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混合策略纳什均衡(下)2013


混合策略纳什均衡
北京邮电大学 本科选修课程 《信息经济学》 高丛 1HUA1SHIJIE100@VIP.SINA.COM

第三章 混合策略纳什均衡(下) 2
? 3—5 多重纳什均衡及其甄别 ? 许多博弈往往有不止一个纳什均衡,有时候甚至有无

穷多个纳什均衡。 ? 当这种情况出现时,哪个纳什均衡最有可能成为最终 的博弈结果? ? 这往往取决于某种能使局中人产生一致性预测的机制 或判断标准。

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2013年11月4日

本节初步介绍一些 甄别多重纳什均衡的机制或判别标准
3

? (一)帕累托优势标准 ? (二)风险优势标准 ? (三)帕累托标准与风险优势的关系 ? (四)聚点均衡 ? (五)相关均衡 ? (六)抗共谋均衡 ? (七)颤抖手精炼均衡

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2013年11月4日

(一)帕累托优势标准
4

? 虽然有些博弈存在多个纳什均衡,但这些纳

什均衡之间很可能存在明显的优劣差异,造 成所有局中人都偏好同一个纳什均衡的可能。 ? 一种情况是,博弈的某一个纳什均衡给所有 局中人带来的得益,都大于其他纳什均衡给 他们带来的得益。 ? 在这种情况下,局中人不会面临任何进一步 选择的困难,因为所有局中人对于纳什均衡 的理性选择倾向,都表现出一致。
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2013年11月4日

哈萨尼(John C. Harsanyi)泽尔滕(Reinhard Selten)
5

? 按照长期合作研究的两位博弈论大师

美国的哈萨尼教授和德国的泽尔滕教 授的说法, ? 这种按照支付大小筛选出来的纳什均 衡,比其他纳什均衡具有帕累托优势。 ? 这种按照支付大小筛选纳什均衡的标 准,称为帕累托优势标准。
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2013年11月4日

帕累托优势均衡的例子很多: 猎人博弈
6

乙 打兔

猎鹿

10 10
甲 猎鹿

4 0

0
打兔

4 4
2013年11月4日

4

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帕累托
(Vilfredo Pareto, 1848-1923)
? 法国巴黎出生的意大利经济学家。 ? 自从现代经济学主要关注社会资源的配置以来,
7

经济学家求同存异,逐渐撇开一般效率评价的 许多分歧,倾向于接受以帕累托命名的所谓帕 累托效率标准。 ? 经济的效率体现于配置社会资源以改善人们的 境况,主要看资源是否已经被充分利用。 ? 要想再改善任何人的境况都必须损害别的人的 利益了,这时候就说一个经济已经实现了帕累 托效率。
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2013年11月4日

(二)风险优势标准
8

? 如果按照支付标准或者说帕累托优势标

准, ? 难以确定局中人将采用两个或多个纳什 均衡中的哪一个纳什均衡规定的策略的 时候, ? 可以考虑不同纳什均衡之间的风险状况,

?风险小的优先。
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2013年11月4日

风险优势标准
9







9 9
甲 上

8 0

0 8


7 7

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2013年11月4日

风险优势标准:具体方法
10

?期望赢利比较法 ?偏离损失比较法

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2013年11月4日

偏离损失比较法
11







6 (A)
上 甲

5 0

6 0

4 (B) 4
2013年11月4日



5

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风险偏离损失乘积比较法
12

乙 L R

0 (B)
U 甲

0 M

M/2 0 (A)

0 M-m
2013年11月4日

D

M-m

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(三)帕累托标准与风险优势的关系
13

? 如果在一个博弈中, ? 按照帕累托效率的标准筛选出的纳

什均衡, ? 与按照风险优势标准筛选出来的纳 什均衡不一致时, ? 我们应当选择哪一个呢?
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2013年11月4日

帕累托标准与风险优势的关系
14







6 (A)
上 甲

5 -1000

6 -1000

4 (B) 4
2013年11月4日



5

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范丹墨(E. van Damme)维布尔(J. W. Weibull)
15

? 《斯堪的纳维亚经济学杂志》 ? (Scandinavian Journal of Economics) ? 1995年第一期,荷兰范丹墨教授和瑞典维布

尔教授合写的文章。 ? “在帕累托标准和风险标准之间,理论给帕 累托优势以优先权,而风险优势只有在局中 人面临不知道选哪个均衡好的不确定性的时 候,才变得重要。 ? 当一个均衡具有帕累托优势的时候,局中人 一定选择这个均衡,不确定性就不存在了。”
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2013年11月4日

