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2011年5月南平市高中毕业班适应性考试(文科数学)


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2011 年南平市高中毕业班适应性考试


参考公式: 样本数据 x1 , x2 , …, xn 的标准差: s ? 柱体体积公式: V ? Sh , 其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式: V ? 1 Sh ,
3

>






本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x ) 2 ? 其中 x 为样本平均数; ? n?

其中 S 为底面面积, h 为高; 球的表面积、体积公式:

S ? 4?R2 , V ? 4 ?R3 ,
3

其中 R 为球的半径.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 z ? A.第一象限

i 所对应的点在( 1? i

) D.第四象限 )

B.第二象限

C.第三象限

2. 命题“对任意的 x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0 C.对任意的 x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0

B.存在 x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0 D.存在 x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0 )

3.要得到函数 y ? cos 2 x 的图像,只需把函数 y ? sin 2 x 的图像( A.向左平移

? 个长度单位 4
? 个长度单位 2

B.向右平移

? 个长度单位 4
? 个长度单位 2

C.向左平移

D.向右平移

4.设等差数列 {an } 的公差为非零常数 d ,且 a1 ? 1 ,若 a1 , a3 , a13 成等比数列, 则公差 d ? ( A.1 5.过椭圆 ) B.2 C.3 ) D.5

x2 y2 ? ? 1 的焦点且垂直椭圆长轴的弦长为( 9 16
B.

A.

16 3

32 3

C.

9 2

D.9

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6. 设 ? , ? , ? 为平面, m, n, l 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( A. n ? ? , n ? ? , m ? ? C .? ? ? , ? ? ? , m ? ? B. ? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? D. ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,若 f (a) ?



? x ?2 ? 7. f ( x ) ? ? 2 9 ? 2 x ? 3x ? ? 2
A. ?1

x?0 x?0

1 ,则 a ? ( 2



B. 2

C. ?1 或 2

D. ?1或

5 2

8.某同学设计右面的程序框图用以计算和式

12 ? 22 ? 32 ? ? ? 202 的值,则在判断框中应填写(
A. i ? 19 C. i ? 20 B. i ? 19 D. i ? 21



9.在某次运动会上,七位裁判为某运动员打出的分数为如图所示的茎叶图,则去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为( ) 2 A. 84 , B. 84 , 1.6 10 5 7 9 C. 85 , 1.6 D. 85 ,

2 10 5

8 9

3 3 5 3 6 3

10.如图,在 ?ABC中, AN ? 若 AP ? mAB ? A. C.

????

1 ???? NC ,P 是 BN 上的一点, 3


??? ?

??? ?

2 ???? AC ,则实数 m 的值为( 11
B. D.

2 11 5 11

3 11 9 11
6
主视图 侧视图

11. 某几何体的三 视图如右图所示,则该几何体 体积的最大值是( )

1 A. 6

1 B. 3

1
俯视图

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C.

2 3

D.

1 2

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足下列三个条件: (1) f ( x ? 3) ? ?

1 ;(2)对任意 3 ? x1 ? x2 ? 6 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f ( x)
) B. f (3) ? f (4.5) ? f (7) D. f (7) ? f (3) ? f (4.5)

(3) y ? f ( x ? 3) 的图 像关于 y 轴对称.则下列结论中正确的是( A. f (3) ? f (7) ? f (4.5) C. f (7) ? f (4.5) ? f (3)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽取了一个容量为 n 的样本,其频率分布 直方图如图所示,其中支出在 [50, 60) 元的 同学有 30 人,则 n 的值为 . 0.036 0.024 0.01

频率 组距

?x ? y ? 3 ? 0 ? 14. 若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值 ?y ?1 ?
为 .
2 2

20 30 40 50

60 元

15.直线 l : y ? k ( x ? 3)与圆O : x ? y ? 4 交于 A、B 两点,|AB|= 2 2 , 则实数 k= 16.已知下列命题命题: ①椭圆 .

y2 x2 5 ?1 ? 2 ? 1 中,若 a,b,c 成等比数列,则其离心率 e ? ; 2 2 a b

②双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ( a>0)的离心率 e ? 2 且两条渐近线互相垂直; ③在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的 4 个顶点;
2 2 ④若实数 x, y ? ? ?1, 1? ,则满 足 x ? y ? 1的概率为

? . 4

其中正确命题的序号是

.

