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省徐州一中高一(上)期中数学试卷


2011-2012 学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学试卷

2011-2012 学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学 试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(CUM)∩ (5 N= _________ 2. 分)已知函数 f(x

)的图象经过点(0,2) (5 ,则函数 f(x+1)的图象必经过点 _________ . 3. 分)设集合 A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a},若 A?B,则 a 的范围是 _________ . (5 4. 分)函数 f(x)=a (5
x﹣2 2



+2(a>0 且 a≠1)必过定点 _________ .

5. 分)已知 f(x)=x ﹣2mx+6 在(﹣∞,﹣1]为减函数,则 m 的范围为 _________ . (5 6. 分)若 (5 ,则 a,b,c 的大小顺序为 _________ (用 a,b,c 表示) . 成立的

7. 分)方程|log2x|+x﹣2=0 解的个数为 _________ (5

8. 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 (5 x 的取值范围是 _________ 9. 分)函数 y=0.2 (5
|x﹣1

. .

|的单调减区间为 _________
2

10. 分)若二次函数 f(x)=2x +4x+5 满足 f(x1)=f(x2) 1≠x2,则 f(x1+x2)等于 _________ . (5 ,x 11. 分)函数 (5 的值域为 _________ .

12. 分)若函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上恒有|y|>1,则 a∈ _________ . (5 13. 分)下列判断正确的是 _________ (把正确的序号都填上) (5 . ① 函数 y=|x﹣1|与 y= ② 函数 y= ③ 函数 ④ 函数 y=﹣e 与 y=e
x
﹣x

是同一函数;

在(1,+∞)内单调递增; 是奇函数; 的图象关于坐标原点对称.
2

14. 分)已知函数 f(x)=loga(ax ﹣x+ ) (5 (a>0 且 a≠1)在[1,3]上恒正,则实数 a 的取值范围为 _________ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分(14+14+14+16+16+16) ,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。 2 15. (14 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0}. (1)如果集合 B={x|mx+1=0},并且 B?A,求 m 的值; 2 (2)如果集合 B={x|x ﹣2x+m=0},并且 B∪ A=A,试确定 m 的范围. 16. (14 分)计算:

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www.jyeoo.com (1) (2) . ;

17. (14 分)函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x∈(0,1)时, (1)求函数 f(x)在(﹣1,1)上的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性并证明.



18. (16 分)某批发公司批发某商品,每件商品进价 80 元,批发价 120 元,该批发商为鼓励经销商批发,决定当一次 批发量超过 100 个时,每多批发一个,批发的全部商品的单价就降低 0.04 元,但最低批发价不能低于 102 元.求下列 问题: (1)当一次订购量为多少个时,每件商品的实际批发价为 102 元? (2)当一次订购量为 x 个,每件商品的实际批发价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)根据市场调查发现,经销商一次最大定购量为 500 个,则当经销商一次批发多少个零件时,该批发公司可获得最 大利润. 19. (16 分)设函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且 (1)求 f(1) ; (2)求证 f(xy)=f(x)+f(y) ; (3)若 f(2)=1,解不等式 . .

20. (16 分)已知 (1)求函数 f(x)的最大值 g(m)的解析式; (2)若 g(m)≥t+m+2 对任意 m∈[﹣4,0]恒成立,求实数 t 的取值范围.



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参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(CUM)∩ (5 N= 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题. 利用全集求出 M 的补集,然后求出与 N 的交集. 解:全集 U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则 CUM={3,4}, 所以(CUM)∩ N={3}. 故答案为:{3}. 点评: 本题考查交、并、补集的混合运算,考查题型,基础题.
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{3} .