另外的思考:
16

? 经济学形成

有限理性的理念

? (bounded rationality) ? 进入

行为经济学的天地

? (behavioral economics)

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2013年11月4日

(四 ) 聚点均衡
17

? 萨林(Schelling, 1960) ? 在现实生活中,局中人可能会使用

某些被博弈模型抽象掉的信息来达 到一个均衡。 ? 事实上,对于一些既不存在帕累托 优劣关系,也不存在风险优劣关系 的博弈,人们往往都是利用聚点均 衡的思想来指导自己的决策行动。
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2013年11月4日

张维迎教授
18

?《博弈论与信息经济学》 ?情侣博弈的聚点均衡: ?生日 ?“提名博弈”
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2013年11月4日

习俗和默契
19

? 靠右行驶 ? 中国、美国、俄国 ? 靠左行驶 ? 英国、澳大利亚、日本 ? 聚点均衡确实反映了人们在多重纳什均衡选

择中的某些规律性,往往受博弈双方文化背 景中的习惯或规范的影响, ? 很难总结出能够形成条条杠杠具有普遍性的 规律,只能具体问题具体分析地讨论。
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2013年11月4日

(五) 相关均衡(correlated equilibrium)
20

? 奥蒙,1974 ? 局中人通过一个大家都能观测到的共同信号

来选择行动,由此确定博弈的最终结局。 ? 相关均衡往往可能是局中人事前磋商的结果。 ? 相关均衡是局中人主动设计某种形式的选择 机制形成制度安排从而确定对局结果的一种 均衡选择。

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2013年11月4日

相关均衡 21






1 5
上 甲

0 0

4 4


5 1

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2013年11月4日

这个博弈存在三个纳什均衡:
22

? (上,左)、(下,右)和一个混

合策略: ? 每个局中人以相同的概率选择两种 纯策略,各得2.5的期望支付。 ? 假定局中人双方事前同意根据到达 集合地点的先后顺序采取行动 (“甲先到,走甲上乙左均衡;乙 先到,走甲下乙右均衡”)。
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2013年11月4日

奥蒙还证明,
23

? 如果能在局中人当中设计出一种机制,

使得每个局中人收到不同的但相关的信 号,则每个局中人还可以获得更高的期 望支付。 ? 例如:以相同的可能性(各1/3)发出A、 B、C三种信号; ? 局中人甲只能观察到信号是否是A, ? 局中人乙只能观察到信号是否是C。
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2013年11月4日

可以验证:
24

? 甲收到信号A采用策略“上”,否则采

用策略“下”; ? 乙收到信号C则采用策略“右”,否则 采用策略“左”,是一个纳什均衡。 ? 但是,相关均衡在现实生活中的可操作 性如何? ? 是谁?“以相同的可能性发出A、B、C 三种信号。”
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2013年11月4日

(六) 抗共谋均衡 (coalition-proof equilibrium)
25

? 经济学家 ? 本海姆(B. Douglas Bernheim)、 ? 别列葛(Bezalel Peleg)、 ? 温斯顿(Michael D. Whinston) ? 在1987年的两篇论文中提出了抗共

谋纳什均衡的概念。
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2013年11月4日

抗共谋均衡:矩阵A
26



L

R



0 , 0 , 10
U

-5 , -5, 0

D

-5 , -5, 0

1 , 1, -5
2013年11月4日

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抗共谋均衡:矩阵B
27



L

R



-2 , -2, 0
U

-5 , -5, 0

D

-5 , -5, 0

-1 , -1, 5
2013年11月4日

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集体偏离有两种:
28

? 一种是能够利益维持的,就是若干局中

人合伙偏离以后,在其他局中人的策略 选择仍然不变的条件下,他们不会散伙。 ? 另外一种是不能利益维持的集体偏离, 就是若干局中人合伙偏离以后,哪怕其 他局中人的策略选择继续保持不变,原 来合伙偏离的局中人之中,有人因为利 益驱使,还要再改变策略选择。
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2013年11月4日

通俗地说
29

? 抗共谋纳什均衡的概念,不仅要求

“单独偏离”没有好处,而且要求 “不散伙的合伙偏离”也没有好处。 ? 事实上,在排除了共谋的影响后, 多人博弈与二人博弈之间的区别, 就不那么明显了,从而我们在前面 介绍的筛选多重纳什均衡的分析方 法,就都可以使用了。
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2013年11月4日

抗共谋均衡仍然是关于非合作博弈的均衡概念
30

? 抗共谋均衡讨论中局中人之间的共

谋行为,都是没有强制力的, ? 完全是建立在各局中人自觉自愿的 利益基础上, ? 它与后面合作博弈中谈到的各局中 人之间允许用协议的方式强制执行 的合作行为并不是一码事。
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2013年11月4日

从学术发展的历史脉络讲, 强均衡与抗共谋均衡是不同的概念。
31

? 抗共谋均衡的概念是奥蒙提出的“强均衡”(strong ? ?