三、解答 题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

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17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2a n ? n, (n ? N )
*

(Ⅰ)求 a1 , a 2 , a3 的值; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式.

18.(本小题满分 12 分) 已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,F 为棱 BB1 的中点, M 为线段 AC1 的中点. 求证: (Ⅰ)直线 MF∥平面 ABCD; (Ⅱ)平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.

D1 A1 B1

C1

M

F D
C

A

B

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19.(本小题满分 12 分) 某班几位同学组成研究性学习小组, ? 25, 55? 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次 日常生活中是否具有环保 对 意识的调查. 若生活习惯具有环保意识的称为“环保族” ,否则称为 “非环保族” ,得到如下统计表: 组数 分组 环保族人数 占本组的频率 本组占样本的频率 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组

? 25,30 ?

120 195 100 a 30 15
[X*X*K]

0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3

0.2 q 0.2 0.15 0.1 0.05

?30,35 ? ?35, 40 ? ? 40, 45 ? ? 45,50 ? ?50, 55?

(Ⅰ)求 q、n、a、p 的值;

(Ⅱ)从年龄段在 ? 40,50 ? 的“环保族”中采 用分层抽样法抽取 6 人参加户外环保活 动,其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 ? 40, 45 ? 的 概率. 20. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ?cos x, sin x ? , b ? ?2 cos x,2 cos x ? ,函数 f ? x ? ? a ? b . (Ⅰ)求 a 及 f ?

?? ? ? 的值; ? 24 ? ? ? 1, c ? 4, ab ? 3 ,求△ABC 的周长. 24 ?

(Ⅱ)在锐角△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, 且 f ?C ?

? ?

? ?

21. (本题满分 12 分) 过抛物线 x ? 4 y 上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点, PA ? PB ? 0.
2

(Ⅰ)求证:P 点的轨迹为一 条直线; (Ⅱ)已知点 F(0,1) ,是否存在实数 ? 使得 FA ? FB ? ? ( FP) ? 0 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,
2

请说明理由. 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln( x ? 1) (a ? R) , (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (友情提示: [ln( x ? 1)]? ? (Ⅱ)求证:当 n ? N 时, 1 ?
*

1 ) x ?1

1 1 1 ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ; 2 3 n (Ⅲ)当 a 取什么值时,存在一次函数 g ( x) ? kx ? b ,使得对任意 x ? ?1 都有
f ( x) ? g ( x) ? x ? x 2 ,并求出 g ( x) 的解析式.

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试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分 1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.C 9.B 10.B 11.D 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分 13.100 14.3 15. ? 12.B

14 7

16. ①②③

11.D 提示: V ?

1 1 1 BC 2 ? CD 2 1 6 1 S?BCD ? AC ? BC ? CD ? ? ? ? ? . 3 6 6 2 6 2 2
D

6

1
科网]

C

B

A

1 12.B 提示:? f ( x ? 6) ? ? ? f ( x),? f ( x) 是以 6 为周期的函数. f ( x ? 3)
? y ? f ( x ? 3) 的图像关于 y 轴对称,? f ( x) 关于 x ? 3 对称,
? f ( x)在 ? 0, 为减函数,在 ?3,?为增函数. 3? 6 ? f (3) ? f ? 4.5? ? f (1) ? f (7) .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)因为 Sn ? 2an ? n, 令n ? 1, 解得 a1 ? 1 再分别令 n=2,n=3,解得 a2 ? 3, a3 ? 7 . ????3 分 ????6 分
*

(Ⅱ)因为 Sn ? 2an ? n, 所以 Sn ?1 ? 2an ?1 ? (n ? 1), (n ? 2, n ? N ) ???8 分 两式相减得 a n ? 2a n ?1 ? 1,所以 a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1), (n ? 2, n ? N ) ?10 分
*

