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四川省自贡市2013届高三一诊试题(2013自贡一诊)数学文(word版)


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秘密★启用前[考试时间:2012 年 10 月 25 日下午 3:00?5:00]

自贡市普高 2013 届第一次诊断性考试 数学(文史类)
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题).第一部分 1 至 3 页,第二部 分 4

至 6 页,共 6 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无 效. 满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后,只交回答题卡,试题卷学生自己保留. 如果事件 A , B 互斥,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

球的表面积公式
S ? 4? R 2

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
4 V ? ? R3 3

第一部分(选择题共 60 分)
注意事项: 1. 选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2. 本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 的值为

(A)

(B)

(C)

(D)

2. 复数 (A) 3. 集合 (A) (C) {2}

的虚部是 (B) (C) , (B) (D) {0} (D),则 =

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4. 己知平面向量 ,满足 “ ”的

,与 的夹角为 6 0 °,则“ m = l ” 是

( A ) 充分不必耍条件 ( C ) 充要条件 5. 已知对数函数

(B ) 必要不充分条件 (D ) 既不充分也不必要条件 是增函数,则函数 的图象大致是

6. 要得到函数_ ( A ) 沿 x 轴向左平移

的图象,可以将函数 个单位 (B ) 沿 x 向右平移 个单位

的图象

( C ) 沿 x 轴向左平移 个单位 (D ) 沿 x 向右平移 个单位 7. 某小区住户共 200 户,为调查小区居民的 7 月份用水量,用分层抽样的方法抽取了 50 户进行调查,得到本月的用水量(单位:m3)的频率分布直方图如图所示,则小 区内用水量 超过 15m3 的住户的户数为

(A)10 (C) 60

(B) 50 (D) 140

8. 运行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值为 (A) 3 (C) 4 (B) -2 (D) 8

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9. 有 3 个课外学习小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小 组的可能性相同,则这两位同学参加同一个学习小组的概率为 (A) (C) (B) (D)

10. 设 l,m,n 为三条不同的直线,a 为一个平面,下列命题中正确的个数是 ①若 ②若 ③若 ④若 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 11. 已知函数 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 12. 已知定义在灭上的函数 ①对于任意的. ②对于任意的 ③函数 (A) (B) (C) (D) . ,都有 ,且 A<B,都有. 满足以下三个条件: ; ; 则函数 的零点个数是 ,则 ,则 ,则 l 与 a 相交 ,则 ,

的图象关于 y 轴对称,则下列结论正确的是

第二部分(非选择题共 9O 分)
注意事项:

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1. 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作 图题可 先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 亳米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 2. 本部分共 10 小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 函数 的定义域为_______.

14. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 体积等于_______. 15. 由下列各式:

归纳出第 n 个式子是_______. 16. 己知函数 是及上的偶函数,对 都有 成立

,且 (1)f(2) = 0;

时,都有

,给出下列命题:

(2) 直线 x= -4 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴; (3) 函数 在 上有四个零点;

(4) f(2012) =f(0). 其中所有正确命题的序号为_______. 三、解答题:共 6 小题,满分 74 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 12 分) 有两个不透明的箱子,每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1, 2, 3, 4. (I )甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球 上标的数字大谁获胜(若数字相同则为平局) ,求甲获胜的概率; ( I I ) 摸球方法与(1 ) 相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数 字 不同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由.

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18. (本小题共 12 分) 在等比{an}数列中,己知 a 1 = 2 , a4 =16. (I )求数列{an}的通项公式; (II)若 a3,A 5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,求数列{bn}的通项公式及前” 项和 SN

19. (本小题共 12 分) 已知函数 (I) 求函数 f(X)的周期和最小值; (II)在锐角Δ ABC 中,若 .



,求Δ ABC 的面积.

20 (本小题共 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 底面是矩形,PA 丄平面 ABCD, AD=2, AB=1 E.F 分别 是线段 AB,BC 的中点. (I)证明:PF 丄 FD (II )在 PA 上找一点 G,使得 EG//平面 PFD.

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21. (本小题共 12 分) 己知函数 的图像过原点, ,

,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像交于不同的两点 A,B (I) y=F(x)在 X = -1 处取得极大值 2 , 求函数 y=F(x)的单谲区间; (II)若使 g(x)=0 的 x 值满足 ,求线段在 x 轴上的射影长的取值 范围

22. (本小题共 14 分) 已知函数 (I) 当 时,求 f(x)在区间 . 上的最值;

(II)讨论函数 f(x)的单调性.

