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高一立体几何解答题训练


高一立体几何解答题训练
1. (10 分)如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC 求证:AB⊥BC

2 . 在 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 已 知
DA ? DC ? 4, DD1 ? 3 ,求异面直线 A1 B 与 B1C 所

成角的余弦值

。 (10

分)

3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD, P ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (14 分) E (Ⅰ)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小; (Ⅱ)证明 AE ? 平面 PCD ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值.
A B D

C

5.(本小题满分 14 分) 如图:已知四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD, ABCD 是正方形,E 是 PA 的中点, 求证:(1) PC // 平面 EBD (2)平面 PBC⊥平面 PCD

P

E A B

D

C

D1 A1 6.(本小题满分 14 分) 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 3 , B1B=BC=1, (1)求 D D1 与平面 ABD1 所成角的大小; (2)求面 B D1C 与面 A D1D 所成二面角的大小; A O D B B1

C1

C

7.若球 O 的半径为 R,P,A,B,C 为球面上四个不同的点,且 PA,PB,PC 两两垂直,则
PA2 ? PB 2 ? PC 2 是否为定值?并说明理由. 8.如图所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 BC 的中点.

(1)求证: BD1 ∥ 平面 C1 DE ;

(2)试在棱 CC1 上求一点 P ,使得平面 A1 B1 P ? 平面 C1 DE .

9、求过原点且与直线 x=1 及圆(x-1) 2 +(y-2) 2 =1 相切的圆的方程。 (12 分) 10、在△ABC 中,BC 边上的高所在直线方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线

方程为 y=0 若点 B 坐标为(1,2) ,求点 A 和 C 的坐标。 (12 分 11、设圆: (1)截 y 轴所得弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1。则在满足条件(1) 、 (2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最 小的圆的方程。 (12 分

12(16 分)已知圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25, 直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 , (1) 求证:直线 l 恒过定点; (2) 判断直线 l 被圆 C 截得的弦长何时最长, 何时最短?并求截得的弦长最短时, 求m的 值以及最短长度。

13. (14 分) 在三角形 ABC 中, 点 D 分 BC 之比为 1: 2, 点 E 分 BA 分之比为 2: 1, 设 BC ? a ,

BA ? b 。
(1) 设EP ? t EC ,试用 a, b和实数t表示BP; (2)试用 a, b 表示 BP ; (3) 在边 AC 上有 F 点,使得 AC ? 5 AF, ,求证:B,P,F 三点共线。

A E P B C

D

14.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.?(12 分)

2 2 15.已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 和直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P、 Q 两点且 OP⊥OQ

(O 为坐标原点) ,求该圆的圆心坐标及半径 (14 分)
新疆

王新敞
学案

16.平行四边形的两邻边所在直线的方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 及 3x ? y ? 3 ? 0 ,对角线的交点

? 1) ,求另两边所在直线的方程 为 M (0,

17. 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 四 边 长 为 1 的 菱 形 , ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点。
(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

M

Q A B
1、证明:过 A 作 AD⊥PB 于 D,由平面 PAB⊥平面 PBC ,得 AD⊥平面 PBC,故 AD⊥BC, 又 BC⊥PA,故 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AB 2、连接 A1 D , ? A1 D // B1C, ? ?BA1 D 为异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角. 连接 BD ,在△ A1 DB 中, A1 B ? A1 D ? 5, 则 cos ?BA1 D ?

D P C

BD ? 4 2 ,

A1 B 2 ? A1 D 2 ? BD 2 25 ? 25 ? 32 9 ? ? 2 ? A1 B ? A1 D 2?5?5 25

AB ? 平面 ABCD , A ? A B 3、 (Ⅰ) 解: 在四棱锥 P ? ABCD 中, 因 PA ? 底面 ABCD , 故P . 又 AB ? AD , PA ? AD ? A ,从而 AB ? 平面 PAD .故 PB 在平面 PAD 内的射影
为 PA ,从而∠ APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角. 在 Rt△PAB 中, AB ? PA ,故∠APB ? 45 .
?

P M E A

所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 .

?

D

(Ⅱ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, C B 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 CD ? PA . 由条件 CD ? AC , PA ? AC ? A ,? CD ? 面 PAC .又 AE ? 面 PAC ,? AE ? CD .
? 由 PA ? AB ? BC ,∠ABC ? 60 ,可得 AC ? PA .? E 是 PC 的中点,? AE ? PC ,

? PC ? CD ? C .综上得 AE ? 平面 PCD . (Ⅲ)解:过点 E 作 EM ? PD ,垂足为 M ,连结 AM .由(Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 AM ? PD .
? 因此∠AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角.由已知,得∠CAD ? 30 .设 AC ? a ,得

PA ? a , AD ?

