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jashire1[1].2 牛顿运动定律及其应用


1. 2

牛顿运动定律及其应用

1.2.1 牛顿运动定律
1.2.2 自然界中的力 1.2.3 牛顿运动定律的应用 1.2.4 非惯性系与惯性力

作业:1-5、1-6、1-18、1-19、1-21、1-22

1.2.1 牛顿运动定律
(Newton?s laws of m

otion) 一、牛顿第一定律(惯性定律)

任何物体如果没有力作用在它上面,都将保 持静止的或作匀速直线运动的状态。
1. 定义了惯性参考系

惯性系---在该参照系中观察,一个不受力作用的物 体将保持静止或匀速直线运动状态不变.
2. 定义了物体的惯性和力 惯性---物体本身要保持运动状态不变的性质.

力---迫使一个物体运动状态改变的一种作用.

二、 牛顿第二定律 定量给出了运动状态的变化与所受外力之间的关系

? ? F ? ma

牛顿第二定律的更准确表示:

? ? ? dp d ( mv ) F? ? dt dt
? ? ? d ?mv ? ? dv F? ?m ? ma dt dt

这种表示无论是高速( m可变)还是低速运动都正确. 低速时质量不变

同时受几个外力作用
注意: 上式的瞬时性

? ? ? Fi ? ma
矢量性

分量形式

?

直角坐标系

? Fix ? ma x i ? Fiy ? ma y i ? Fiz ? ma z
i

?

自然坐标系
v2 ? Fin ? ma n ? m R i dv ? Fit ? ma t ? m dt i

三、牛顿第三定律(作用力与反作用力)
作用力与反作用力大小相等、方向相反,作 用在不同物体上。 牛顿定律只适用于惯性系。

1.2.2 自然界中的力
一、自然界的基本力 从力的性质上说,自然界只有四种基本的相互作用 1. 引力相互作用 2. 电磁相互作用 3. 强相互作用 4. 弱相互作用 一切质点之间 静止或运动电荷之间 强子之间,如质子、中子… 存在于许多粒子间,但仅在 粒子间的某些反应中才显现出

力的强度(相邻质子间):
强相互作用 ≈ 10 4N,电磁相互作用 ≈ 10 2 N ,

弱相互作用≈ 10 -2 N , 引力相互作用≈ 10-34 N 。

二、常见的力 1、万有引力 一切质点之间

m1m2 f ?G 2 r

万有引力定律: -- 万有引力恒量

G ? 6.67 ? 10?11 N ? m 2 / kg2
2、 重力

地球附近的物质所受的地球引力

? ? P ? mg
mM P ? G 2 ? mg , R

方向竖直向下

M g?G 2 R

M:地球质量 R:地球半径

3、弹力 作用在相互接触的物体之间,与物体的形变 相联系,是一种弹性恢复力。 O x (1) 弹簧的弹力 f ? ? kx x>0 f<0 x (2) 正压力 N , 支持力, x<0 x 垂直于接触面指向对方 f>0 (3) 张力 T,内部的弹力 ?

4、摩擦力
(1) 滑动摩擦力 (2) 静摩擦力 5、流体阻力

fk ? ?k N f s max ? ? s N

? v2

fk1

? v1 ? ? N1

F ? fk 2

? N2

? F ? fs

作用在流体中的运动物体上

1.2.3

解题步骤 1.认物体(确定研究对象); 一般采用隔离体法. 即把系统中的几个物体分别研究。 2. 看运动 分析研究对象的运动状况,并确定各研究对象运动 状况之间的联系(约束条件). 3. 分析力 找出研究对象所受的全部外力,画出受力图 4. 列方程 列出牛顿定律方程. 根据需要选择适当的坐标系,将力 和加速度沿坐标轴分解, 列出沿各坐标轴方向的方程. 5. 解方程,对结果作必要讨论。

牛顿定律的应用 ? ? ? Fi ? ma

例1:一柔软绳长 l,线密度 ?,一端着地开始自 由下落,下落的任意时刻,给地面的压力为多少? 解:建坐标 以整个绳子为研究对象,分析受力, 设任意时刻t,绳给地面的压力为 N

dp d ( mv ) N ? ?gl ? ? dt dt d ( ?yv ) dy dv l y ? ? ? (v ?y ) dt dt dt O dv dy ? a? ?g ?v dt dt N ? ?gl ? 2? ( l ? y) g ? ?yg 2 N ? ?gl ? ? ( v ? yg )

y

N ? 3 ?g ( l ? y )

v 2 ? 2 g( l ? y )

例2: 有阻力的抛体问题 . 己知: 质量为m的炮弹,以初速度v0与水平方向成仰角? ? ? 射出. 若空气阻力与速度成正比, 即 f ? ?kv 求: 运动轨道方程 y(x)= ? y ? 解: 二维空间的变力情况. ? f m v0 1.选 m 为研究物体.
2.建坐标 xoy.