2. 分)已知函数 f(x)的图象经过点(0,2) (5 ,则函数 f(x+1)的图象必经过点 (﹣1,2) . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的图象与图象变化. 计算题. 令 x+1=0,可得 x=﹣1,故由 f(x)的图象经过点(0,2) ,可得函数 f(x+1)的图象必经过点(﹣1,2) . 解:令 x+1=0,可得 x=﹣1, 由函数 f(x)的图象经过点(0,2) ,可得函数 f(x+1)的图象必经过点(﹣1,2) .
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www.jyeoo.com 故答案为 (﹣1,2) . 点评: 本题主要考查函数图象过定点问题,注意整体代换,属于基础题. 3. 分)设集合 A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a},若 A?B,则 a 的范围是 a≤1 . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 集合关系中的参数取值问题. 计算题. 根据题意,A?B,在数轴上表示集合 A,分析 a 的值,可得答案. 解:根据题意,A?B, 而 A={x|1≤x≤2},在数轴上表示可得, 必有 a≤1, 故答案为:a≤1
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点评: 本题考查集合间的包含关系的运用,难点在于端点的分析,有时需要借助数轴来分析. 4. 分)函数 f(x)=a (5 考点: 专题: 分析: 解答:
x﹣2

+2(a>0 且 a≠1)必过定点 (2,3) .
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指数函数的单调性与特殊点. 计算题. 利用指数函数通过的特殊点,求出函数的特殊点即可. x x﹣2 解:因为指数函数 f(x)=a 经过的定点是(0,1) ,所以函数 f(x)=a +2 结果的定点是(2,3) . 故答案为: (2,3) . 点评: 本题考查指数函数的基本性质,指数函数经过的定点,考查计算能力. 5. 分)已知 f(x)=x ﹣2mx+6 在(﹣∞,﹣1]为减函数,则 m 的范围为 m≥﹣1 . (5 考点: 专题: 分析: 解答: 二次函数的性质. 计算题. 先根据二次函数的性质求出函数的单调减区间,使(﹣∞,﹣1]是其单调减区间的子集,建立不等关系,可求. 2 解:函数 f(x)=x ﹣2mx+6 是开口向上的二次函数 ∴ 函数 f(x)在 (﹣∞,m]上单调递减函数 而当 x∈(﹣∞,﹣1]时,函数为减函数 ∴ m≥﹣1 故答案为:m≥﹣1 点评: 本题主要考查了函数单调性的应用,以及二次函数的性质的运用,属于基础题.
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6. 分)若 (5

,则 a,b,c 的大小顺序为 a>b>c (用 a,b,c 表示)

考点: 对数值大小的比较;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由 a=30.3>30=1,0=log 1<b=log 2<log 3=1,c= 3 3 3 解答: 解:∵ 0.3>30=1, a=3 0=log31<b=log32<log33=1, c= ,

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,能够比较 a,b,c 的大小.

∴ a>b>c, 故答案为:a>b>c. 点评: 本题考查对数值大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 7. 分)方程|log2x|+x﹣2=0 解的个数为 2 . (5 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题.
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www.jyeoo.com 分析: 通过方程构造函数的表达式,通过函数的图象,判断方程解的个数. 解答: 解:方程|log2x|+x﹣2=0 解的个数,计算函数 y=|log2x|与 y=2﹣x 解得的个数, 如图: 两个函数的图象有两个交点,所以方程|log2x|+x﹣2=0 解的个数为 2. 故答案为:2.

点评: 本题考查函数的零点与方程的根的关系,考查作图能力,转化思想的应用. 8. 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使得 (5 x 的取值范围是 {x|x<﹣2 或 0<x<2} . 考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数可得 f(﹣x)=f(x) ,从而由 f(2)=0 可得 f(﹣2)=0,再由 f(x)在(﹣
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成立的

∞,0]上是减函数,可解



解答: 解:∵ 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ f(﹣x)=f(x) , ∴ f(﹣2)=f(2)=0, 又 f(x)在(﹣∞,0]上是减函数, ∴ x<﹣2 时,f(x)>0; 当 由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于 y 轴对称可知, 当 x>2 时,f(x)<0; ∴ 使得 成立的 x 的取值范围是:x<﹣2 或 0<x<2.

