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关于三角形内的向量表示对应的点与五心的位置关系的问题


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关于三角形内的向量表示对应的点与五心的位置关系的问题
留言内容: 信箱 273343052 218.94.142.18

王老师:您好! 我是一名研究生,最近在给高三同学辅导功课,遇到了几道不太会的题目,能否看下? 题目已经发到你邮箱,放在附件里,谢谢啊! 来自-江苏
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"disiweino1" <disiweino1@163.com>发表于:2007-5-26 11:07:15
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题目 1.正四面体与六条棱都相切的内切球的体积怎么算?
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解 边长为 a 正四面体与六条棱都相切的内切球的直径 2r 就是一组对边的距离 2a .
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所以 r ?

2 2 3 a, 所求球的体积为: V ? ?a . 2 3

题目 2. O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
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??? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB AC ? ? , O P? O A ? ( ??? ? ??? ) ? ? [ ?? 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) ? 0, ), | AB| | AC|
A.外心
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B.内心

C.重心

D.垂心

??? ???? ? AB AC ? 解 ∵ ??? , ???? 分别是 AB、AC 边上的单位向量, | AB | | AC | ??? ? ???? AB AC ? ∴ ??? ? ???? 是∠BAC 的角平分线上的确定向量, | AB | | AC | ??? ? ??? ? AB AC ? ? ∴ ? ( ??? ? ??? ), ? ?[0, ??) 是∠BAC 的角平分线上的任意向量, | AB | | AC | ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB AC ? ? ∴ OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ), ? ?[0, ??), 则 P 必在∠BAC 的角平分线上,轨迹一 | AB | | AC |
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定通过△ABC 的内心,故选 B.

题目 3.O
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是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 )

??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC ? OP ? OA? ? ( ??? ? ???? ),则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( | AB | cosB | AC | cos C ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? AB AC BC ?AB BC ?AC ? ? ? 解 ∵ BC ? ??? ( ? ? ??? ) ? ??? ? ??? | AB | cos B | AC | cos C | AB | cos B | AC | cos C
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??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? | BC |? AB | cos(? ? B) | BC |? AC | cos C | | ??? ? ??? ? = ? ? ? | BC | ? | BC |? 0 | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? ∴ BC ? ( ??? ? ??? ). | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? AB AC ? ? ∴ ( ??? ? ??? ) 在△ABC 的边 BC 的高 AD 上. | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB AC ? ? 所以, OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) 时,P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心 | AB | cos B | AC | cos C
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??? ? ???? AB AC ? 综上,① ? ( ??? ? ???? ), ? ?[0, ??) 是∠BAC 的角平分线上的任意向量,过内心; | AB | | AC | ??? ? ???? AB AC ? ② ? ( ??? ? ???? ) , ? ? [0, ??) 是△ABC 的边 BC 的高 AD 上 | AB | cos B | AC | cos C
的任意向量,过垂心. ③

?( AB ? AC), ? ?[0, ??) 是 BC 边上的中线 AD 上的任意向量,过重心.

??? ??? ? ?


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