? ?

equilibrium)概念条件的放宽。 (Aumann, 1959) 强均衡要求,在其他局中人的策略选择给定的条件 下,不存在局中人集合的任意一个子集所构成的联 盟,能够通过联合偏离当前的策略选择而增加联盟 中所有成员的支付。 强均衡一定是抗共谋均衡,但是抗共谋均衡未必是 强均衡。 例如上例博弈中,不存在强均衡策略组合。
2013年11月4日

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富登博格和梯若尔《博弈论》
(Drew Fudenberg and Jean Tirole, Game Theory,The MIT Press, 32 1991 )

? 抗联盟均衡的定义依联盟的规模归纳地给出。 ? 首先,它要求没有单局中人联盟会偏离,也就是说,

所论的策略组合是一个纳什均衡。 ? 接着,它要求没有双局中人的联盟会偏离,条件是 在这样的偏离发生以后,合伙偏离的局中人之中的 任何一个(而不是任何其他人),都可以再次自由 偏离。 ? 这就是说,在其他局中人的策略选择不变而导出的 二人博弈中,所论的二人合伙偏离必须是这个二人 博弈的纳什均衡。 ? 这样归纳地做下去,直至所有局中人的联盟。
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2013年11月4日

抗共谋均衡已经成为判别一个纳什均衡是否稳健 (robust)的重要标准。
33

? 直到1994年格罗斯曼(Grossman,G..M.)和赫朴曼

(Helpman E.)在American Economic Review上 发表了一篇关于贸易保护的文章,以“抗共谋均衡” 的概念作为他们的理论依据,直接把本海姆等人的 理论结果搬到贸易行为的分析中,才引起经济学界 对这个概念的重视。 ? 自此之后,抗共谋均衡的概念在经济学的各个领域 得到广泛的使用。 ? Dixit、Grossman和Helpman还对抗共谋均衡的理 论结果作了进一步的发展。

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2013年11月4日

(七)颤抖手精炼均衡
34

? 人们的“理性行为”,是几十年来现代经济

学讨论的基本假设。 ? 但是现实生活中人们的行为模式,很难符合 理性行为的假设或者说理性人的假设。 ? 泽尔滕在1975年的一篇论文把这一思想引入 到博弈论的研究中,提出了颤抖手精炼均衡 (trembling-hand perfect equilibrium)或 者简称颤抖手均衡的概念,进一步精炼纳什 均衡。
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2013年11月4日

泽尔滕的基本思想是:在任何一个博弈中, 每一个局中人都有一定的犯错误的可能性。
35

? 泽尔滕将局中人发生

?

错误选择(即偏离均衡策 略)的情况形象地说成是“颤抖手”, 当某个局中人突然发现一个理性条件下不该发 生的事件发生时,
意的

? 他把这个不该发生的事件归结为某一个别的局中人的非蓄

失误。
2013年11月4日

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原博弈的均衡,可以理解为被“颤抖”扰动后 的博弈的均衡的极限。
36

? 由于局中人的

“手”(策略选择)可能 “颤抖”(偏离纳什均衡的要求),
的可能,

? 致使他们的策略集中的每一个

纯策略都有被选中

? 即每一个纯策略被选中的

概率都严格为正。
2013年11月4日

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在给出颤抖手精炼均衡的正式定义以前, 先看下面的例子:
37

B L R

1
U A

-3 0

1 0

0 0
2013年11月4日

D

-3

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(U,L)和(D,R)都是纳什均衡
38

? 其中(U,L)是优势策略均衡,但(D,R)

只是相对优势策略均衡。 ? 只要局中人B不选择L,D就是局中人A的最优 选择;同样,只要局中人A不选择U,R就是 局中人B的最优选择。 ? 在没有正式定义颤抖手纳什均衡之前,基于 前面关于颤抖手均衡概念原始思想的介绍, ? 我们先考虑这样一个问题:(D,R)应该是 一个将定义的颤抖手均衡吗?
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2013年11月4日