?
o

? mg

? v

t =0 时,

? ?重力:m g 3.分析受力: ? ? ? ?阻力: f ? ? kv

x=0 , y=0 vx 0=v0 cos? , vy 0=v0 sin?

x

列方程:

? ? ? f ? mg ? ma
dv x m ? ? kv x dt
m dv y dt ? ? mg ? kv y

? ? f ? ? kv
y

分量式

? ? f v0
?

m

分离变量

dv x k ? ? dt vx m

? mg

? v
x

o

k ? ? dt mg ? kv y m

kdv y
vx

分别积分

?
?

vx 0
vy

v y0

k ? ? dt mg ? kv y 0 m

dv x ? vx kdv y

?

k ? dt 0 m

t

?

t



v x ? ?v0 ? cos ? ? ? e k ? t m mg m v y ? (v0 sin ? ? g ) ? e ? k k

?

kt m

再次积分

?

x



k ? t mv0 cos ? x? (1 ? e m ) k k 2 ? t mv 0 sin ? m g mg m y?( ? 2 ) ? (1 ? e ) ? t k k k

?

x0

dx ?

?

t

0

v x ? dt

y

y0

dy ? ? v y ? dt
t 0

消去 t , 得轨道方程: ? ? mg ? m2 g ? kx ? x ? 2 ln? 1 ? ? y ? ? tan ? ? ? ? kv0 cos ? ? mv 0 cos ? ? k ? ? ? ?

例3. 有一密度为?的细棒,长度为l,其上端用细线悬着, 下端紧贴着密度为?′ 的液体表面。现将悬线剪断,求细棒 恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。

解: 在下落时细棒受两个力: 一是重力 G ,一是浮力 B 。
当 t 时刻,棒的浸没长度为 x

F ? G ? B ? ?S lg? ? ?Sxg
l

?
O

dv dx (?l ? ? ?x)Sg ? m v? dt dt (?l ? ? ?x)Sgdx ? mvdv

G
B

x

??

?(?l ? ? ?x)Sgdx ? ?0 mvdv ? S?l ?0 vdv 0

l

v

v

x 2 ? lg? ? ? lg v? ?

? ? 例4. 质量为0.25 kg的质点,受力F ? t i ?SI?的作用, ? ? t ? 0 时该质点以v ? 2 j m/s 的速度通过坐标原点, 则该质点任意时刻的位 置矢量是: ? ? t ? ? F 解: a ? ? i ? 4 ti m 0.25 ? ? ? t ? 0 v0 ? 2 j m/s r ? 0

?

? v ? 2j

? dv ?

? ?0 adt
t

?

? r

0

? dr ?

? ?0 v dt
t

? ? ? 2 v ? 2 j ? 2t i ? ? ? 2 v ? 2t i ? 2 j ? ? 2 3 r ? t ? 2t j 3

例5.一根不可伸长的轻绳跨过固定在O点的水平光滑细 杆,两端各系一个小球。a球放在地面上,b球被拉到水 平位置,且绳刚好伸直。从这时开始将b球自静止释放。 设两球质量相同。 求:(1) b球下摆到与竖直线成θ角时的v (a球未离地) (2) ? = ?a 球刚好离开地面。
解: (1)分析b运动 O a

lb

b

a球离开地面前b做半径为 l b 的竖直圆周运动。

分析b受力,选自然坐标系
当b 球下摆到与竖直线成 ? 角时
2

O

lb

b

? v a Fn ? T ? mg cos? ? m (1) ? lb ? ? ? F ? mg sin? ? m dv (2) ? t ? dt dv dv ds dv ? ? ?v 由(2) 式得 g sin? ? dt ds dt ds
? ? vdv ? ? g sin? (ds ) ? ? g sin? ( ? lb d? )
0 0
?
2

?