2 3 21 2 a , PD ? a , AE ? a. 3 3 2

在 Rt△ ADP 中,? AM ? PD ,? AM ?PD ? PA?AD ,则

2 3 a? a PA?AD 2 7 AE 14 3 AM ? ? a .在 Rt△ AEM 中, sin AME ? . ? PD 7 AM 4 21 a 3
第 5 题解答: 解: (1)连接 AC 交 BD 与 O,连接 EO, ∵E、O 分别为 PA、AC 的中点 ∴EO∥PC ∵PC ? 平面 EBD,EO ? 平面 EBD ∴PC∥平面 EBD 7分 (2)∵PA?平面 ABCD, PA ? 平面 ACD,∴平面 PCD?平面 ABCD, ∵ABCD 为正方形 ∴ BC?CD,∵平面 PCD∩平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD ∴∴BC?平面 PAB 又∵ BC ? 平面 PBC,∴平面 PBC?平面 PCD. 第 6 题解答: 解: (1)连接 A1D 交 AD1 于 O,∵ABCD-A1B1C1D1 为长方体,而 B1B=BC,则四边形 A1ADD1 为正方形,∴A1D?AD1, 又∵AB?面 A1ADD1,A1D ? 面 A1ADD1,∴AB?A1D,∴A1D?面 ABD1, ∴?DD1O 是 D D1 与平面 ABD1 所成角,
0

14 分

5分

∵四边形 A1ADD1 为正方形,∴?DD1O=45 ,则 D D1 与平面 ABD1 所成角为 450.7 分 (2)连接 A1B,∵A1A?面 D1DCC1,D1D、DC ? 面 D1DCC1,∴A1A?D1D、A1A?DC, ∴?DD1C 是面 B D1C 与面 A D1D 所成二面角的平面角, 在直角三角形 D1DC 中,∵DC=AB= 3 ,D1D=B1B =1,∴?DD1C=60 ,
0

12 分

即面 B D1C 与面 A D1D 所成的二面角为 60 . 7 解:首先 PA,PB 确定一个平面,此平面和球的交线是一个圆, 设圆心为 O1 ,此圆不可能是大圆,否则由 CP ? PA , CP ? PB , 便推出 CP ? 平面 PAB , 这时 PC 就变成球 O 的切线, 与已知矛盾.
∵ ?BPA ? 90° , ∴ AB 是圆 O1 的直径,于是有 PA2 ? PB 2 ? AB 2 .

0

14 分

作小圆 O1 的直径 PD ,则 PA2 ? PB2 ? PD2 ,且 PC 和 PD 确定的 平面与球 O 的交线是一个大圆,为了证明这个圆是大圆,可以过 小圆 O1 的圆心 O1 作圆 O 的垂线,此垂线必过球心 O ,因为 CP ? 圆 O1 , OO1 ? 圆 O1 , ∴CP ∥ OO1 .
∵ ?CPD ? 90° , ∴ CD 是大圆 O 的直径,故有 CD ? 2 R ,且 CD 2 ? CP 2 ? PD 2 ,

从而有 CD2 ? CP2 ? PA2 ? PB2 .

故 PA2 ? PB 2 ? PC 2 ? 4R 2 ,为一定值.

8(1)证明:如图 1,连结 CD1 ,交 C1 D 于点 O , ∵E 是 BC 的中点, O 是 CD1 的中点, ∴ BD1 ∥ OE , 由线面平行的判定定理知 BD1 ∥ 平面 C1 DE ;

(2)解:如图 2,过 B1 作 B1 P ? C1 E ,交 CC1 于点 P ,交 C1 E 于点 O1 , ∵ A1 B1 ? 平面 BCC1 B1 , ∴ A1 B1 ? C1 E , 又∵C1 E ? B1 P , A1 B1 ? B1 P ? B1 , ∴C1 E ? 平面 A1 B1 P . ∵C1 E ? 平面 C1 DE , ∴平面 A1 B1 P ? 平面 C1 DE ,

这时由图 3 可知, ?B1C1O1 ? ?CEC1 , ∴ ?C1 B1O1 ? ?CC1 E ,且 B1C1 ? C1C , 从而 Rt△B1C1 P ≌ Rt△C1CE , ∴ C1 P ? CE ,即 P 为 C1C 的中点.

图2

图3

1 25 3 9. (x- ) 2 +(y- )= . 2 24 8

10. A (-1,0) , 11.

C (5, -6).

设所求圆的圆心为 P(a,b) ,半径为 r,则 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|.

2 2 ? ?r ? 2b 由题设得: ? ∴2b 2 -a 2 =1 2 2 ? r ? a ? 1 ?

又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 距离为 d=

| a ? 2b | 5

.

∴5d 2 =|a-2b| 2 = a 2 +4b 2 -4ab≥a 2 +4b 2 -2(a 2 +b 2 )=2b2-a2=1 .
? ?a ? b 当且仅当 a=b 时,上式等号成立,d 取得最小值. ∴ ? 2 2 ? ?2b ? a ? 1

∴?

? a ? 1 ? a ? ?1 或? 故所求圆的方程为(x±1) 2 +(y±1) 2 =2 . b ? ? 1 b ? 1 ? ?