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自贡市高 2013 届第一次诊断考试数学试题 参考答案及评分意见

?

选择题(每小题 5 分 共 60 分) (理科)DBDCB (文科)DBDCB ACABC AD ACBAC AD

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

4 ? ;15.2.5;16. (1) (4). (2) 3 4 1 1 n (文)13. ?1, ? ? ;14. 8+ ? ;15.1+ +?.+ n ﹥ ;16. (1) (4). (2) 2 3 2 ?1 2
(理)13. -672 ;14. 8+ 三、解答题:共 6 个题,共 74 分。 17. 解: (1)用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球 构成的基本事件有: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) ( 4,2 ) ( 4,3 ) ( 4,4 ) 共 有 16 个

------------------------------------------------3 分 设甲获胜的事件为 A ,则事件 A 包括的基本事件为(2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3)共有 6 个, ---------------5 分 P( A) ? ----------6 分 (2)设甲获胜的事件为 B ,乙获胜的事件为 C ,事件 B 所包含的基本事件为(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)共有 4 个, 则 P( B) ? --------------------------------------------8 分

6 3 ? 16 8

即甲获胜的概率为

3 8

4 1 4 3 ? , P(C) ? 1 ? ? , -----------10 分 16 4 16 4
-----------12 分

P( B) ? P(C ) ,∴ 不公平
18.解:(Ⅰ)由 分)

a4 ? q3 ? 8 得 a1

q?2

???文(2 分)理(2

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∴ 分) (Ⅱ) 分) ∴ (文)

an ? 2 ? 2n?1 ? 2n

???文(4 分)理(3

? b3 ? b1 ? 2d ? a3 ? 8 ∴ ? ?b5 ? b1 ? 4d ? a5 ? 32

?b1 ? ?16 ? ? d ? 12

???文(8 分)理(6

bn ? ?16 ? (n ?1)12 ? 12n ? 28

???文 (10 分) (7 分) 理 ????文(12 分)

Sn ?

1 (?16 ? 12n ? 28)n ? 6n 2 ? 22n 2

(理) anbn ? (12n ? 28) ? 2n
3 Sn ? ?1 6 1 2 ? ( ? 42? ?2 ? ?? 2 n ? ? ? ) 8

(n 2

28) 2

2Sn ? ?16 ? 22 ? (?4) ? 23 ? ?? (12n ? 40)2n ? (12n ? 28)2n?1
∴ ∴ (10 分)

Sn ? 2Sn ? ?16 ? 21 ?12(22 ? 23 ? ?? 2n ) ? (12n ? 28)2n?1 ?Sn ? 12(21 ? 22 ??? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n?1
????理

2(1 ? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n ?1 = 12 1? 2
(12 分)

∴ Sn ? (3n ?10)2n?3 ? 80

??理

19. 解:f ( x) ? sin 2x ? 3(1 ? cos 2x) ? 3 = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ? (2 分) (Ⅰ) 时

?
3

)

??

T?

2? ? ? ? ? ? ( 3 分 ) 2 x ? ? ? ? 2 k? 2 3 2

即x??

5 x ? 2 k? 12

k∈Z

?(4 分)

f ( x)min ? ?2
(Ⅱ)

??(5 分)

f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 3
∴ 由

?



2 sin(2 A ?

?
3

)?

0? A??

得 ∴ A?

?
4

1 2

???(6 分) ???(8 分)

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而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ?COSA ? 2 ∴

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

∴ | AB | ? | AC |? 2

?? (10 分)

???(12 分)

20.解: (Ⅰ)证明:连接 AF,则 AF= 2,DF= 2, 又 AD=2,∴DF +AF =AD ,∴DF⊥AF.又 PA⊥平面 ABCD,∴DF⊥PA,又 PA∩AF=A,
2 2 2

? DF ? 平面PAF ? ? ? DF ? PF . PF ? 平面PAF ?