? T

? mg

v

s

?

? v ? 2lb g cos?

(3)

(2) 分析a运动 当 T = mg 时,a 球刚好离地

N

T

a
mg

2lb g cos? v2 由(1)式 Fn ? mg ? mg cos? ? m ? m lb lb
O

lb

b

? ?? T ? T a ? mg mg

? g ? g cos ? ? 2 g cos ?
1 ? ? cos 3
?1

例:一均匀细棒AB长为L,质量为M。在距A端 d 处有一个质量为 m 的质点 P,如图所示,求:细 棒与质点 P 间的引力。
解:设细棒的线密度为l
dm M l? ? dl L
O P d x
A

dm dx L

B

x

任选微元dm,其与质点P的引力为 m l dx m dm df ? G 2 ? G x x2 d?L mM mldx
f ?

?
d

G

x

2

?G

d ( d ? L)

若 L << d,

mM f ?G 2 d

与平方反比定律一致。

例:在液体中由静止释放一质量为m的小球,它在下 ? ? 沉时受到的液体阻力为 f ? ? kv ,v是小球的速度。 设小球的终极速率为vT,求:任意时刻t,小球的速率。 dv 解: mg ? F浮 ? kv ? ma ? m kv dt F浮 mg ? F浮 ? kvT ? 0
dv kvT ? kv ? ma ? m dt
mg
t

dv k ? ? dt v ? vT m

dv k ? v ? v T ? ? m ? dt 0 0

v

v vT 0 t

k ? t ? ? v ? vT ? 1 ? e m ? ? ? ? ?

1.2.4

非惯性系与惯性力
(Inertial reference frame)

什么是非惯性系? 相对惯性系作加速运动的参照系为非惯性系. 在惯性系中与在非惯性系中观测物体运动有何区别? 一、在惯性系中 ?
A
? mg

? N

静止在地面上的甲观测A , A静止
? ? F ?0 a?0

满足牛顿定律
? v


乙在相对地匀速直线运动的 车中观测A为匀速直线运动。

? N
A
? mg

? v

? ? F ?0 a?0

也满足牛顿定律

二、在非惯性系中

? 丙在相对地以加速 a0向左运动的车上观察, ? 看到 A物以 - a0加速运动.
? a0


? N
A

? ? a0

? mg

? ? F ?0 a?0
在非惯性系中牛顿定律不再成立.

在惯性系和非惯性系中观测同一物体的运动,结论不同.

三、 惯性力 (Inertial force)
1、平动参照系中的惯性力

设: S 系为惯性系,S ′相对于 S 加速度 a0 , S ′系为非惯性系。
? 物体m相对S, 加速度a , ? ? 加速度a ? 物体m相对S

? ? ? a ? a ?? a0

? 由于F 不随参考系变化

? ? 在 S 系 F ? ma

? ? ? ? F ? ma? ? ma0
a0
m

? ? 在S? 系 F ? ma ?

S’

S

牛顿定律在非惯性系不成立
木块的相对滑动.avi

由质点 m 在S系中

? ? ? F ? ma? ? ma0
作如下变换

N
a0 m S’ mg S

? ? ? F ? ma0 ? ma ? ? ? 令:F0 ? ? ma0 ? ? ? F ? F0 ? ma ?

在非惯性系引入虚拟力---惯性力 在非惯性系S ?中,牛顿 第二定律形式上成立

注意:惯性力不是物体间的相互作用力,没有施力物 ? 体,因而也就没有反作用力。惯性力的方向沿 ? a0 大小等于物体的质量 m 乘以非惯性系的加速度 a0
此结论可推广到非平动的非惯性系,如转动参考系。

例. 质量为M,倾角为? 的斜面放在光滑的水平桌面 上,斜面光滑,长为l , 斜面顶端放一个质量为m的物 体,开始时斜面和物体都静止不动,求物体从斜面顶 端滑到斜面底端所需时间. 解:以斜面为参考系(非惯性系) N maM

物 体 相 对 于 斜 面 有 沿 aM 斜面方向的加速度 a '
当m 滑下时,M 加速度方向如图 mg

?

分析物体受力
其中 m aM 就是惯性力. 而 mg 和 N 是真实力.

