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港澳台联考数学模拟题(3)


2013 年中华人民共和国普通高等学校联合招收 华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题(3)





满分 150 分,考试用时 120 分钟
考生注意:这份试卷共三个大题,所有考生做一、二题,在第三题(21、22、23)题中任选 两题;理工考生做 24、25 题;文史考生做 26、27 题。 第一部分 选择题(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? {0 ,1, 2 , 3 , 4} ,集合 A ? {0 ,1, 2} ,集合 B ? {2 , 3} ,则 (? A) ? B ? ( U A. ? B. {1, 2 , 3 , 4} C. {0 ,1, 2 , 3 , 4} D. {2 , 3 , 4} ( D.第四象限 ) )

2. 复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则复数 A.第一象限

z1 在复平面内对应的点位于 z2
C.第三象限

B.第二象限

3. 如图所示, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π
俯视图 主视图 左视图





3 2

4. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 3 ,则 f (?2) ? A. 1 B.





1 4

C. ?1

D. ?

11 4

5. 已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则这个等比数 列的公比是 ( D. )A. 4 B. 3 C. 2

1 2

6. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A. (0 , 1) A.若 ?p 则 ?q

2 的零点所在的大致区间是 x B. (1 , 2) C. (2 , e)
B.若 ?q 则 ?p C.若 q 则 p

( D. (3 , 4) ( D.若 ?q 则 p



7. 已知命题“若 p 则 q ”为真,则下列命题中一定为真的是



1

8. 如图, 已知 A(4 , 0) 、B (0 , 4) , 从点 P (2 , 0) 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 A. 2 10 B. 6 C. 3 3 ( D. 2 5 )

π? ? 9 电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数 I ? A sin ? ?t ? ? ( A ? 0 , ? ? 0 )的图像 6? ?
如图所示,则当 t ? A. ?5 安 B. 5 安 C. 5 3 安 D. 10 安 10 若函数 h( x) ? 2x ? A. [?2 , ? ?)

1 时,电流强度是 50





k k ( ? 在 (1 , ? ? ) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是 x 3 B. [2 , ? ?) C. ( ?? , ? 2] D. ( ?? , 2]



11 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ,设甲、 乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x 、 y ,则满足复数 x ? y i 的实部大于虚部的概率是 ( )A.

1 6

B.

5 12

C.

7 12

D.

1 3

12.在 xOy 平面上,横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点.对任意 n ? N? ,连接原点 O 与 点 Pn (n , n ? 4) ,用 g (n) 表示线段 OPn 上除端点外的整点个数,则 g (2008) ? A. 1 B. 2 C. 3 ( )

D. 4

二,填空题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 13. 在 ?ABC 中, a 、 b 分别为角 A 、 B 的对边,若 B ? 60? , C ? 75? , a ? 8 ,则边 b 的 长等于 .

14. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试, 由于其中两所学校 的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 . (用数字作答)
2

1 1 1 ? 2 ? 2 ,由此类 2 h a b 比:三棱锥 S ? ABC 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设
15. 在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则 棱锥底面 ABC 上的高为 h ,则 .

16. 已知定义在区间 [0 , 1] 上的函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 的任 意 x1 、 x 2 ,给出下列结论: ①

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ;

② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ③

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2

?x ?x ? f ? 1 2 ?. ? 2 ?
. (把所有正确结论的序号都填上) ,它与方程 ? ?

其中正确结论的序号是

17. 在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? 的圆心的极坐标是 表示的图形的交点的极坐标是 .

π ( ? ? 0 )所 4

18. 已知点 P 是边长为 2 3 的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为 x 、 y 、 z ,则 x 、

y 、 z 所满足的关系式为

, x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值是



19. 图(1)(2)(3)(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉 、 、 、 祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” ,则

f (5) ?

;f (n) ? f (n ? 1) ?

. 答案用数字或 n 的解析式表示) (

20.通过点(2,-1,3)做平面 x-2y-2z+11=0 的垂线,则平面上的垂足为



三、解答题:在第三题(21、22、23)题中任选两题;理工考生做 24、25 题;文史考生做 26、27 题。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 21. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b .
3

?

?

? ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?

22.(本小题满分 14 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落. 小球在 下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色 障碍物时,向左、右两边下落的概率都是

1 . 2 (Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A) ;
(Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为落入 A 袋中的小球个数,试求 ? ? 3 的

概率和 ? 的数学期望 E? .

