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3.1回归分析


高二数学 选修2-3

3.1回归分析的基本 思想及其初步应用

比《数学3》中“回归”增加的内容
数学3——统计
1. 2. 5.

3.

4.

画散点图 了解最小二乘法的 思想 求回归直线方程 y=bx+a 用回归直线方程解 决应用问题

r />6.

7. 8.

9.

10.

选修2-3——统计案例 引入线性回归模型 y=bx+a+e 了解模型中随机误差项e产生 的原因 了解残差图的作用 了解相关指数 R2 和模型拟合 的效果之间的关系 利用线性回归模型解决一类非 线性回归问题 正确理解分析方法与结果

回归分析的内容:
回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的一种常用的方法,也就是通过一个变量或一 些变量的变化解释另一变量的变化。
《数学3》中,已对具有相关关系的变量利用回归分析的方 法进行了研究,其步骤为画散点图,求回归直线方程,并用回 归直线方程进行预报。

? ? 最小二乘法:y ? = bx+a
n ? ? (xi -x)(yi -y) ? ?b= ? i=1 = ? n 2 ? ? (xi -x) ? i=1 ? ? ?a=y-bx. ? ?

?x y
i=1 n

n

i i 2

- nxy - nx
2

?x
i=1

,

i

1 n 1 n 其中x = y= ? xi, ? yi. n i=1 n i=1

(x,y)

称为样本点的中心。回归直线过样 本点中心

案例1:女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

分析:由于问题中要求根据身高预报体重,因此 选取身高为自变量,体重为因变量. 解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系,因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。

1. 散点图; 2.回归方程: ? ? 0.849x ? 85.172 y

身高172cm女大学生体重 ? = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg) y

探究: 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗?如果不是,你能解析一下原因吗? 答:身高为172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg,但一般可以认为她的体重接近于 60.316kg。

即,用这个回归方程不能给出每个身高为172cm 的女大学生的体重的预测值,只能给出她们平均 体重的值。

案例1:女大学生的身高与体重
例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。

解:1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图: 2、由散点图知道身高和体重有比较 好的线性相关关系,因此可以用线性 回归方程刻画它们之间的关系。 3、从散点图还看到,样本点散布在 某一条直线的附近,而不是在一条 直线上,所以不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。

函数模型与回归模型之间的差别
中国GDP散点图 120000

100000

80000

GDP

60000

40000

20000

0 1992

1993

1994

1995

1996

1997 年

1998

1999

2000

2001

2002

2003

函数模型: 线性回归模型: y ? bx ? a ? e

y ? bx ? a

当随机误差恒等于0时, 线性回归模型就变为函数模 型

函数模型与回归模型之间的差别

函数模型: y ? bx ? a 回归模型: y ? bx ? a ? e
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定,即自变量x只能解析部分y的变化。
在统计中,我们也把自变量x称为解析变量,因变量y称为预报变量。

我们可以用下面的线性回归模型来表示:

y=bx+a+e, (3)

?

y=bx+a+e,
E(e)=0,D(e)=

? 2.
2

(4)

其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差。
在线性回归模型(4)中,随机误差e的方差 ? 越小,通过 回归直线 (5)

? 与真实值 预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值 y y之间的误差的原因之一,其大小取决于随机误差的方差。

? ? bx ? a y

? 为截距和斜率的估计值, ? 和b 另一方面,由于公式(1)和(2)中a 它们与真实值a和b之间也存在误差,这种误差是引起预报值 与真实值y之间误差的另一个原因。

? y

思考: 产生随机误差项e的原因是什么? 随机误差e的来源(可以推广到一般):
1、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差; 2、忽略了其它因素的影响:影响身高 y 的因素不 只是体重 x,可能还包括遗传基因、饮食习惯、 生长环境等因素; 3、身高 y 的观测误差。 以上三项误差越小,说明我们的回归模型的拟合 效果越好。

探究:

e是 用预报真实值Y的随机误差,它是一个不可 观测的量,那么怎样研究随机误差呢?

bx ? a

回归模型: ? ?a ? ? bx ? y
对于样本点

y ? bx ? a ? e ? ? y? y ? e

而言,它们的随机误差 其估计值为

? ?a ?i ? yi ? y ? i ? yi ? bx ? e i

残差分析与残差图的定义:
在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关, 是否可以用回归模型来拟合数据。

?1 , e ? 2 ,?, e ? n 来判断模型拟合的效果,判断原始 然后,我们可以通过残差 e 数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称为残差分析。
表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。
编号 身高/cm 体重/kg 残差 1 165 48
-6.373

2 165 57
2.627

3 157 50
2.419

4 170 54
-4.618

5 175 64
1.137

6 165 61
6.627

7 155 43
-2.883

8 170 59
0.382

我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本 编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为残差图。

残差图的制作及作用。 ?几点说明: 坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择; 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为 的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数 ? 若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以 据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。 横轴为心的带形区域; 另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这 样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高。 ? 对于远离横轴的点,要特别注意。

身 高 与 体 重 残 差 图

异 常 点
? 错误数据 ? 模型问题

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是

R ? 1?
2

2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n

n

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

显然,R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合效果越好。

在线性回归模型中,R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。
R2越接近1,表示回归的效果越好(因为R2越接近1,表示解析变量和预报变量的 线性相关性越强)。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,则可以通过比较R2的值 来做出选择,即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。

