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48级阶段质量检测(3)


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试卷类型 A

莱芜一中 48 级阶段质量检测(三)
数 学 试 题(文史类) 2010.1.4
命题人:郭兆彬 申玉芹 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项

:1、答第Ⅰ卷前,考生必须将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答 题卡上; 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮檫干净后,在选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效; 3、考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1.若集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? ?1或x ? 4} ,则集合 A ? B 等于 A. ? x | x ? 3或x ? 4? C. ? x | 3 ? x ? 4?
0





B. ?x | ?1 ? x ? 3? D. ? x | ?2 ? x ? ?1? ( )

2.下列各项中,与 sin 2009 最接近的数是

A.

1 2

B.

2 2

C. ?

1 2

D. ?

2 2
( )

3. x ? y ”是“ x ? y ”的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.直线 x ? y ? 1 与圆 x2 ? y2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 A. (0, 2 ? 1) B. ( 2 ? 1, 2 ? 1)





C. ( ? 2 ? 1, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1) ( )

5.如果命题“ p ? q ”为真命题,则 A. p、q 均为真命题 C. p、q 中至少有一个为真命题 B. p、q 均为假命题 D. p、q 中至多有一个为真命题

6.过 ?ABC的重心作一直线分别交 AB 、 AC 于点 D 、 E ,若 AD ? x AB, AE ? y AC , 高三数学试题(文史类)第 1 页

xy ? 0 ,则
A.4

1 1 ? 的值为 x y
B.3 C.2 D.1





7.对于任意 a ? [?1,1] ,函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,那么 x 的取值 范围是 A. (1,3) 8.设向量 p ? ( B. (?? ,1) ? (3,?? ) C. (1, 2 ) D. (3,?? ) ( )

? ?

a , n), q ? (a
n

?

? ? ? , n ?1) ,若 a1 ? 2, p与q共线 ,则数列{ a n }前 n 项和 n?1
( )

s

n



A.2n2+2n

B.n2+n

C. n2 ? n ? 1

D. n2 ? 2n ? 1


x 9.已知 a 是函数 f ( x ) ? 2 ? log 1 x 的零点,若 0 ? x0 ? a ,则 f ( x0 ) 的值满足 ( 2

A. f ( x0 ) ? 0 C. f ( x0 ) ? 0

B. f ( x0 ) ? 0

10.已知 A(a,0), B(0, a)( a ? 0), AP ? t AB(0 ? t ?1), O 为坐标原点,则 OP 的最大值为 ( A. )

??? ?

D. f ( x0 ) 的符号不确定

??? ?

??? ?

3 a 2

B.

2 a 2

C.

1 a 2

D. a

|log3x | 11.函数 y ? 3 图象大致是:





12.函数 f ( x) ? x 3 ? x, x ? R ,当 0 ? ? ? 实数 m 的取值范围是 A. ?0,1? B. ?? ?,0?

?
2

时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则 ( )

C. ? ? ?, ?

? ?

1? 2?

D. ?? ?,1?

高三数学试题(文史类)第 2 页

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的横线上. 13.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

。。。 。。。
第1个 第2个 第3个

则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 14 . 已 知 三 个 函 数 y ? 2 x , y ? x 2 , y ?

.

8 的图象都过点 A ,且点 A 在直线 x
2

x y ? ? 1 ( ? 0 ,? m n m 2n

上,则 0)

log m ? log n 的最小值
2

. .

15.函数 f ( x) ? ax2 ? ax ? 1在 R 上恒满足 f ( x) ? 0 ,则 a 的取值范围是 16.已知实数 x,y 满足 ?

?0 ? y ? 2 ,则 3x ? y 的最大值是 ? y ?| x ? 1|

.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ?1 ? cos 2x,1? , b ? (1, a ? 3sin 2x) ,函数 f ( x) ? a ? b 在 R 上的最大值为 2 . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间. 18. (本小题满分 12 分) 已知 0 ? k ? 4, 直线

?

?

l

1

: kx ? 2 y ? 2 k ? 8 ? 0和直线 l 2 : 2 x ? k 2 y ? 4k 2 ? 4 ? 0 与两坐标轴

围成一个四边形, k 为何值时四边形的面积最小并求出最小值. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a 已知函数 y ? g ?(x ) 的图象经 (a ? 0) .设函数 g ( x) ? f ( x) ? 6 x , x

过点 ? ,0 ? ,求函数 y ? g (x) 的极值.

?1 ? ?2 ?