故答案为:{x|x<﹣2 或 0<x<2}. 点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性,关键是对“偶函数 f(x)在(﹣∞,0]上是减函数,且 f(2)=0”的正确理解 与转化,可以采用图象法解决,属于中档题. 9. 分)函数 y=0.2 (5
|x﹣1

|的单调减区间为 (1,+∞) .
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考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 计算题. 分析: 令 t=|x﹣1|,则函数 t 在(1,+∞)上是增函数,在(﹣∞,1)上是减函数.再由复合函数的单调性规律可得 t |x﹣1 函数 y=2 =0.2 在(1,+∞)上是减函数,在(﹣∞,1)上是增函数.由此得出结论. 解答: 解:令 t=|x﹣1|,则函数 t 在(1,+∞)上是增函数,在(﹣∞,1)上是减函数. t |x﹣1 再由复合函数的单调性规律可得函数 y=2 =0.2 在(1,+∞)上是减函数,在(﹣∞,1)上是增函数. |x﹣1 故函数 y=0.2 |的单调减区间为(1,+∞) . 故答案为 (1,+∞) . 点评: 本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用,属于中档题. 10. 分)若二次函数 f(x)=2x +4x+5 满足 f(x1)=f(x2) 1≠x2,则 f(x1+x2)等于 5 . (5 ,x
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www.jyeoo.com 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出函数的对称轴,然后根据对称轴可求出 x1+x2 的值,代入函数即可求出所求. 解答: 解:二次函数 f(x)=2x2+4x+5 的对称轴为 x=﹣1 若 f(x1)=f(x2) ,
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则对称轴为直线 x=

=﹣1 则 x1+x2=﹣2
2

∴ 1+x2)=f(﹣2)=2×(﹣2) +4×(﹣2)+5=5 f(x 故答案为:5 点评: 本题主要考查了函数值的求法,解题时要注意函数性质的合理运用,注意计算能力的培养,属于基础题. 11. 分)函数 (5 的值域为 (0,16] .

考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域;指数型复合函数的性质及应用. 专题: 计算题. 分析: 2 令 t=x ﹣6x+5≥﹣4,由此可得函数 y= 的值域,从而得出结论. 解答: 解:令 t=x2﹣6x+5=(t﹣3)2﹣4,∴ t≥﹣4. 故函数 y= 故函数 ,∴ 0<y≤ =16,

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的值域为 (0,16],

故答案为 (0,16]. 点评: 本题主要考查指数型复合函数的性质以及应用,求二次函数的值域,属于基础题. 12. 分)若函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上恒有|y|>1,则 a∈ (5 .

考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 计算题. 分析: 当 a>1 时,函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上是增函数,故有 y≥loga3,由题意可得 loga3>1,由此求出 a 的范围.
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同理,当 1>a>0 时,函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上是减函数,y≤loga3<0,由 loga >1,求得 a 的范围. 解答: 解:当 a>1 时,函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上是增函数,故有 y≥loga3, 再由函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上恒有|y|>1,故 loga3>1. 解得 1<a<3. 当 1>a>0 时,函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上是减函数,y≤loga3<0, ∴ |y|≥|loga3|=loga ,再由函数 y=logax 在 x∈[3,+∞)上恒有|y|>1, 可得 loga >1,解得 综上可得,a 的范围是 故答案为 . <a<1. ,

点评: 本题主要考查对数函数的值域,函数的恒成立问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 13. 分)下列判断正确的是 ②④ (把正确的序号都填上) (5 ③ . ① 函数 y=|x﹣1|与 y= ② 函数 y= ③ 函数 是同一函数;

在(1,+∞)内单调递增; 是奇函数;
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www.jyeoo.com ﹣x x ④ 函数 y=﹣e 与 y=e 的图象关于坐标原点对称. 考点: 函数的图象;判断两个函数是否为同一函数;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题. 分析: 对于① ,函数 y=|x﹣1|与 y= 不是同一函数,因为 x=1 时,y= 无定义;
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② y=