总的来说: 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中,它代表自变量刻画预报变量的能力。

我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果,其计算公式是

R ? 1?
2

2 ? ( y ? y ) ? i i 2 ( y ? y ) ? i i ?1 i ?1 n

n

残差平方和 ? 1? 。 总偏差平方和

表1-3
来源 随机误差 残差变量 总计 平方和 225.639 128.361 354 比例 0.64 0.36 1

从表3-1中可以看出,解析变量对总效应约贡献了64%,即R2 ? 0.64,可以叙述为 “身高解析了64%的体重变化”,而随机误差贡献了剩余的36%。 所以,身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

小结
用身高预报体重时,需要注意下列问题: ——这些问题也使用于其他问题。 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性; 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围; 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上,它是预报变量的可能取值的平均值。

涉及到统计的一些思想:
模型适用的总体;
模型的时间性; 样本的取值范围对模型的影响; 模型预报结果的正确理解。

一般地,建立回归模型的基本步骤为: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解析变量,哪个变量是预报变量。

(2)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系 (如是否存在线性关系等)。 (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则 选用线性回归方程y=bx+a).
(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)。 (5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应残差过大,或残 差呈现不随机的规律性,等等),过存在异常,则检查数据是否有误,或 模型是否合适等。

什么是回归分析?
(内容)
1.

2.

3.

从一组样本数据出发,确定变量之间的数学关 系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验, 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些 变量的影响显著,哪些不显著 利用所求的关系式,根据一个或几个变量的取 值来预测或控制另一个特定变量的取值,并给 出这种预测或控制的精确程度

回归分析与相关分析的区别
1.

2.

3.

相关分析中,变量 x 变量 y 处于平等的地位;回归 分析中,变量 y 称为因变量,处在被解释的地位,x 称为自变量,用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量;回 归分析中,因变量 y 是随机变量,自变量 x 可以是 随机变量,也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切 程度;回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影 响大小,还可以由回归方程进行预测和控制

相关系数
?

1.计算公式
r=

?(x
i=1 n i=1

n

i

- x)(yi - y)
n

2 2 (x x) (y y) ? i ? i

? ?

?

?

2.相关系数的性质 (1)|r|≤1. (2)|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近 于0,相关程度越小. 问题:达到怎样程度,x、y线性相关呢?它们 的相关程度怎样呢?

i=1

负相关

正相关

? n ? ? (xi -x)(yi -y) ? i=1 r= ? n n ? 2× (y -y)2 (x -x) ? i ? i ? i=1 i=1 ? r>0正相关;r<0负相关.通常,
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;

相关系数

例2:一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集 了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程
温度x 21 产卵数y 7 23 11
350 300

25 21

27 24

29 66

32 115

35 325

解:1)作散点图;
产卵数

250

200

150

100

50

0 20 22 24 26 28 温度 30 32 34 36

从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能 用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中 在一条指数曲线或二次曲线的附近。

解: 1)用y = c1ec2x 模型; 令 z = lny 则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画 出x与z 的散点图
x z 21 1.946 23 2.398 25 3.045 27 3.178
z 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40

29 4.19

32 4.745

35 5.784

z

x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合 z = ax+b+e

2) 用 y=c3x2+c4 模型,令 t = x 2 ,则y=c3t+c4 ,列出变 换后数据表并画出t与y 的散点图
t 441 529 625 729 841 1024 1225

y

7

11

21
y

24

66

115

325

350 300 250 200 150 100 50 0 0 200 400 600 800 1000 1200 1400

y

散点并不集中在一条直线的附近,因此用线 性回归模型拟合他们的效果不是最好的。

(1) 0.272x-3.843 ? , 非线性回归方程 y = e

? = 0.367x - 202.54 二次回归方程 y 残差公式 (1) (1) 0.272x-3.843 ? i = yi - y ? = yi - e e , (i = 1,2...7)
(2) 2

? e

(2) i

? = yi - y
1 21 7 2

(2)

= yi - 0.367x + 202.54,

3 25 21 1.76

2


编号 x y 23 11


4 27 24 -9.149 5 29 66 8.889 6 32 115 -14.153 7 35 325 32.928

e(1) 0.52 -0.167

e(2) 47.7 19.397 -5.835

-41.003

-40.107

-58.268

77.965

在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题 需要注意的问题:对于同样的数据,有不同的统 计方法进行分析,我们要用最有效的方法分析数 据。

现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合 红铃虫的产卵数与温度数据,他们分别是:

y ? ax ? b ? e , y ? c1e
c2 x 2

? e,

z ? c2 x ? b ? e
y ?? t ?? ?e

y ? ?x ? ? ? e .

可以利用直观(散点图和残差图)、相关指 数来确定哪一个模型的拟合效果更好。

对于给定的样本点
含有两个未知参数模型

… x , y ? 2 2 ? , , ? xn , yn ? ? x1, y1 ? ,

? ? y ? f ? x, a ? ? e, ? 2 E e ? 0 , D e ? σ ? ? ? ? ? ?
? ? y ? g ? x, b ? ? ( ( ? ) ? =0, D ? ? ?E
) ?σ 2

?

2


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