对比之下,(U,L)却应该是 一个颤抖手均衡:
39

? 无论局中人A犯错误的概率有多大, ? 只要犯错误的概率小于1, ? 局中人B都没有激励要选择R; ? 同样地,无论B犯错误的概率有多大, ? 只要小于1, ? 局中人A都没有激励选择D。
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2013年11月4日

泽尔滕1975年论文的证明结果, 作为颤抖手均衡的定义:定义3.4

在n人策略式表述的博弈中, G = {S1 , ? S n ; u1 , ? , u n } 我们说纳什均衡

40

( p1 , ? , pn )

构成一个颤抖手精炼均衡,如果对于每一个局中人i, 存在一个严格混合策略序列 { pim } m lim pi = pi ; 满足下列条件:

m = 1,2, ? , pi 2)对于每一个和每一个 m m m m m = p p ? p p ? p ( , , , , , 是对策略组合 ?i 1 i ?1 i +1 n )
的最优反应,即
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1)对于每一个i,

m →∞

pi ∈ arg max ui (., p )
m ?i

。 2013年11月4日

? 是比较学术化的写法

pi ∈ arg max ui (., p )
m ?i
41

是使目标函数

pi m ui (., p?i )

达到最大的一个自变量。

其中,目标函数表达中的小圆点,表示这个自变量 的位置,max表示最大,arg表示自变量。 因此该数学公式表示

pi

是使得目标函数

ui (., p )

m ?i

达到最大的自变量之一。

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2013年11月4日

需要强调的是,
42

必须是严格混合策略, 条件1)意味着,尽管每一个局中人i都有可能 会犯错误,但错误收敛于0。
? 上述定义中的
pim

即选择每一个纯策略的概率都严格为正。 条件2)意味着,每一个局中人所选择的策略 pi 不仅在其他人不犯错误时是最优的(即符合纳 什均衡的条件),而且在其他人错误地选择了

p (≠ p?i ) 时也是最优的。
m ?i
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2013年11月4日

颤抖手精炼均衡定义中的条件 2 ), 43
? 也可以改写如下: ? 对于每一个i,存在非负整数

Mi
是对策略组合
m n

使得当

m ≥ Mi
m 1

时,
m i ?1

pi
m ?i

p

m ?i

= ( p , ? , p , p , ? , p ) 的最优反应,
m i +1



?m ≥ M i pi ∈ arg max ui (., p ) ,



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2013年11月4日

这是因为从数学分析我们知道, 44
去掉序列的有限项,不影响序列的极限性态。 事实上,序列中任何确定的有限项,一定位于序列

“开始的部分”,
关于序列性质的讨论, 总是关于序列极限性态的讨论。
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而除了序列求和之类的整体数量计算以外,

2013年11月4日

颤抖手精炼的纳什均衡:例3.4
45

三种纯策略可供选择的 如下二人策略型博弈, ? A有上、中、下三个策略, ? B有左、中、右三个策略。
? 考虑每个局中人各有 ? 各种策略对阵的得益如下图中数目所示。
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2013年11月4日

颤抖手精炼的纳什均衡的例子
46

B 左 中 右

12


10 3 2 11 2 1 8 1 2

12 11 13

4 12 0 12 3

A 中



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2013年11月4日

左上方是颤抖手精炼的纳什均衡
47

? 现在证明: ? 左上方(上策略,左策略) ? 得(4,12)的均衡, ? 是颤抖手精炼的纳什均衡。 ? 首先,对上图的博弈采用混合策略

的概率表达;如下图,
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2013年11月4日

对上图的博弈采用混合策略的概率表达
48

? 设A选择上策略的概率q, ? 选择中策略的概率是r, ? 那么他选择下策略的概率是1-q-r; ? 设B选择左策略的概率是s, ? 选择中策略的概率t, ? 那么他选择右策略的概率是1-s-t。