=1﹣

在(1,+∞)内单调递增;

③ f(﹣x)+f(x)=0 可判断③ 由 正确; ﹣x x ④ 函数 y=﹣e 与 y=e 的图象关于坐标原点对称,正确. 解答: 解:对于① 因为 x=1 时,y= ∴ 函数 y=|x﹣1|与 y= 对于② ,y= =1﹣ 无定义, 不是同一函数,即可排除 A; 在(1,+∞)内单调递增,故② 正确; + 是奇函数,即③ 正确;
﹣x

对于③ f(﹣x)+f(x)= ,∵ ∴ f(﹣x)=﹣f(x) ,x∈R, ∴ 函数
x

=log21=0,

对于④ ,令 g(x)=﹣e ,h(x)=e , ﹣x ﹣x ∵ g(﹣x)=﹣e =﹣e =﹣h(x) , ﹣x x ∴ 函数 y=﹣e 与 y=e 的图象关于坐标原点对称,正确. 综上所述,②④ ③正确. 故答案为:②④ ③. 点评: 本题考查函数的图象,考查函数奇偶性的判断与单调性的分析,考查函数的对称性,考查综合运用函数的性质 解决问题的能力,属于中档题. 14. 分) (5 已知函数 f (x) =loga (ax ﹣x+ ) (a>0 且 a≠1) 在[1, 3]上恒正, 则实数 a 的取值范围为
2



考点: 函数恒成立问题;复合函数的单调性;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 讨论 a 与 1 的大小,将函数 f(x)=log (ax2﹣x+ ) (a>0 且 a≠1)在[1,3]上恒正转化成当 0<a<1 时,0< a
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ax ﹣x+ <1 在[1,3]上恒成立,当 a>1 时,ax ﹣x+ >1 在[1,3]上恒成立,然后利用分离法可求出 a 的取 值范围. 解答: 解:当 0<a<1 时,函数 f(x)=log (ax2﹣x+ ) (a>0 且 a≠1)在[1,3]上恒正 a 即 0<ax ﹣x+ <1 在[1,3]上恒成立, ∴ ﹣ 而(﹣ ∴ <a< + <a< + + )min=[ ]min=
2

2

2

+ )max= , ( 不可能,故舍去

当 a>1 时,函数 f(x)=loga(ax ﹣x+ ) (a>0 且 a≠1)在[1,3]上恒正 则 ax ﹣x+ >1 在[1,3]上恒成立,
2

2

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www.jyeoo.com 即 a>( + )max=[ ]max=

故实数 a 的取值范围为 故答案为: 点评: 本题主要考查了函数恒成立问题,同时考查了分类讨论、转化的思想和运算求解的能力,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分(14+14+14+16+16+16) ,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。 2 15. (14 分)已知集合 A={x|x ﹣3x+2=0}. (1)如果集合 B={x|mx+1=0},并且 B?A,求 m 的值; 2 (2)如果集合 B={x|x ﹣2x+m=0},并且 B∪ A=A,试确定 m 的范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 先求出集合 A={1,2} (1)根据 B?A 可知 B=?或{1}或{2}即方程 mx+1=0 分别无实数解,有实数解 1,有实数解 2 然后代入即可求 解. (2)根据 B∪ A=A 可得 B?A 即 B=?或{1}或{2}或{1,2}然后利用根与系数的关系即可求解. 2 解答: 解: (1)∵ 集合 A={x|x ﹣3x+2=0} ∴ A={1,2} ∵ 集合 B={x|mx+1=0}且 B?A ∴ B=?时即方程 mx+1=0 无实数解故 m=0 当 当 B={1}时即 1 是方程 mx+1=0 的实数解故 m=﹣1
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当 B={2}时即 2 是方程 mx+1=0 的实数解故 m=﹣ ∴ m= (2)∵ 集合 B={x|x ﹣2x+m=0}且 B∪ A=A ∴ B?A 2 ∴ 由(1)可知若 B=?则方程 x ﹣2x+m=0 无实数解∴<0 解得 m>1 △ 若 B={1}则 1 是方程 x ﹣2x+m=0 的实数解∴ 根据根与系数的关系可得 若 B={2}则 2 是方程 x ﹣2x+m=0 的实数解∴ 根据根与系数的关系可得 若 B={1,2}则 1,2 是方程 x ﹣2x+m=0 的实数解∴ 根据根与系数的关系可得
2 2 2 2

解得 m=1 ,无解∴ m∈? ,无解∴ m∈?