又因为 a1 ? 1 ? 2 ,所以 {an ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 所以 a n ? 1 ? 2 ,所以 an ? 2 ? 1 .
n
n
网]

????12 分

18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)取 D D1 中点 E,易得 AF∥CE 且 AF=CE,可得 ? AFC1E????3 分

?M 为线段 AC1 的中点,?M 在线段 EF 上,连结 BD ?MF∥BD.
又 MF ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD,∴MF∥平面 ABCD. ????6 分 (Ⅱ)连结 BD,由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1, 可知 A1A⊥平面 ABCD. 又∵BD ? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD,∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD. ??8 分
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又 ∵AC∩A1A=A,AC,AA1 ? 平面 ACC1A1,∴BD⊥平面 ACC1A1.???10 分 由(Ⅰ)得 MF∥BD,∴MF⊥平面 ACC1A1,又因为 MF ? 平面 AFC1 ∴平面 AFC1⊥ACC1A1. 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)第二组的频率为:q=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.05)=0.3??2 分 第 一组的人数为

120 =200 ,??????3 分 0.6
所以: n ?

第一组的频率为 0.2

200 ? 1000 ??????4 分 0.2
所以: p ?

第二组人数为 1000×q=1000×0.3=300 第四组人数 a=1000×0.15=150

195 ? 0.65 ?????6 分 300

所以:a=150×0.4=60??????????7 分

(Ⅱ)因为 ? 40, 45 ? 年龄段的“环保族”与 ? 45,50 ? 年龄段的“ 环保族”人数比值为 60:30=2:1,采用分层抽样法抽取 6 人, ? 40, 45 ? 年龄段的有 4 人, ? 45,50 ? 年龄段的 有 2 人;??????9 分 设 ? 40, 45 ? 年龄段的 4 人为 a、b、c、d, ? 45,50 ? 年龄段的 2 人为 m、n, 则选取 2 人作为领队的有(a,b) 、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m) (b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)、(m,n ),共 15 种;其中恰有 1 人年龄 在 ? 40, 45 ? 的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n), 共 8 种???11 分 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在 ? 40, 45 ? 的概率为
[ _网]

8 ????????12 分 15

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) a ?

cos2 x ? sin2 x ? 1

?? 2 分 ??4 分

?? ? f ?x ? ? a ? b ? 2 cos2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 4? ? ? 6 ?? ? ?? ?? ? f ? ? ? 2 sin? ? ? ? 1 ? 2 sin ? 1 ? ?1 ??6 分 3 2 ? 24 ? ? 12 4 ?
?? ? ? ??9 分 ? ? 1 得 sin? 2C ? ? ? 0 ,?C ? 24 ? 3? 3 ? 2 2 2 2 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? ?a ? b ? ? 3ab ,? a ? b ? 5 ∴ ? ABC 的周长 ? a ? b ? c ? 9 ??12 分
(Ⅱ) 由 f ? C ?

? ?

? ?

21. (本小题满分 12 分)

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2 x12 x2 证法(一)(Ⅰ)设 A( x1 , ), B( x2 , ), ( x1 ? x2 ) : 4 4

' 由 x ? 4 y, 得: y ?
2

x 2

? k PA ?

x1 x , k PB ? 2 2 2

? PA ? PB ? 0,? PA ? PB,? x1 x2 ? ?4 ? ???????????3 分
直线 PA 的方程是: y ?

x12 x1 x x x2 ? ( x ? x1 ) 即 y ? 1 ? 1 4 2 2 4



2 x2 x x2 同理,直线 PB 的方程是: y ? ? 2 4



x1 ? x2 ? ? x? 2 由①②得: ? ( x1 , x2 ? R) ∴点 P 的轨迹方程是 y ? ?1( x ? R). ??6 分 xx ? y ? 1 2 ? ?1, 4 ?
(Ⅱ)由(1)得: FA ? ( x1 ,

x12 x2 x ?x ? 1), FB ? ( x2 , 2 ? 1), P( 1 2 ,?1) 4 4 2

FP ? (

x1 ? x 2 ,?2), x1 x 2 ? ?4 2
2 x12 x2 x 2 ? x2 ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? 1 ??????????10 分 4 4 4

FA ? FB ? x1 x2 ? (

( FP) 2 ?

