当前位置:首页 >> 数学 >> 利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题

利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题


利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题 导数给高中数学增添了新的活力,也是高考的热点内容.纵观历 年高考,有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是 在高三备考复习中,对近些年来全国和若干省(市)高考数学卷中 的把关题和压轴题做一些简单分析,旨在为备考初等数学与高等数 学的衔接知识方面起抛砖引玉的作用. 一、隐函数定理 设函数 f(x,y)在包含(x0,y0)的一个开集上连续可微,并且 满足条件 f(x0,y0)=0,fy(x0,y0)≠0,则存在以(x0,y0) 为中心的开方块 d×e(d=(x0-δ ,x0+δ ) ,e=(y0-η ,y0+η ), ) 使得(1)对任何一个 x∈d,恰好存在唯一的一个 y∈e,满足方程 f(x,y)=0.这就是说,方程 f(x,y)=0 确定了一个从 d 到 e 的 函数 y=f(x)(2)函数 y=f(x)在 d 连续可微,它的导数可按下 ; 式计算 dydx=-fx(x,y)fy(x,y). 二、问题 已知椭圆 c:x2a2+y2b2=1(a>b>0).(ⅰ)点 p(x0,y0)是椭 圆 c 上一点,求过 p 点的椭圆 c 的切线方程; (ⅱ)点 p(x0,y0) 是椭圆 c 外一点,过 p 引椭圆 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点, 求直线 ab 的方程. 解: (ⅰ)根据隐函数定理 f′(x)=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2, ∴过 p 的切线斜率 k=-x0b2y0a2, ∴过 p 的切线方程为 y-y0=--x0b2y0a2(x-x0) ,整理得 x0xa2+y0yb2=1. (ⅱ) 设切点 a x1, 、 x2, ,(1) ( y1)b ( y2)由 知切线 pa: x1xa2+y1yb2=1, 切线 pb:x2xa2+y2yb2=1,由直线 pa、pb 的交点为 p(x0,y0) , 所以直线 ab 的方程为 x0xa2+y0yb2=1. 三、推广 命题 1 已知圆 c: (x-a)2+(y-b)2=r2.(1)点 p(x0,y0)是 圆 c 上一点, 则过 p 点的圆 c 的切线方程为 (x0-a) (x-a) (y0-b) + (y-b)=r2. (2)点 p(x0,y0)是圆 c: (x-a)2+(y-b)2=r2 外一点,过 p 引圆 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点,则直线 ab 的方程为(x0-a) (x-a)+(y0-b) (y-b)=r2. 命题 2 已知双曲线 c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).(1)点 p(x0, y0)是双曲线 c 上一点,则过 p 点的双曲线 c 的切线方程为 x0xa2-y0yb2=1. (2) p 点 (x0, y0) 是双曲线 c: x2a2-y2b2=1 (a>0, b>0)外一点,过 p 引双曲线 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点,则 直线 ab 的方程为 x0xa2-y0yb=1. 命题 3 已知抛物线 c:x2=2py(p>0). (1)点 p(x0,y0)是抛物线 c 上一点,则过 p 点的抛物线 c 的 切线方程为 x0x=2p·y0+y2. (2)点 p(x0,y0)是抛物线 c:x2=2py(p>0)外一点,过 p 引 抛物线 c 的切线 pa、pb,点 a、b 为切点,则直线 ab 的方程为 x0x=2p·y0+y2. 四、在高考中的应用 图 1【例 1】 如图 1,以椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心为圆 心, 分别以 a 和 b 为半径作

更多相关文档:

利用高等数学解决曲线的切线问题

利用导数解决初等数学中的切线问题 例 1.在曲线 y...解:由曲线 y=x3+x-2 得导数 y′=3x2+1,又...二、已知函数是隐函数求切线方程 例 2.求曲线 ex...

高等数学中空间曲线的切线问题分析

如果空间曲线是用一般方程给出 ,通常利用方程 组所确定的隐函数的求导法则,借助 Cram高等数学中空间曲线的切线问题分析 摘要:在高等数学中求空间曲线在某点处的...

妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程 精品

数学教学中求圆锥曲线的切线方程问题, 以 一个小问题为出发点,引出隐函数的...利用隐函数定理解高考中... 1209人阅读 7页 1下载券 2.4 隐函数及由参数方程...

2016年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)

设 a∈R,函数 f(x)= . (1)若函数 f(x)在(0,f(0) )处的切线与...(A+B)=sinC= ,再利用正弦定理求解. 【解答】解:∵A+B+C=π,∴sin(A+...

利用圆的切线长定理巧解题

利用的切线定理巧解题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。初中数学解题方法,中考专题训练。利用的切线定理巧解题结论巧用,妙解题 例:已知如图,⊙O为 Rt...

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

拉格朗日中值定理高考中的妙用_数学_高中教育_...曲线上两点的割线斜率 ,可以转化为曲线切线的斜率...但若利用 拉格朗日中值定理,则只需求二次函数在所...

数学分析第十八章隐函数定理及其应用复习

数学分析第十八章隐函数定理及其应用复习_理学_高等...0, 空间曲线的切线和法平面; 法线方程 : y ? ...y 2 ? 4在(?2,?2)处的切线和法线方程解: F...

借助于导数的几何意义研究圆锥曲线切线问题的若干尝试

暂无评价|0人阅读|0次下载借助于导数的几何意义研究圆锥曲线切线问题的若干尝试_...? 2 a2 b2 a 2 b2 a y 所以可知对方程 实际上,这是高等数学中隐函数...

圆锥曲线的双切线问题初探

圆锥曲线高考数学中的必考问题, 圆锥曲线切线为...二、定理证明为了简捷且更具一般性和代表性, 我们...2 ? 2? 解:设 M ? x0 , y0 ? 、 P ? ...

全国卷高考圆锥曲线真题答案

圆锥曲线的相交问题,联立方程组转化为一元二次方程,...利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相 交...(m≠0) ,代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com