综上 m≥1 点评: 本题主要考察了利用集合间的关系求参数值,属常考题型,较难.解题的关键是 B∪ A=A 得出 B?A 从而得出 2 B=?或{1}或{2}或{1,2}即方程 x ﹣2x+m=0 根的情况和个数也就清楚了! 16. (14 分)计算: (1) (2) 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)先把 . ;

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等价转化为 ,然后再进行求解.
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www.jyeoo.com (2)先把 解答: (1)解:原式= = = . (2)原式= = . 点评: 第(1)小题考查指数的运算性质,第(2)小题考查对数的运算性质.解题时要认真审题,注意合理地进行等 价转化. 17. (14 分)函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x∈(0,1)时, (1)求函数 f(x)在(﹣1,1)上的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性并证明. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,可得 f(0)=0;再根据当 x∈(0,1)时的表达式,可得 x∈(﹣1, 0)时,
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等价转化为

,再进行求解.



f(x)=﹣

,综上所述即得函数 f(x)在(﹣1,1)上的解析式;

(2)利用单调性的定义,令 0<x1<x2<1,可得 f(x1)﹣f(x2)= <0, ?

,因为



>0,所以 f(x1)<f(x2) .由此可得,函数 f(x)在(0,1)上的是单调增

函数. 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴ f(﹣0)=﹣f(0) ,可得 f(0)=0, 当 x∈(﹣1,0)时,f(﹣x)= ∴ x∈(﹣1,0)时,f(x)=﹣ = =﹣f(x) ,

综上所述,

(2)∵ x∈(0,1)时, 当



∴ 0<x1<x2<1,可得 f(x1)﹣f(x2)= 令 ∵ ﹣ <0, >0



=

∴ 1)﹣f(x2)<0,可得 f(x1)<f(x2) f(x 由此可得,函数 f(x)在(0,1)上的是单调增函数. 点评: 本题以含有指数式的分式函数为例,考查了函数的单调性与奇偶性等简单性质等知识点,属于中档题.
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www.jyeoo.com 18. (16 分)某批发公司批发某商品,每件商品进价 80 元,批发价 120 元,该批发商为鼓励经销商批发,决定当一次 批发量超过 100 个时,每多批发一个,批发的全部商品的单价就降低 0.04 元,但最低批发价不能低于 102 元.求下列 问题: (1)当一次订购量为多少个时,每件商品的实际批发价为 102 元? (2)当一次订购量为 x 个,每件商品的实际批发价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式; (3)根据市场调查发现,经销商一次最大定购量为 500 个,则当经销商一次批发多少个零件时,该批发公司可获得最 大利润. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: (1)设一次订购量为 100+n(n∈N) ,求出批发价,建立等量关系可求出 n 的值; (2)直接根据题目条件可知该批发价的函数是一分段函数,用分段函数表示出 P=f(x)即可; (3)当经销商一次批发个零件 x 时,该批发公司可获得利润为 y,根据利润=(批发价﹣进价)×个数求出利 润函数,然后根据分段函数的最值的求法求出所求. 解答: 解: (1)设一次订购量为 100+n(n∈N) , 则批发价为 120﹣0.04n,令 120﹣0.04n=102,∴ 120﹣102=0.04n,∴ n=450, 所以当一次订购量为 550 个时,每件商品的实际批发价为 102 元.…(5 分)
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(2)由题意知

…(10 分)

