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等差数列的前n项求和


片头

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高斯 (1777-1855),高斯是 德国数学家 ,也是科学 家,他和牛顿、阿基米 德,被誉为有史以来的 三大数学家。高斯是近 代数学奠基者之一,在 历史上影响之大, 可以 和阿基米德、牛顿、欧 拉并列,有“数学王子” 之称。

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这可难为初学算术的学生,但是高斯却在几秒后将答案解了出来,他利用算术级数(等差级数) 这可难为初学算术的学生,但是高斯却在几秒后将答案解了出来,他利用算术级数(等差级数) 的对称性,然后就像求得一般算术级数和的过程一样,把数目一对对的凑在一起: 的对称性,然后就像求得一般算术级数和的过程一样,把数目一对对的凑在一起:1+100,2+ 99,3+98,……49+52,50+51 而这样的组合有50组,所以答案很快的就可以求出是: 所以答案很快的就可以求出是: 101×50=5050。
1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦,有一个后来被证认为小行星 并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳靠近,天文学家虽然有40天的时间可以观察 它,但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法,而且达 到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置。高斯在这 一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法(一种可从特定计算得到最小的方差和中 求出最佳估值的方法在天文学中这一成就立即得到公认。他在《天体运动理论》中叙述的方法今 天仍在使用,只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星”智神星”方面也获得类 似的成功。 由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果,他被选为许多科学院和学术 团体的成员。“数学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂。
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高斯 (1777-1855),高斯是德国数学家 ,也是科学家,他和牛顿、阿基米德,被誉为有史以来的三 大数学家。高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大, 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列, 有“数学王子”之称。 他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格丁根大学学习。第二年他就发现正十七边形的 尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件,解决了欧几里得以来悬而未决的问题。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都 做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究,发明了最小二乘法 原理。高理的数论研究 总结 在《算术研究》(1801)中,这本书奠定了近代数论的基础,它不 仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典着作之一。高斯对代数学的重要贡献 是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非 欧几何的原理。他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念发现了着名的柯西积分定理。他还 发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的 一般研究》,全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学,并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论 后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文,他对待学问十分严谨,只是把他自己认为是十分 成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定 律》等。 高斯最出名的故事就是他十岁时,小学老师出了一道算术难题: =?” 高斯最出名的故事就是他十岁时,小学老师出了一道算术难题:“计算1+2+3…+100=?”。

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问题 1:

+ 100

1 + 2 + 3 +······+ 100 =? ?
99

98 · · · · · · 1 101 + 101 + 101 + · · · · · · +101 = 101×50
首项与末项的和: 1+100=101, 首项与末项的和: + 项与倒数第2项的和 第2项与倒数第 项的和: 2+99 =101, 项与倒数第 项的和: + 项与倒数第3项的和 第3项与倒数第 项的和: 3+98 =101, 项与倒数第 项的和: + ,

······

第50项与倒数第 项的和:50+51=101, 项与倒数第50项的和: + , 项与倒数第 项的和 于是所求的和是: 于是所求的和是: 101×50 = 5050。 × 。
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问题 1:

1+2+3+······+100=? ?
S100 = 1+2+3+ ······ +100 = 101×50 = 5050 × 100 =(1+100) ·
2

100 = (a 1 + a 100 ) · 2

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问题 2:
一个堆放铅笔的V形架, 一个堆放铅笔的 形架,最下面第一层放一 形架 根铅笔,往上每一层都比它下面多放一根, 根铅笔,往上每一层都比它下面多放一根,就 这样一层一层地往上放。最上面一层放120根。 这样一层一层地往上放。最上面一层放 根 求这个V形架上共放着多少根铅笔 形架上共放着多少根铅笔? 求这个 形架上共放着多少根铅笔?

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怎么计算呢? 怎么计算呢?
想:探求三角形面积情景 先补后分
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S120 =1+2+3+ ······ +120

120 = 121 · = 7260 2 120
= (1 + 120 ) ·
2
8

120 = (a 1 + a 120 ) · 2

问题 1: S100 = 1+2+ ······ +100
100 = ( a 1 + a 100 ) · 2

问题 2: S120=1+2+ ······ +120
120 = ( a 1 + a 120 ) · 2

Sn=a1+a2+······+an n = (a1 +an ) 2

?
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猜 测

等差数列的前n项和公式的推导
由等差数列

a1 , a 2 , a3 , … a n , …

的前n项和 的前 项和

= a1 + a2 + a3 + … + an ?1 + an Sn Sn=a1 + a2 + … + an-1+ an Sn=an + an-1 + … + a2 + a1
a1 + an = a2 + an-1 = = an + a1

= …( 2 Sn (a 1 + an) + a2 + a n-1 ) + … + a n +a 1 ) ( = n ( a1 + a n )
n ( a1 + a n ) Sn = 2
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等差数列的前n项和公式的其它形式
n(a1 + an ) Sn = 2

n(n ? 1) ?? ? ? → Sn = na1 + ? d 2
an = a1 + ( n?1 ) d

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例 题 解 析

,-6,- 例1:等差数列-10,- ,- , :等差数列- ,- ,-2, 2,·······前多少项和是 ? 前多少项和是54 , 前多少项和是
设题中的等差数列为{a 解: 设题中的等差数列为 n}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. n( ?1) n 设 Sn= 54, Sn = na + d 1 2

n( n ? 1) · 4 = 54 ? 10n + 2 得

n2-6n-27=0 n1=9, n2= -3(舍去)。 舍去)。 得 舍去 ,-6,- 因此等差数列 -10,- ,- ,2, ,- ,-2, , ······· 前9项和是 。 项和是54。 项和是 12

练习1. 练习

课 堂 小 练

1. 根据下列条件,求相应的等差数列 根据下列条件,

( 1 ) a 1 = 5 , a n = 95 , n = 10 ;
S 10 10 × ( 5 + 95 ) = = 500 . 2

{an } 的 S n

( 2 ) a 1 = 100 , d = ? 2 , n = 50 ;
S 50

( 3 ) a 1 = 14 . 5 , d = 0 . 7 , a n = 32 .
32 ? 14.5 n= + 1 = 26, 0.7

50 50 ? 1 ) ( = 50 × 100 + × ( ? 2 ) = 2550 2

S 26

26 × ( 14 . 5 + 32 ) = = 604 . 5 . 2

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练习2. 练习

课 堂 小 练

2. 等差数列 5,4,3,2, ··· 前多少项和是 – 30? ?
解: a1=5 , d = -1 , Sn = -30
n( n ? 1) ? ( ? 1 ) = ? 30 ∴ S n = 5n + 2 n = 15 或 n = ? 4 ( 舍 )

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1.等差数列前 项和 n公式的推导 等差数列前n项和 项和S
2.等差数列前 项和 n公式的记忆与应用; 等差数列前n项和 公式的记忆与应用; 等差数列前 项和S
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n ? 1) Sn = na1 + d 2

说明:两个求和公式的使用-------知三求一. 知三求一. 说明:两个求和公式的使用-------知三求一
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课后作业: 课后作业:
1:课本P20 习题 :课本 习题1-2 13,14 2: 预习课本 预习课本P17 例9,例10,例11。 , , 。

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