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高中数学概念总结


高中数学概念总结

高中数学概念总结 一、 函数

1、 若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素, 则集合 A 的所有不同的子集个数为

2 n ,所有非空真子集的个数是 2 n ? 2 。
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ?

b , 顶点

坐 2a

标是 ? ? ?

?

b 4ac ? b 2 ? ? 。用待定系数法求二次函数的解析式时,解 , 4a ? ? 2a ?

析 式 的 设 法 有 三 种 形 式 , 即 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(一般式) ,

f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2(零点式) 和 )
(顶点式) 。 2、 幂函数 y ? x 是
m n

f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n

,当 n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大致图象

2 3、 函数 y ? x ? 5 x ? 6 的大致图象是

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由 图 象 知 , 函 数 的 值 域 是 [0, ?) , 单 调 递 增 区 间 是 ?

[2, .5]和[3, ?) ,单调递减区间是 (??,]和[2.5,] 。 2 ? 2 3
二、 不等式

n n 1、若 n 为正奇数,由 a ? b 可推出 a ? b 吗? ( 能 )

若 n 为正偶数呢? ( 仅当a、b 均为非负数时才能) 2、同向不等式能相减,相除吗 能相加吗? 能相乘吗? 3、两个正数的均值不等式是: (不能) ( 能 ) (能,但有条件)

a?b ? ab 2 a?b?c 3 ? abc 三个正数的均值不等式是: 3
n 个正数的均值不等式是:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? a1 a 2 ? a n n

4、两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之 间的关系是

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 2

4、 双向不等式是: a ? b ? a ? b ? a ? b 左边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号,右边在 ab ? 0(? 0) 时取得等号。 三、 数列

1 、 等 差 数列 的通 项 公 式是 an ? a1 ? (n ? 1)d , 前 n 项 和公 式 是:

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2

= na1 ?

1 n(n ? 1)d 。 2

2、等比数列的通项公式是 an ? a1q n?1 ,

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? na1 (q ? 1) ? n 前 n 项和公式是: S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? 1? q ?
3、当等比数列 ?an ? 的公比 q 满足 q <1 时, lim S n =S=
n??

a1 。一般地, 1? q

如果无穷数列 ?an ? 的前 n 项和的极限 lim S n 存在,就把这个极限称为这
n??

个数列的各项和(或所有项的和) ,用 S 表示,即 S= lim S n 。
n??

4、若 m、n、p、q∈N,且 m ? n ? p ? q ,那么:当数列 ?an ? 是等差数 列 时 , 有 am ? an ? a p ? aq ; 当 数 列 ?an ? 是 等 比 数 列 时 , 有

am ? an ? a p ? aq 。
5、 等差数列 ?an ? 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=60; 6、等比数列 ?an ? 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=70; 四、 排列组合、二项式定理 1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点? 加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。 2、排列数公式是: Pnm = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = 排列数与组合数的关系是: Pnm ? m!Cn ? m 组合数公式是: C n =
m

n! ; (n ? m)!

n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! = ; 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ?
m m m C n + Cn ?1 = Cn?1

m n 组合数性质: C n = C n ?m
n

?C
r ?0

r n

=2

n

r r ?1 rC n = nCn?1

r r ?1 Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn?1

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3、 二项式定理:
0 1 2 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n r 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n) 1,

五、

解析几何

1、 沙尔公式: AB ? xB ? x A 2、 数轴上两点间距离公式: AB ? xB ? x A 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式:

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
4、 若点 P 分有向线段 P P2 成定比λ ,则λ = 1

P1 P PP2

5、 若点 P ( x1 , y1 ),P2 ( x2 , y2 ),P( x, y) ,点 P 分有向线段 P P2 成定比 1 1 λ ,则:λ =

x ? x1 y ? y1 = ; x2 ? x y 2 ? y
x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ? y 2 1? ?

x=

y=

若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 ) ,则△ABC 的重心 G 的坐标是

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ? , ? ?。 3 3 ? ?
6、求直线斜率的定义式为 k= tg? ,两点式为 k= 7、直线方程的几种形式: 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 斜截式: y ? kx ? b

y 2 ? y1 。 x2 ? x1

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两点式:

y ? y1 x ? x1 x y , 截距式: ? ? 1 ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1

一般式: Ax ? By ? C ? 0 经 过 两 条 直 线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和l 2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的 交点的直线系方程是: A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 8、 直线 l1:y ? k1 x ? b1,l 2:y ? k 2 x ? b2 ,则从直线 l1 到直线 l 2 的角 θ 满足: tg? ?

k 2 ? k1 1 ? k1 k 2
k 2 ? k1 1 ? k1 k 2

直线 l1 与 l 2 的夹角θ 满足: tg? ?

直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l 2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,则从直线 l1 到直线 l 2 的角θ 满足: tg? ?

A1 B2 ? A2 B1 A1 A2 ? B1 B2
A1 B2 ? A2 B1 A1 A2 ? B1 B2

直线 l1 与 l 2 的夹角θ 满足: tg? ?

9、 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

10、两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l 2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离是

d?
2

C1 ? C 2 A2 ? B 2
2 2

11、圆的标准方程是: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

圆的一般方程是: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4F ? 0)
2 2

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其中,半径是 r ?