(3)当经销商一次批发 x 个零件时,该批发公司可获得利润为 y,根据题意知: …(12 分) 设 f1(x)=40x,在 x=100 时,取得最大值为 4000; 2 2 2 设 f2(x)=﹣0.04x +44x=﹣0.04(x﹣550) +0.04×550 所以当 x=500 时,f2(x)取最大值 21900. …(15 分) 答:当经销商一次批发 500 个零件时,该批发公司可获得最大利润.…(16 分) 点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及二次函数的性质,同时考查计算能力和建模能力,属于中档题. 19. (16 分)设函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且 (1)求 f(1) ; (2)求证 f(xy)=f(x)+f(y) ; (3)若 f(2)=1,解不等式 . .

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 常规题型;综合题;转化思想. 分析: (1)结合所给的抽象表达式,只需令 x=y≠0 即可获得问题的解答;
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(2)结合抽象表达式用 xy 代替 x,y 不变,即可获得

转化即可获得问

题的解答; (3)首先利用数值的搭配计算 f(4)=2,进而对不等式进行转化,然后结合函数 y=f(x)是定义在(0,+∞) 上的单调函数,且 f(1)=0,f(2)=1,于是 f(2)>f(1) ,进而可分析出函数在(0,+∞)上的单调性,结合变性后的抽象函 数即可获得自变量 x 的要求,进而问题即可获得解答. 解答: 解: (1)令 x=y≠0,可得 f(1)=f(x)﹣f(x)=0, ∴ f(1)=0. (2)由题意得: ∴ f(xy)=f(x)+f(y) . (3)f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2,∴ ∴ f(x(x﹣3) )≤f(4) , 因为:f(1)=0,f(2)=1,于是 f(2)>f(1) , 而函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,
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www.jyeoo.com 故函数 y=f(x)在区间(0,+∞)上单调增函数,

于是原不等式可化为

,∴ 3<x≤4

∴ 原不等式的解集为(3,4]. 点评: 本题考查的是抽象函数及其应用的综合类问题. 在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、 特值的思想、 转化的思想以及计算和解不等式组的能力.值得同学们体会和反思. 20. (16 分)已知 (1)求函数 f(x)的最大值 g(m)的解析式; (2)若 g(m)≥t+m+2 对任意 m∈[﹣4,0]恒成立,求实数 t 的取值范围. 考点: 对数函数的值域与最值;函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1)令 log2x=y∈[1,3],可得 f(x)=(2m+y) (2﹣t)=﹣[y﹣(1﹣m)] +m +2m+1,讨论对称轴 y=1﹣m, 得 函数 f(x)的最大值 g(m)的解析式. (2)根据题意:t≤g(m)﹣m﹣2 对任意的 m∈[﹣4,0]恒成立,① m∈[﹣4,﹣2)时,t≤﹣3m﹣5,可得 t≤1.② 当
2402294



当 m∈[﹣2,0]时,t≤m +m﹣1 恒成立,求得 解答: 解: (1)∵ ,∴ 1≤log2x≤3,

2

,综合可得实数 t 的取值范围.

∵ f(x)=(2m+log2x) (2﹣log2x) ,令 log2x=y∈[1,3], 2 2 ∴ f(x)=(2m+y) (2﹣t)=﹣[y﹣(1﹣m)] +m +2m+1,…(4 分) 讨论对称轴 y=1﹣m,得 .…(10 分)

(2)根据题意:t≤g(m)﹣m﹣2 对任意的 m∈[﹣4,0]恒成立, ① m∈[﹣4,﹣2)时,t≤﹣3m﹣5,由于﹣3m﹣5 关于 m 单调递减,∴ 当 t≤﹣3(﹣2)﹣5=1.…(12 分) 2 ② m∈[﹣2,0]时,t≤m +m﹣1, 当 而 综上, .…(16 分) ,∴ .…(15 分)

点评: 本题主要考查对数函数的值域,二次函数的性质应用以及函数的恒成立问题,属于中档题.

?2010-2013 菁优网

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