 分

1 3 bc sin A ? bc , 2 4
2 2 2

…… 8 分

又∵ a ? b ? c ? 2bc cos A , ∴ 4 ? b ? c ? bc ? bc ,
2 2

…… 9 分 ……… 10 分 ……… 11 分

∴ S ? 3 ,当仅当 a ? b ? c ? 2 时取等号. ∴面积 S 的最大值为 3 .

…… 12 分
4

(18)(本小题满分 12 分) 解: (I)? x ?

1 6 ? xn ? 75 , 6 n?1
5

? x6 ? 6 x ? ? xn ? 6 ? 75 ? 70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? 90,
n ?1

……… 3 分

s2 ?

1 6 1 ( xn ? x)2 ? (52 ? 12 ? 32 ? 52 ? 32 ? 152 ) ? 49 , ? 6 n?1 6

? s ? 7. ……… 6 分 (Ⅱ)从 5 位同学中随机选取 2 位同学,共有如下 10 种不同的取法: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}, …… 8 分 选出的 2 位同学中,恰有 1 位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下 4 种取法: {1,2},{2,3},{2,4},{2,5}, …………………… 10 分
故所求概率为 . (19)(本小题满分 12 分) 解: (I)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连 结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; …… 6 分

2 5

…………………… 12 分

(II)∵AC=3,BC=4,AB=5,∴ AC⊥BC,∵CC1⊥平面 ABC,∴AC⊥平面 BCC1B1, ∴A 到平面 BCC1B1 的距离为 AC=3, ∵D 是 AB 的中点,∴D 到平面 BCC1B1 的距离为 而△CB1C1 的面积为

3 . 2

……… 9 分

1 1 3 ? 4 ? 4 ? 8 ,∴ VC1 ? B1CD ? VD ?C1B1C ? ? 8 ? ? 4 .… 12 分 2 3 2

(20)(本小题满分 12 分)

5

(21)(本小题满分 12 分)

6

(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 证明: (Ⅰ)由已知条件得∠BAE=∠CAD, ∵∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,∴∠AEB=∠ACB, ∴△ABE∽△ADC.

…… 5 分

AB AD ? (Ⅱ)∵△ABE∽△ADC,∴ ,即 AB·AC=AD·AE. AE AC 1 1 ∵△ABC 的面积 S= AB·ACsin∠BAC,又 S= AD·AE, 2 2
故 AB·ACsin∠BAC = AD·AE,∴sin∠BAC =1. 因为∠BAC 是三角形的内角,所以∠BAC =90°. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)当 ? ? … 10 分

? 时, C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 3

联立方程组 ?

? y ? 3( x ? 1) ?
2 2 ? ?x ? y ? 1

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)与 ? ,
……… 5 分

?1 ?2 ?

3? ?. 2 ? ?

所以, C1 被 C2 截得的线段的长为 1. (Ⅱ)将 C1 的参数方程代入 C2 的普通方程得 t ? 2t cos ? ? 0 ,
2

∴A 点对应的参数 t ?

t1 ? t2 ? ? cos ? ,∴A 点坐标为 ? sin 2 ? , ? cos ? sin ? ? . 2

故当 ? 变化时,A 点轨迹的参数方程为: ?

? x ? sin 2 ? , ? y ? ? sin ? cos ?
2

( ? 为参数) .

因此,A 点轨迹的普通方程 为 ( x ? ) ? y ?
2

1 2

1 . 4
……… 10 分

故 A 点轨迹是以 ( , 0) 为圆心,半径为

1 2

1 的圆. 2

(24)(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 解: (Ⅰ)当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ x ? 0 ,∴ x 不存在; 当0? x? 当x?

1 1 1 时,原不等式可化为 ?2 x ? x ? 0 ,解得 x ? 0 ,又∵ 0 ? x ? ,∴ 0 ? x ? ; 2 2 2

1 1 1 时,原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 1 ,解得 x ? 2 ,又∵ x ? ,∴ ? x ? 2 ; 2 2 2 综上,原不等式的解为 0 ? x ? 2 . ………… 5 分
(Ⅱ)∵ | f ( x) ? f (a) |?| x ? x ? a ? a |?| x ? a | ? | x ? a ?1|
2 2

7

?| x ? a ? 1|?| x ? a ? 2a ?1| ?| x ? a | ? | 2a ? 1| ? 1? | 2a | ?1 ? 2(| a | ?1) .
∴ | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) . ………… 10 分

8


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