列方程:
沿斜面方向:

mgsin?+maMcos?=ma'

垂直于斜面方向:
分析M(相对惯性系): 由此解得相对加速度

N-mgcos?+maMsin?=0
N sin?=M aM 水平方向

a'=(m+M)sin?g / (M+msin2?)

1 2 由 l ? a?t 2
t? 2l ( m sin ? ? M ) ( M ? m ) sin? g
2

N
aM maM

?
mg

例:在一匀加速运动的车厢内,观察单摆,其平衡位 置和振动周期如何变化(加速度 a0 ,摆长l,质量m)
?
S S' ma0 mg a0

解:在S '系
周期

平衡位置 ? ? tan

?1

a0 g

a ? a0 ? g
2

2

T ? 2?

l g

l ? T ? 2? a

2、匀角速转动参照系中的惯性离心力 观察一匀角速转动系统,物体相对于转盘静止 从水平转台(非惯性参照系)上观察:
? N

? 2? 从地面参照系观察: ? ?m? r 方向指向圆心 F

? a'? 0

? F ?0

牛顿定律在非惯性系不成立 ? ? 同前面引入惯性力: F0 ? ? ma0

? r ? F

? Fi

? 2? Fi ? m? r 称为惯性离心力

? mg

? ? F ? Fi ? 0

? a'? 0

?

在非惯性系中,牛顿第二定律形式上成立 注意:向心力和离心力不是作用力和反作用力

例:水桶以? 旋转,求水面形状?
z

转动后液面的变化.AVI

?
r

解:水面 关于z 轴对称,选柱坐标系。

在旋转参考系中,任选水面一小质元, 其处于静止状态,
沿水面切线方向

mgsin? ? mr? cos? ? 0
2
? ?

mr?2
z

r? tg? ? ? g
2

dz r? ? dr g

2

mg

积分

?
z0

dz ?

?
0

r

r? dr g
2

r ? z ? z0 ? 2g
2

2

科里奥利力(Coriolis force)
当物体相对于匀角速转动参考系有相对运动时,如何? 设:两人在转动平面上沿径向直线玩投球游戏 在地面(惯性系)中看 球离开投掷者后沿直线运动, 而接球人随平台运动到该点 的左侧,因此接不到它。 在平台的转动参考系中看 接球人静止不动,而球却 偏向右边去了,接不到它。

在转动参考系,运动物体除了受惯性离心力以外,还 将受到另外一种假想的力——科里奥利力(科氏力)

相对转动参考系运动的物体,除受到离心力外, 还受到另一个假象的力,称科里奥利力。 通过上面的例子来简单地计算科里奥利力
?
t

r

? v

设:? 为转台上一固定的径向直线与 空间某一参考直线之间的夹角 s d? ?? s ? r? t=0 dt ds d? ?r ? r? dt dt

设 t = 0时, ?=0,现从圆心沿径向以速率 v 投出一球
在惯性系中看,经过时间 t, 球运动了径向距离 r = v t

同时r 的端点沿圆弧运动了s 距离 s = r? t = (v t )? t

在转动参考系中看 s 也正是由科氏力所造成的球的偏转距离 并且偏转是向右的(沿速度方向看) 其偏转的距离 s = v? t
2

科氏加速度 ac ? 2? v ) ( 科氏力

1 2 1 2 ? (2?v )t ? ac t 2 2

r

?

s

? 是物体相对于匀速转动参考系的运动速度。 ? v

Fc ? ma c ? 2m? v ? ? ? ? 普遍情况: c ? mac ? 2m v ? ? F

? 物体并不仅限于沿径向运动时才受到科氏力的作用 。

1、说明地球在自转 1851年法国物理学家傅科做了一次成功的摆动实验, 实验发现:在北半球,摆动过程中摆动平面沿顺时 针方向缓缓转动。证明地球是在不断自转的。
? ? ? Fc ? 2m v ? ?

傅 科 摆

?

Fc

v
摆动平面 转动方向

巴黎国葬院大厅

? ? ? ? 由 Fc ? 2mv ? ? 可知在地球的北半球上 Fc 指向物体运动方向的右 , 侧,

2、科氏力可以说明许多 自然现象

北半球上

北半球上

另外,在北半球河水对右岸冲刷甚于 左岸,火车对右轨压力大于左轨,由 高空下落的物体出现落体偏东


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