2 ( x1 ? x2 ) 2 x 2 ? x2 ?4? 1 ?2 4 4
2

所以 FA ? FB ? ( FP) ? 0 故存在 ? =1 使得 FA ? FB ? ? ( FP) ? 0 ????????????????12 分
2

证法(二)(Ⅰ)∵直线 PA、PB 与抛物线相切,且 PA ? PB ? 0, : ∴直线 PA、PB 的斜 率均存在且不为 0,且 PA ? PB, 设 PA 的直线方程是 y ? kx ? m(k , m ? R, k ? 0)

由?

? y ? k x? m 2 得: x ? 4kx ? 4m ? 0 2 ? x ? 4y

? ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 即 m ? ?k 2 ??????????3 分
即直线 PA 的方程是: y ? kx ? k
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2

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同理可得直线 PB 的方程是: y ? ?

1 1 x? 2 k k

1 ? y ? kx ? k 2 ? ? ?x ? k ? ? R 由? 1 1 得: ? k ?y ? ? k x ? k2 ? y ? ?1 ? ?
故点 P 的轨迹方程是 y ? ?1( x ? R). ??????????????6 分 (Ⅱ)由(1)得: A(2k , k 2 ), B(?

2 1 1 , 2 ), P(k ? ,?1) k k k 2 1 1 FA ? (2k , k 2 ? 1), FB ? (? , 2 ? 1) FP ? (k ? ,?2) k k k 1 1 FA ? FB ? ?4 ? (k 2 ? 1)( 2 ? 1) ? ?2 ? (k 2 ? 2 ) ????????????10 分 k k 1 1 ( FP) 2 ? ( ? k ) 2 ? 4 ? 2 ? (k 2 ? 2 ) k k
2

故存在 ? =1 使得 FA ? FB ? ? ( FP) ? 0 ????????????????12 分 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 ax ? a ? 1 ? ( x ? ?1) x ?1 x ?1 1 ? 1, a

??2 分

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? x ? ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0

f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ?

1 ?1 a

所以,当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?1,

1 1 ? 1) ,递增区间为 ( ? 1, ??) a a
???5 分

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?1, ??) ,无递增区间

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln( x ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数, 所以,当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ? ln( x ? 1) , 所以

1 1 1? k ? ln( ? 1) ? ln k ? 1, 2,?, n , k k k

??7 分

所以 1 ?

1 1 1 2 3 1? n 2 3 1? n ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln( ? ??? ) ? ln(n ? 1) , 2 3 n 1 2 n 1 2 n
*

即当 n ? N 时, 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ln(n ? 1) 2 3 n
2

??9 分

(Ⅲ)设 h( x) ? x ? x ,因为 f (0) ? h(0) ? 0 ,所以要使 f ( x) ? g ( x) ? h( x) , 则直线 g ( x) ? kx ? b 必为 f ( x) 和 h( x ) 在点 x ? 0 处的公共切线, 由 h?(0) ? (1 ? 2 x)
x ?0

? 1 ,得 h( x) 在点 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ,即 g ( x) ? x
??11 分

又由 f ?(0) ? a ? 1 ? 1 ,得 a ? 2

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下面证明 f ( x) ? g ( x) ? h( x) : 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,由(Ⅰ)知, F ( x) 在 (?1,0) 上单调递减, 在 (0, ??) 上单调递增,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) , 又 g ( x) ? h( x) ? x ? 0 ,即 g ( x) ? h( x) ,
2

所以,当 a ? 2 时,存在一次函数 g ( x) ? x ,使得对任意 x ? ?1 都有

f ( x) ? g ( x) ? x ? x 2

?? 14 分

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