高三数学试题(文史类)第 3 页

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 M 过两点 C (1,?1), D(?1,1) ,且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (Ⅰ)求圆 M 的方程; (Ⅱ)设 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA 、 PB 是圆 M 的两条切线, A 、B 为切点, 求四边形 PAMB 面积的最小值. 21. (本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 已知椭圆 C : 3

3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2
22. (本小题满分 14 分)
n 在数列 ?an ?中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? 2 ? 1 (n ? N? ) .
n (Ⅰ)求证:数列 {an ? 2 } 为等差数列;

(Ⅱ)设数列 ?bn ?满足 bn ? log2 (an ? 1 ? n) ,若

(1 ?

1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? )??(1 ? ) ? k n ? 1 对一切 n ? N? 且 n ? 2 恒成立,求实数 k 的 b2 b3 b4 bn

取值范围.

高三数学试题(文史类)第 4 页

莱芜一中 48 级阶段质量检测(三)
数 学 试 题(文史类)答题卡
三 题号 二 17 得分 二、 三、 17、(本小题满分 12 分) 得分 评卷人 13、________________ ; 15、________________ ; 14、________________; 16、________________. 18 19 20 21 22 总分

2010.1.4

数学答题卡(文史类)第 1 页

18、(本小题满分 12 分) 得分 评卷人

数学答题卡(文史类)第 2 页

19、(本小题满分 12 分) 得分 评卷人

数学答题卡(文史类)第 3 页

20、(本小题满分 12 分) 得分 评卷人

数学答题卡(文史类)第 4 页

21、(本小题满分 12 分) 得分 评卷人

数学答题卡(文史类)第 5 页

22、(本小题满分 14 分) 得分 评卷人

数学答题卡(文史类)第 6 页

莱芜一中 48 级阶段质量检测(三)
数 学 试 题(文史类)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

2010.1.4

DCBAC

BBBCD

AD

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.4n+2 14. 4 15. ?4 ? a ? 0 16.7 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? a ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? a ?1

因为函数 f ( x ) 在 R 上的最大值为 2 ,所以 3 ? a ? 2 ,即 a ? ?1 ????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

? k? ?

?

6 3

) ? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

所以, y ? f ( x) 的单调增区间为 [k? ? 18.(本小题满分 12 分) 解: 直线 点是 A( 直线

?

, k? ? ], k ? Z ??????????12 3 6

?

l

1

的方程可以化为 k ( x ? 2) ? 2 y ? 8 ? 0, 该直线系过定点 M (2, 4), 与两坐标轴的交

2k ? 8 ,0), B(0, 4 ? k ) ;???????????????????????4 分 k

l

2

的方程可以化为

) (2x ? 4) ? k 2 ( y ? 4) ? 0 , 该 直 线 系 过 定 点 M ( 2 , 4与 ,两 坐 标 轴 的 交 点 是

4 2 C ( 2k ? 2 , 0D , ? ( 2 , 4 ) 0 。???????????????????????8 分 ) k
可以知道这个四边形是 OBMC , 连接 OM , 则四边形 OBMC 的面积是 ?OBM , ?OCM 的 面 积 之 和 , 故 四 边 形 的 面 积 是 O B M C 1 1 1 ? (4 ? k ) ? 2 ? ? k 2 +2) 4=4k 2 ? k ? 8,? 0 ? k ? 4, k ? 时四边形的面积最小。 (2 ? ? 2 2 8

?????????????????????????????????????12 分 19.(本小题满分 12 分) 解:显然 g ( x) ? ln x ?

a ? 6 x(a ? 0) 的定义域为 {x | x ? 0} ??????????3 分 x

g ?( x) ?

? 6x 2 ? x ? a x2

又 因 为 函 数 y ? g ?(x ) 的 图 象 经 过 点 ? ,0 ? , 代 入 g ?( x ) ?

?1 ? ?2 ?

? 6x 2 ? x ? a 求得: x2

a ? ?1?????????????????????????????????6 分
则 g ?( x) ?

? 6 x 2 ? x ? a ? (2 x ? 1)(3x ? 1) ? ????????????????8 分 x2 x2

由此可知:当 x ? (0, ) 时,有 g ?( x) ? 0 ,此时 y ? g (x) 为单调增函数; 当 x ? ( ,??) 时,有 g ?( x) ? 0 ,此时 y ? g (x) 为单调减函数;???10 分 所以函数 y ? g (x) 在区间 (0,?? ) 上只有极大值, 即 g ( x) 极大值 ? g( ) ? ? ln 2 ? 5 .?????????????????????12 分 20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设圆 M 的方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ???????????1 分

1 2

1 2

1 2

?(1 ? a) 2 ? (?1 ? b) 2 ? r 2 ? 根题意得: ?(?1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ????????????????????4 分 ?a ? b ? 2 ? 0 ?
解得; a ? b ? 1, r ? 2 故所求圆 M 的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ????????????????6 分 (Ⅱ)因为四边形 PAMB 面积 S ? S ?PAM ? S ?PBM ? 又 AM ? BM ? 2, PA ? PB 所以 S ? 2 PA ,而 PA ? 即 S ? 2 PM
2

1 1 AM PA ? BM PB ???8 分 2 2

PM

2

? AM

2

?