12 解: (1)证明:直线 l 的方程课化为 (2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0 (3 分)

?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 联立 ? 解得 ? ? x? y?4 ? 0 ?y ?1
所以直线恒过定点 (3,1) (7 分)

(5 分)

(1) 当直线 l 过圆心 C 时,直线被圆截得的弦长最长。 (8 分) 当直线 l ? CP 时,直线被圆截得的弦长最短(9 分)

2m ? 1 1? 2 1 , kCP ? ? ? (10 分) m ?1 3 ?1 2 2m ? 1 1 3 .(? ) ? ?1 解得 m ? ? (12 分) 由? m ?1 2 4
直线 l 的斜率为 k ? ? 此时直线 l 的方程是 2 x ? y ? 5 ? 0 (13 分)

圆心 C (1, 2) 到直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的距离为 d ?

2?2?5 5

? 5 (14 分)

AP ? BP ? r 2 ? d 2 ? 25 ? 5 ? 2 5

(15 分)

所以最短弦长是 AB ? 2 AP ? 4 5

(16 分)

13.由题意 BE ?

2 2 2 BA ? b ? EC ? EB ? BC ? a ? b ……2 分 3 3 3 2 2 2 ① ……4 分 ? BP ? BE ? EP ? BE ? t EC ? b ? t (a ? b) ? t a ? (1 ? t )b 3 3 3 1 1 1 (2)设 DP ? k DA,由BD ? BC ? a, DA ? DB ? BA ? b ? a 3 3 3 1 1 1 ② ……6 分 ? BP ? BD ? DP ? a ? k (b ? a) ? (1 ? k )a ? k b 3 3 3 2 1 由①、②得, t a ? (1 ? t )b ? (1 ? k )a ? k b 3 3

? 1 ? 1 ?t ? 3 (1 ? k ) ?t ? ?? , 解得 ? 7 2 4 ? (1 ? t ) ? k ?k ? 7 ?3 ?

? BP ?

1 4 a ? b ……9 分 7 7

(3)由 AC ? BC ? BA ? a ? b ,得 AF ?

1 1 AC ? (a ? b) ……11 分 5 5 1 1 4 7 1 4 ? BF ? BA ? AF ? b ? (a ? b) ? a ? b ? ( a ? b) 5 5 5 5 7 7 7 ? BF ? BP ,即 BF 与 BP 共线 ……13 分 5

又 BF 与 BP 有公共点 B,? B, P, F 三点共线。……14 分

14 解 假设存在直线 l 满足题设条件,设 l 的方程为 y=x+m,圆 C 化为(x-1) +(y+2) =9, 圆心 C(1,-2) ,则 AB 中点 N 是两直线 x-y+m=0 与 y+2=-(x-1)的交点即 N ? ??
? m ? 1 m ?1 ? , ?, 2 2 ?

2

2

以 AB 为直径的圆经过原点, ∴|AN|=|ON|,又 CN⊥AB,|CN|= ∴|AN|= 9 ?
(3 ? m) 2 .? 2
2 2

1? 2 ? m 2

,?

又|ON|= ? ?

? m ?1 ? ? m ?1 ? ? ?? ? ,? 2 ? ? 2 ? ?

由|AN|=|ON|,解得 m=-4 或 m=1.? ∴存在直线 l,其方程为 y=x-4 或 y=x+1. 15.解
2 2 2 解:将 x ? 3 ? 2 y 代入方程 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ,得 5 y ? 20 y ? 12 ? m ? 0 .

设P ∵

? x1, y1

? 、Q

? x2, y2

? ,则 y

1,

y2

满足:

y1 ? y2 ? 4, y1 y2 ?

m ? 12 5 .

OP ⊥ OQ, ∴ x1x2 ? y1 y2 ? 0, 而 x1 ? 3 ? 2 y1 , x2 ? 3 ? 2 y2 , ∴ , ,∴m=3.

x1x2 ? 9 ? 6 ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2



x1x2 ? y1 y2 ? 9 ? 6 ? y1 ? y2 ? ? 5y1 y2= 9-6 ? 4+ ? m+12? ? m ? 3 ? 0

1 5 r? 又 m=3 时Δ>0,∴圆心坐标为(- 2 ,3) ,半径 2

新疆

王新敞
学案

16.平行四边形的两邻边所在直线的方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 及 3x ? y ? 3 ? 0 ,对角线的交点 ? 1) ,求另两边所在直线的方程. 为 M (0, 16 解:设另两边所在直线方程为 x ? y ? b ? 0 及 3 x ? t ? c ? 0 , ? 1) , ∵平行四边形对角线交点为 M (0,

∴点 M 到对边的距离相等,
∴ 1? b 2 ? 1?1 2



?1 ? c 10

?

?1 ? 3 10



∴ b ? ?3 ,或 b ? 1 (舍去) , c ? 5 ,或 c ? ?3 (舍去) , 故所求的直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 和 3x ? y ? 5 ? 0 .

17. (1)? CD‖ AB,

O

∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
作 AP ? CD于P, 连接 MP

M
∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2


Q A B P C D

∵MD ? MA2 ? AD2 ? 2
∴ cos ?MDP ? DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

所以 AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

(2)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等, 连接 OP,过点 A 作 AQ ? OP 于点 Q,

∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP, ∵ AQ ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 2? OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2


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