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高考数学题型全归纳:等差数列前n项和公式的应用典型例题(含答案)


等差数列前 n 项和公式的应用
等差数列的前 n 项和公式是一个很重要的公式. 对这个公式的形式和本质 特征的研究,将有助于提高我们的计算能力和分析、解决问题的能力. 一、分析公式的结构特征

难得出下面的结论:

中间项. 2.当 n 是偶数时,a1 与 an 的等差中项不是该数列的项,它的值等于数列 前 n 项中正中间两项的算术平均数. 根据上述结论,可得: 性质 1 等差数列{an}中.S2n-1=(2n-1)an;S2n=n(an+an+1). (因为 an 是前 2n-1 项的正中间;an,an+1 是前 2n 项的正中间两项) 例 1 (1)等差数列中,若 a8=5,则 S15=________. (2)等差数列{an}中,若 a6=a3+a8,S9=________. 解 (1)依性质 1,得 S15=S2×8-1=(2×8-1)a8=15a8, 而 a8=5,∴S15=15×5=75. (2)∵a6=a3+a8,由通项公式,得 a1-(6-1)d=[a1+(3-1)d]+[a1+(8-1)d](d 为公差). 整理得 a1+4d=0.即 a1+(5-1)d=0,

而 a5=a1+(5-1)d, ∴a5=0. 由性质 1 得 S9=S2×5-1=(2×5-1)a5=9×0=0. 例 2 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S12>0,S13<0,指出:S1、 S2、S3、…、S12 中哪一个值最大,并说明理由. 解 依题意,有

∴a6>-a7>0,而 a7<0(公差 d<0), 故 S1,S2,S3,…,S12 中 S6 的值最大. 二、注意公式的变形

我们有:

例 3 等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项为 100,则它的前 3m 项和 为 [ ] A.30 B.170 C.210 D.260

解 已知 Sm=30,S2m=100,求 S3m=?

均成等差数列.则

∴S3m=210.故选(C).

S3m-S2m 成等差数列.

性质 3 等差数列中依次每 m 项和 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. 例 4 等差数列{an}的前 n 项和为 S1,次 n 项和为 S2,后 n 项和为 S3,

证明 由性质 3,知:S1,S2,S3 成等差数列,


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