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2013年11月4日

颤抖手精炼的纳什均衡的例子
49

B 中 t 右 1-s-t

左 s

12
上 q

10 3 2 11 2 1 8 1 2

12 11 13

4 12 0 12 3

A



r

下 1-q-r

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2013年11月4日

采用混合策略表达,
50

? 左上方(上策略,左策略)得(4,12)这个纳什

均衡( pA ,pB), ? 其中pA=(q,r,1-q-r)=(1,0,0) ? 其中pB=(q,r,1-q-r)=(1,0,0) ? 要说明(pA,pB)是一个颤抖手均衡,按照
m 2 1 1 m=2,3, …,构造 { pB } p = (1 ? , , ) m m m

m A

很明显,{ p
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m A

} 收敛到 p A ,{ p } 收敛到 pB ,
2013年11月4日

m B

即条件1)成立。

下面考察对于每一个
? m=2,3, …,
m B

2 1 1 p = ( s, t ,1 ? s ? t ) = (1 ? , , ) 的最优反应。 m m m
局中人A的期望支付是
EUA=q[4(m-2)+3+2]/m+r[0(m-2)+2+1]/m+(1-q-r){3(m-2)+1+2}/m ={qm-3r(m-2)+(3m-3)}/m

pA

51

是不是对于策略组合

可见,策略组合pA=(q,r,1-q-r)=(1,0,0)的确 是局中人A对于局中人B的策略组合

2 1 1 p = ( s, t ,1 ? s ? t ) = (1 ? , , ) m m m
m B
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的最优反应。
2013年11月4日

同样可知,
52

? pB=(q,r,1-q-r)=(1,0,0)是局中人B对

于局中人A的策略组合的最优反应。 ? 可见,条件2)也成立。 ? 至此我们知道, (pA,pB)这个纳什均衡, 是颤抖手纳什均衡。 ? 另外,泽尔滕1975年的一篇论文还证明了一 个与纳什订理平行的定理:每一个有限同时 博弈至少存在一个颤抖手精炼纳什均衡。
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2013年11月4日

最后需要说明的是,
53

? 按照上面的定义,为了论证

( pi , ? , pn )

构成一个颤抖手精炼纳什均衡,我们只需要给每个

一个满足条件1)和2)的严格混合 策略序列便可,而不需要证明,对任意满足条
局中人找到 件1)的严格混合策略序列
{ pim }

pi 都是局中人i在给定其他局中人的策略组合
p
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m ?i

条件下的最优反应。
2013年11月4日

强颤抖手精炼均衡
(truly trembling-hand perfect equilibrium)
54

? 如果后者成立,则我们称这个颤抖手精

炼均衡是强颤抖手精炼均衡。 ? 需要注意的是,此时条件2)不能像前面 讨论颤抖手精炼纳什均衡那样进行改写。 ? 强颤抖手精炼均衡的条件要比颤抖手精 炼均衡本身强得多,有些博弈虽然存在 颤抖手精炼均衡,但却不存在强颤抖手 精炼纳什均衡。
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2013年11月4日

甄别多重纳什均衡的机制或判别标准讨论
同一商品在不同人的心中的保留价格不同 55
? 多标准就可能存在多种矛盾价值观冲突: ? 《论语·述而篇第七》 ? 子曰:“饭疏食,饮水,曲肱而枕之,乐

亦在其中矣。不义而富且贵,于我如 浮云。” ? 《论语·子路篇第十三》
? 子曰:“无欲速,无见小利。欲速,则不

达;见小利,则大事不成。”
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2013年11月4日

为什么柯出于木而反身能修木?
56

? 《诗经·伐柯》
? 伐柯如何?匪斧不克。取妻如何?匪媒不得。 ? 伐柯伐柯,其则不远。我觏之子,笾豆有践。
? 伐柯:采伐做斧头柄的木材。 ? 匪:同“非”。取:通“娶”。觏:遇见。 ? 则:原则、方法。此处是强调砍伐时应遵照一定的方法。 ? 笾:竹编的礼器,用来盛果脯。 ? 豆:木制、金属制或陶制的器皿,用来盛放腌制的食物和酱。

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2013年11月4日

为什么青出于蓝而胜于蓝?《荀子·劝学篇》
57

? 君子曰:学不可以已。青,取之于蓝,而青于蓝;冰,水

为之,而寒于水。木直中绳,輮以为轮,其曲中规,虽有 槁暴,不复挺者,輮使之然也。故木受绳则直,金就砺则 利,君子博学而日参省乎已,则知明而行无过矣。 ? 故不登高山,不知天之高;不临深谿,不知地之厚也;不 闻先生之遗言,不知学问之大也。干、越、夷、貉之子, 生而同声,长而异俗,教使之然也。《诗》曰:“嗟尔君 子,无恒安息。靖共尔位,好是正直。神之听之,介尔景 福。”神莫大于化道,福莫长于无祸。

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2013年11月4日


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7、博弈至少是在两方之间进行的,博弈的过程中双方都是理性的,在理性 的指引下...2、混合策略纳什均衡是博弈方以概率判断的方式进行策略选择,这种随机 选择的概率...

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