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空间几何体的表面积与体积 教学设计


人教 A 版高中数学必修二第一章
教学 课题 课程 类型 课时 教学 重点 教学 难点

《1.3 空间几何体的表面积与体积》教学设计 2

1.3.2

球的体积和表面积
新授课

一课时

引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 推导体积和

面积公式中空间想象能力的形成。
(一)知识目标

(1)通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学 思想方法: “分割——求和——化为准确和” ,有利于同学们进一步学习微积分 和近代数学知识。 (2)能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 (3)培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
(二)能力目标 教学 目标

通过球的体积和面积公式的推导, 从而得到一种推导球体积公式V=

4 3

πR3 和面积公式S=4πR2 的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为 球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。
(三)情感目标

通过学习, 使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解, 提高 了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。
教学 方法

学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值、
学法 渗透

再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

教学 工具

投影仪

教学过程设计 教学步骤 教师活动 提出问题:球既没有底面, 球的半径有关,如何 创设情景, 揭示课题 也无法像在柱体、 锥体和台 用球半径来表示球的 体那样展开成平面图形, 那 引导学生进行思考。 体积和面积?激发学 么怎样来求球的表面积与 生推导球的体积和面 体积呢? 积公式。 1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球, 当距离很小 之时得到很多“小圆片” , “小圆片”的体积的体 积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于 圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所 以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积, 因此 求球的体积可以按 “分割——求和——化为准确 和”的方法来进行。 步骤: 第一步:分割 研探新知 如图:把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分,过这些等分点,用一组平行于底面的平面 把半球切割成 n 个“小圆片” , “小 R 圆片”厚度近似为 ,底面是“小 n 圆片”的底面。 如图: 得 Vi ? ? ? r 2i ?
R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]   (i ? 1、2 ??n) n n n
1 (1 ? 1 n )(2 ? n ) ] 6

学生活动

设计意图 设疑:球的大小是与

练习: 一种空心 钢球的质量是 142g, 外 径 是 5cm, 求 它 的内 径 (钢 的 密度 是 7.9g/cm3)

第二步:求和
V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ?

第三步:化为准确的和

当 n→∞时, 所以

1 n

→0 (同学们讨论得出)
1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3

V半球=?R 3 (1 ?
4 ?R 3 3

得 到 定 理 : 半 径 是 R 的 球 的 体 积
V球 ?

2.球的表面积: 练习:长方体的一个 球的表面积是球的表面大小的度量 ,它也是球 顶点上三条棱长分 半径 R 的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不 别为 3、4、5,是 能像推导圆柱、 圆锥的表面积公式那样推导球的表 它的八个顶点都在 面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近 同一球面上,则这 似和转化为准确和”方法推导。 个 球 的表 面积 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 是 半径为 R 的球的表面积为 (答案 50 元) S=4πR
2



例 1.一种空心钢球的 质疑答辩, 排难解惑, 发展思维 质 量 是 142g, 外 径 是 5cm, 求 它的 内径 .( 钢 的密度是 7.9g/cm2)

错误!未找到引用源。正方形的内切球和外 巩固深化, 接 球 的 体 积 的 比 为 反馈矫正 为 。 ,表面积比

(答案: 3 3 : 1



3 :1)

错误! 未找到引用源。 .在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49πcm2 和 400πcm2,求球的表面积。 (答案:2500πcm2) 分析:可画出球的轴截面,利用 球的截面性质求球的半径

本 节课 主要学习了 球 的体积和球的表面积公 式的推导,以及利用公 归纳整理, 整体认识 式解决相关的球的问 题, 了解了推导中的 “分 割、求近似和,再由近 似和转化为准确和”的 解题方法。

作业布置

P30 练习 1、 3 , B (1)

板书设计

1.3.2
一. 教学目标: 二.教学重点.难点 三. 教学过程

球的体积和表面积

分割、求近似和,再由近似和转化为准确和
V球 ? 4 ?R 3 3

例题 1 例题 2

S=4πR2


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