PM

2

?4

?4

?????????????????10 分

因此要求 S 的最小值,只需求 PM 的最小值即可 即在直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上找一点 P ,使得 PM 的值最小 所以 PM min ?

3 ?1 ? 4 ?1 ? 8 32 ? 4 2

?3
2

所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S ? 2 PM

? 4 ? 2 3 2 ? 4 ? 2 5 ???12 分

21. (本小题满分 12 分) 解 : 设

A( x1, y ), B( x 2, y )
1 2

。 (

1 ) 当 直 线

AB ? x

轴 时 ,

AB ? 3 。??????????????????????????????1 分
(2) 当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m , 由已知得坐标原点 O 到 直线 l 的距离 d ?

m 1? k
2

?

3 3 ,解之得 m2 ? (k 2 ? 1) 。???????????4 分 2 4
人 椭 圆 方 程 , 整 理 得



y ? kx ? m



(3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 3 ? 0,? x1 ? x 2 ?

?6km 3(m 2 ? 1) , x1 x 2 ? 。 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

????????????????????????????????????6 分

36k 2m2 12(m2 ?1) ? AB ? (1 ? k )( x1 ? x 2) ? (1 ? k )[ 2 ? ]? (3k ? 1)2 3k 2 ? 1
2 2 2 2

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 12k 2 ? ? 3? 4 . ????????8 分 (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2 9k ? 6k 2 ? 1

当时 k ? 0 ,上式 ? 3 ?

12 12 12 ? 3? ? 3? ? 4. 当且仅当 1 2?3 ? 6 2 1 2 9k ? 2 ? 6 2 ? 9k ? 2 ? 6 k k

9k 2 ?

3 1 ,即 k ? ? 时等号成立。????????????????????10 分 2 3 k

当时 k ? 0 , AB ? 3 ,综上所述,

AB

? 2 。当 AB 最大时, ?AOB 的面积取得
max

最大值 S ?

1 ? 2

AB

?
max

3 3 ? . ????????????????????12 分 2 2

22.(本小题满分 14 分)
n n ?1 n n ?1 解:(Ⅰ)由 a n ?1 ? a n ? 2 ? 1 变形得: ( an ?1 ? 2 ) ? ( an ? 2 ? 2 ) ? 1

即 (an?1 ? 2n?1 ) ? ?an ? 2n (2 ?1)? ?1 ? ?
n ?1 n 所以 (a n ?1 ? 2 ) ? (a n ? 2 ) ? 1 ?????????????????????4 分

n 故数列 a n ? 2 是以 a1 ? 2 ? 0 为首项, 1 为公差的等差数列?????????5 分

?

?

n (Ⅱ)由(Ⅰ)得 a n ? 2 ? n ? 1 ???????????????????????6 分

所以 bn ? log2 (an ? 1 ? n) ? n ???????????????????????7 分 设 f (n) ? ?1 ? ?

? ?

? 1 ?? 1 ?? 1? 1? 1 ??1 ? ??1 ? ????1 ? ? ? ??????????8 分 ?? b ?? b ? ? b ? b2 ?? n ?1 3 ?? 4 ? n ? ? ? 1 ?? 1 ?? 1? 1 ?? 1 ? 1 ??1 ? ??1 ? ????1 ? ??1 ? ?? b ?? b ? ? b ?? b ? ? n ? 2 ????10 分 ? b2 ?? 3 ?? 4 ? n ?? n ?1 ? ?

则 f (n ? 1) ? ?1 ? ?

? ?

两式相除得:

f (n ? 1) ? 1 ? n ?1 n ? 2 n ?1 n?2 ? ?1 ? ? b ? ? n ? 2 ? n ? 1 ? n ? 2 ? n ? 1 ? 1 ??12 分 ? f (n) n ?1 ? ?
3 1 3 ? ? ????13 分 2 2 3

所以 f ? n ? 是关于 n 的单调递增函数,则 f ( n) min ? f ( 2) ?

故实数 k 的取值范围是 ? ? ?,

? ? ?

3? ? ?????????????????????14 分 2 ? ?


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