D 2 ? E 2 ? 4F E? ? D ,圆心坐标是 ? ? , ? ? 2? 2 ? 2
2 2

思 考 : 方 程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在 D ? E ? 4F ? 0 和

D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时各表示怎样的图形?
12、若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是

( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
经过两个圆

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
的交点的圆系方程是:

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0
2 2 经 过 直 线 l:Ax ? By ? C ? 0 与 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的

交点的圆系方程是: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0
2 2

13、圆 x 2 ? y 2 ? r 2的以P( x0 , y0 ) 为切点的切线方程是

x0 x ? y0 y ? r 2
一般地,曲线 Ax2 ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的以点P( x0,y0 ) 为切点 的切线方程是: Ax0 x ? Cy 0 y ? D ?

x ? x0 y ? y0 ?E? ? F ? 0 。例如,抛 2 2
x ?1 ,即: 2

2 , 物线 y ? 4 x 的以点 P(1 2) 为切点的切线方程是: 2 y ? 4 ?

y ? x ? 1。
注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按 照求切线方程的常规过程去做。 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即: ①判别式法:Δ >0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离; ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于半径、等于
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半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是: y 2 ? 2 px,y 2 ? ?2 px,

x 2 ? 2 py,x 2 ? ?2 py。
16、抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标是: ?

p ?p ? ,? ,准线方程是: x ? ? 。 0 2 ?2 ?

若点 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px 上一点,则该点到抛物线的焦点 的距离(称为焦半径)是: x 0 ?

p ,过该抛物线的焦点且垂直于抛 2

物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 2 p 。

17、椭圆标准方程的两种形式是:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1和 2 ? 2 ? 1 a2 b a b

(a ? b ? 0) 。

18、椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点坐标是 (?c,) ,准线方程是 0 a2 b2

x??

c a2 2b 2 2 2 2 ,离心率是 e ? ,通径的长是 。其中 c ? a ? b 。 a c a

19、若点 P( x0 , y0 ) 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, F1、F2 是 a2 b2

其 左 、 右 焦 点 , 则 点 P 的 焦 半 径 的 长 是 PF ? a ? ex0 和 1

PF2 ? a ? ex0 。
20、双曲线标准方程的两种形式是:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1和 2 ? 2 ? 1 a2 b a b

(a ? 0,b ? 0) 。

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21、双曲线

x2 y2 a2 ? 2 ? 1 的焦点坐标是 (?c,) ,准线方程是 x ? ? , 0 c a2 b
c 2b 2 x2 y2 ,通径的长是 ,渐近线方程是 2 ? 2 ? 0 。 a a a b
2

离心率是 e ?

其中 c ? a ? b 。
2 2

x2 y2 22 、 与 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 是 a b x2 y2 x2 y2 ? 2 ? ? (? ? 0) 。与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线系方 a2 b a b
程是

x2 y2 ? 2 ? 1。 a2 ? k b ? k

23、若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦 长为

AB ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ;

若直线 x ? my ? t 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦 长为

AB ? (1 ? m 2 )( y1 ? y 2 ) 2 。

24、圆锥曲线的焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和

b2 双曲线都有: p ? 。 c
25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 O ? 在原坐标系下的坐标是(h,k) , 若 点 P 在 原 坐 标 系 下 的 坐 标 是 ( x, y), 新 坐 标 系 下 的 坐 标 是 在

( x ?, y ?) ,则 x ? = x ? h , y ? = y ? k 。
六、 立体几何 1、体积公式:
2 柱体: V ? S ? h ,圆柱体: V ? ? r ? h 。

斜棱柱体积: V ? S ? ? l (其中, S ? 是直截面面积, l 是侧棱长) ;
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锥体: V ?

1 1 S ? h ,圆锥体: V ? ? r 2 ? h 。 3 3 1 ? h( S ? S ? S ? ? S ?) , 3 1 ?h ( R 2 ? R ? r ? r 2 ) 3

台体: V ?

圆台体: V ?

球体: V ? 4、 侧面积:

4 ? r3 。 3

直棱柱侧面积: S ? c ? h ,斜棱柱侧面积: S ? c ? ? l ; 正棱锥侧面积: S ?

1 1 c ? h ? ,正棱台侧面积: S ? (c ? c ?)h ? ; 2 2 1 c ? l ? ?rl , 2

圆柱侧面积: S ? c ? h ? 2?rh ,圆锥侧面积: S ?

圆台侧面积:S ? 5、几个基本公式:

1 (c ? c ?)l ? ? ( R ? r )l ,球的表面积:S ? 4? r 2 。 2

弧长公式: l ? ? ? r ( ? 是圆心角的弧度数, ? >0) ;

扇形面积公式:

S?

1 l ?r ; 2 r ? 2? ; l R?r ? 2? 。 l

圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式: ? ?

圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式: ? ?

经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 l ,轴截面顶角 是θ ) :

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? ?1 2 ? 2 ? l sin ? (0 ? ? ? 2 ) S ?? 1 ? ? ?l2 ( ?? ??) 2 ?2
十一、比例的几个性质

a c ? ? ad ? bc b d a c b d 2、反比定理: ? ? ? b d a c a c a b 3、更比定理: ? ? ? b d c d a c a?b c?d ? 5、 合比定理; ? ? b d b d a c a ?b c?d ? 6、 分比定理: ? ? b d b d a c a?b c?d ? 7、 合分比定理: ? ? b d a ?b c?d a c a ?b c?d ? 8、 分合比定理: ? ? b d a?b c?d
1、比例基本性质: 9、 等比定理: 若

a a1 a2 a3 ? ? ? ? ? n ,b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 0 , b1 b2 b3 bn



a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an a1 ? 。 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn b1

十二、复合二次根式的化简

A? B ?

A ? A2 ? B ? 2
2

A ? A2 ? B 2

当 A ? 0,B ? 0,A ? B 是一个完全平方数时,对形如 式使用上述公式化简比较方便。

A ? B 的根

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