23.(本小题满分 14 分) 如图所示的几何体 ABCDE 中, DA ? 平面 EAB , CB ∥ DA , EA ? DA ? AB ? 2CB ,

EA ? AB , M 是 EC 的中点.
(Ⅰ)求证: DM ? EB ;

4

(Ⅱ)求二面角 M ? BD ? A 的余弦值.
D

C

M A B

E

24. (本小题满分 15 分,文史类考生不做) 在平面直角坐标系中,已知点 A(2 , 0) 、 B(?2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、

3 PB 的斜率之积为 ? .求动点 P 的轨迹 C 的方程; 4

25. (本小题满分 15 分,文史类考生不做) 已知 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 7 ,直线 l 与函数 f ( x) 、 g ( x) 的图像都 x ? mx ? ( m ? 0 ) 2 2

相切,且与函数 f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1. (1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x) 是 g ( x) 的导函数) ,求函数 h( x) 的最大值;

26. (本小题满分 15 分,理工类考生不做) 在平面直角坐标系中,已知点 A(2 , 0) 、 B(?2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、

3 PB 的斜率之积为 ? .求动点 P 的轨迹 C 的方程; 4

5

27. (本小题满分 15 分,理工类考生不做) 已知 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 7 ,直线 l 与函数 f ( x) 、 g ( x) 的图像都 x ? mx ? ( m ? 0 ) 2 2

相切,且与函数 f ( x) 的图像的切点的横坐标为 1. (1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) (其中 g ?( x) 是 g ( x) 的导函数) ,求函数 h( x) 的最大值; .

数学(理科)参考答案 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,

有且只有一项是符合要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6

答案 二、 三、

D

B

A

C

B

B

C

A

B

A

B

C

填空题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 13. 4 6 14. 16 15.

1 1 1 1 ? 2? 2? 2 2 h a b c
19. 41 , 4( n ? 1)

16.②③

π? ? 17. (1 , 0) , ? 2 , ? 4? ?

18. x ? y ? z ? 3 , 3

20.(1,1,5) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.解: (Ⅰ)因为 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,所以

?

?

f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x
π? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ?
因此,当 2 x ?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ; 4 2 8 8 3 (Ⅱ)由 f (? ) ? 1 ? sin 2? ? cos 2? 及 f (? ) ? 得 sin 2? ? cos2? ? ,两边平方得 5 5 9 16 1 ? sin 4? ? ,即 sin 4? ? . 25 25

16 ?π ? ?π ? 因此, cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?
22.解: (Ⅰ)记“小球落入 A 袋中”为事件 A , “小球落入 B 袋中”为事件 B ,则事件 A 的 对立事件为 B ,而小球落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故

?1? ?1? 1 P( B) ? ? ? ? ? ? ? , ?2? ? 2? 4
从而 P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

3

3

1 3 ? ; 4 4

? 3? (Ⅱ)显然,随机变量 ? ? B ? 4 , ? ,故 ? 4?
? 3 ? 1 27 3 , P(? ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 64
3

3 E? ? 4 ? ? 3 . 4
23.解: 建立如图所示的空间直角坐标系, 并设 EA ? DA ? AB ? 2CB ? 2 ,则

7

???? ? ? ? 3 ? ??? (Ⅰ) DM ? ?1,1, ? ? , EB ? (?2 , 2 , 0) , 2? ?
???? ??? ? ? 所以 DM ? EB ? 0 ,从而得

DM ? EB ; ?? ? (Ⅱ)设 n1 ? ( x , y , z) 是平面 BDM 的
法向量,则由 n1 ? DM , n1 ? DB 及

?? ?

???? ?

?? ?

??? ?

???? ? ? ? 3 ? ??? DM ? ?1,1, ? ? , DB ? (0 , 2 , ? 2) 2? ?


? ? 3 ? ?? ???? ?? ? ?n1 ? DM ? x ? y ? z ? 0 2 ? 可以取 n1 ? (1, 2 , 2) . ? ?? ??? ? ? ?n ? DB ? 2 y ? 2 z ? 0 ? 1
显然, n2 ? (1, 0 , 0) 为平面 ABD 的法向量. 设二面角 M ? BD ? A 的平面角为 ? ,则此二面角的余弦值

?? ?

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n1 ? n2 | 1 ? ? cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? ?? ? . | n1 | ? | n2 | 3
24.(26.)解: (Ⅰ)依题意,有 kPA ? kPB ?

y y 3 ,化简得 ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?2 ) , 4 3
这就是动点 P 的轨迹 C 的方程; 25.(27.)解: (Ⅰ)依题意知:直线 l 是函数 f ( x) ? ln x 在点 (1 , 0) 处的切线,故其斜率

1 k ? f ?(1) ? ? 1, 1
所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 又因为直线 l 与 g ( x) 的图像相切,所以由

? y ? x ?1 1 2 9 ? ? 1 2 7 ? x ? (m ? 1) x ? ? 0 , 2 2 ? y ? 2 x ? mx ? 2 ?
得 ? ? (m ? 1)2 ? 9 ? 0 ? m ? ?2 ( m ? 4 不合题意,舍去) ; (Ⅱ)因为 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ?( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 ( x ? ?1 ) ,所以
8

h?( x) ?

1 ?x . ?1 ? x ?1 x ?1

当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 . 因此, h( x) 在 (?1, 0) 上单调递增,在 (0 , ? ?) 上单调递减. 因此,当 x ? 0 时, h( x) 取得最大值 h(0) ? 2 ; .

9


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