?????4 分 (文科 6 分)

1 (Ⅱ)过点 E 作 EH∥FD 交 AD 于点 H,则 EH∥平面 PFD 且 AH= AD. 4 1 再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 AG= AP,∴平面 EHG∥平面 PFD. 4 1 ∴EG∥平面 PFD.从而满足 AG= AP 的点 G 为所求.???8 分(文科 12 分) 4 (Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系,因为 PA⊥平面 ABCD ,所以 ?PBA 是 PB 与平 面 ABCD 所成的角. 又有已知得 ?PBA ? 45? ,∴ PA ? AB ? 1 ,∴

A? 0,0,0? , B ?1,0,0? , F (1,1,0), D(0,2,0), P(0,0,1) . ? ??? ? ? ? n ? PF ? 0 ? 设平面 PFD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 ? ? ???? ?n ? DF ? 0 ?
得?

? ?1 1 ? ?x ? y ? z ? 0 1 ,令 z ? 1 ,解得: x ? y ? .∴ n ? ? , ,1? .??10 分(理科) 2 ?2 2 ? ? x? y ?0 ??? ? ??? ? 又∵ AB ? 平面PAD ,∴ AB 是平面 PAD 的法向量, 易得 AB ? ?1,0,0 ? ,



??? ? ? ??? ? ? AB ? n cos AB, n ? ??? ? ? ? AB ? n

1 6 2 . ? 6 1 1 ? ?1 4 4
6 . 6
?????12 分(理科)

由图知,所求二面角 A ? PD ? F 的余弦值为 21. 解: f ( x) ? ax ? 2bx ? c
2

g ( x) ? 2ax ? 2b 0

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0

c?2 b ?

a

(Ⅰ) 由

F( 0 ? d ? )

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f (1) ? a ? 2b ? c ? 0 f (?1) ? a ? 2b ? c ? 0
1 F (?1) ? ? a ? b ? c ? 2 3

? a?3 ? ∴ ?b ? d ? 0 ? c ? ?3 ?



F ( x) ? x3 ? 3x ???(3 分)

F ?( x) ? f ( x) ? 3x2 ? 3

x ? (?1,1)

F ?( x) ? 0 F ( x) 单增 F ?( x) ? 0
F ( x) 单减

???(4 分) ???(5 分)

x ? (??, ?1) 和 x ? (1, ??)
(Ⅱ) 由

? y ? ax2 ? 2bx ? c ? ? y ? 2ax ? 2b
ax2 ? (2a ? 2b) x ? 2b ? c ? 0
(a ? 0 )

消y 得

2a ? 2b b ? ? 2 ? 2? ? x1 ? x2 ? ? a a ? ? x ? x ? 2b ? c ? 4 b ? 1 ? 1 2 a a ?
∴ AB 在 x 轴上射影长 l ? ∴

??(7 分)

( x1 ? x2 ) 2

而 ∴

b b l 2 ? (2 ? 2 ) 2 ? 4(4 ) ? 1 a a b b b ? 4( ) 2 ? 8( ) ? 8 ? 4( ? 1) 2 ? 4 a a a b 1 1 g ( x) ? 0 x ? ? [ ? , ] a 2 2 b 1 ?? 时 lmax ? 13 ??(10 分) a 2 b 1 ? 时 lm i ? 5 ??(11 分) n a 2


??(9 分)

5 ? l ? 13

??(12 分)

22.(理科)

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(文科)22. 解: (Ⅰ)当 a ? ?

1 1 x2 ?1, 时, f ( x) ? ? ln x ? 2 2 4

∴ f ?( x) ?

?1 x x2 ?1 ? ? . 2x 2 2x

∵ f (x) 的定义域为 (0,??) ,∴由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . -------------3 分 ∴ f (x) 在区间 [ , e ] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, 而 f (1) ?

1 e

1 e

5 1 3 1 1 e2 , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? , 4 e 2 4e 2 4

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∴ f ( x) max ? f (e) ? (Ⅱ) .

1 e2 5 ? , f ( x) min ? f (1) ? . 2 4 4

------------6 分

①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;--------8 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增;
2 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

--------9 分

?a ,? x ? a ?1

?a ?a 或x ? ? (舍去) a ?1 a ?1
-------10 分

∴ f (x) 在 ( 综上,

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; a ?1 a ?1

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f (x) 在 (

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a ?1 a ?1
-------------14 分

当 a ? ?1 时, f (x) 在 (0,??) 单调递减;

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