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广东省珠海市2013届高三9月摸底数学文试题(2013珠海一模)


珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 2}, B ? { x | 0 ? x ? 5}, 则集合 ( C U A ) ? B = A. { x | 0 ? x ? 2} B. { x | 0 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 2} D. { x | 0 ? x ? 2}

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那 么 2 x - y 的最大值为 2. 已知实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0 , ? x ? y ? 1 ? 0, ?

A.—3

B.—2
?x

C.1

D.2
?x

3.函数 f ( x ) ? a ? a
x

? 1 , g ( x) ? a ? a
x

,其中 a ? 0, a ? 1 ,则
B . f ( x )、 g ( x ) 均为奇函数 D . f ( x ) 为奇函数 , g ( x ) 为偶函数

A . f ( x )、 g ( x ) 均为偶函数
C . f ( x ) 为偶函数 , g ( x ) 为奇函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.36 C.72 B.108 D.180

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ” 是“ ? ? ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且 | P A |? | P B | ,若直线 PA 的方程为
x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是

A. 2 x ? y ? 7 ? 0
? ?

B. x ? y ? 5 ? 0

C. 2 y ? x ? 4 ? 0
?

D. 2 x ? y ? 1 ? 0
?

7. 已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么, | a ? 3 b | 等于
高考资源网

A.

7

B. 1 0

C. 1 3

D. 4

8. 要得到函数 y ? sin ( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移
?
4

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象

单位 单位

B.向右平移 D.向右平移

?
4

单位 单位

?
8

?
8

9.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计
n(ad ? bc)
2

雌性 25 15 40

总计 75 25 100

50 10 60

由K

2

?

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

? 5 .5 6

附表:
P(K
2

? k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

则下列说法正确 A.在犯错误的
0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ;

的是: 概 率 不 超 过

B.在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ;

10.设 U 为全集,对集合 X 、 Y ,定义运算“ ? ” ,满足 X ? Y ? ( C U X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、 Y 、 Z ,则 X ? (Y ? Z ) ? A. ( X ? Y ) ? ( C U Z ) B. ( X ? Y ) ? ( C U Z )

C. [( C U X ) ? ( C U Y )] ? Z D. ( C U X ) ? ( C U Y ) ? Z 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.在△ABC 中, a ? 5 , b ? 6 , c ? 7 ,则 cos C ?
x a
2 2

.

12. 已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,
2

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______. 13. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

.

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________.

A
15. (几何证明选讲选做题) 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的 中 点 , AE 交 BC 于 F , 则
BF FC ?

E B F

D C

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知函数 f ( x ) ?
1 ? sin 2 x co s x

.
4 3

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ?

,求 f (? ) 的值.

17. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件 求两张标签上的数字为相邻整数的概率: (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的. 18.(本小题满分 14 分) 如 图 1, 在 直 角 梯 形 A B C D 中 , ? A D C ? 90 ? , C D / / A B , A B ? 2, A D ? C D ? 1 . 将
? A D C 沿 A C 折起,使平面 AD C ? 平面 A B C ,得到几何体 D ? A B C ,如图 2 所示.

(1) 求证: B C ? 平面 A C D ;(2) 求几何体 D ? A B C 的体积. D C D

C A 图1 B A 图2 B

19.(本小题满分 14 分) 已知,圆 C: x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2 a ? 0 .
2 2

(1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.

20.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x ) ? a ?
b 2
x

?1

( a ? R , b ? 0 且 b ? 1)

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。

高三理科数学试题第 4 页(共 12 页)

21.(本小题满分 14 分) 已知 a1 ? 1 ,点 ( a n, a n ? 1 ?2) 在函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的图象上,其中 n ? 1, 2, 3, 4, ? ? ?
2

(1)证明:数列 {lg( a n ? 2)} 是等比数列; (2)设数列 { a n ? 2} 的前 n 项积为 T n ,求 T n 及数列 { a n } 的通项公式; (3)已知 b n 是
3 8 1 2
1 an ? 1



1 an ? 3

的等差中项,数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ,求证:

? Sn ?



高三理科数学试题第 5 页(共 12 页)

珠海市 2012 年 9 月高三摸底考试 文科数学试题与参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 2}, B ? { x | 0 ? x ? 5}, 则集合 ( C U A ) ? B =( A. { x | 0 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 2} B. { x | 0 ? x ? 2} D. { x | 0 ? x ? 2} )B

? x ? y ? 1 ? 0, ? 那 么 2 x - y 的最大值为 2. 已知实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0 , ? x ? y ? 1 ? 0, ?



)C

A.—3 B.—2 C.1
?x

D.2
?x

3.函数 f ( x ) ? a ? a
x

? 1 , g ( x) ? a ? a
x

,其中 a ? 0, a ? 1 ,则(
B . f ( x )、 g ( x ) 均为奇函数

)C

A . f ( x )、 g ( x ) 均为偶函数
C . f ( x ) 为偶函数 , g ( x ) 为奇函数

D . f ( x ) 为奇函数 , g ( x ) 为偶函数

4. 如图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是( A.36 C.72 B.108 D.180

)B

5.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ” 是“ ? ? ? ”的( )A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

6.设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且 | P A |? | P B | 。若直线 PA 的方程为
x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是(

)B

A. 2 x ? y ? 7 ? 0

B. x ? y ? 5 ? 0

C. 2 y ? x ? 4 ? 0

D. 2 x ? y ? 1 ? 0

高三理科数学试题第 6 页(共 12 页)

7. 已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么, | a ? 3 b | 等于(
高考资源网

? ?

?

?

)C

A.

7

B. 1 0
?
4

C. 1 3

D. 4 )D

8. 要得到函数 y ? sin ( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移
?
4

) 的图象,只要将函数 y ? sin 2 x 的图象(

单位 单位

B.向右平移 D.向右平移

?
4

单位 单位

?
8

?
8

9.对100只小白鼠进行某种激素试验,其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况 统计得到如下列联表 雄性 敏感 不敏感 总计 50 10 60 雌性 25 15 40 总计 75 25 100

由K

2

?

n(ad ? bc)

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

? 5 .5 6

附表:
P(K
2

? k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

则下列说法正确的是: (

)C

A.在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别有关” ; B.在犯错误的概率不超过 0 .1 0 0 的前提下认为“对激素敏感与性别无关” ; C.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别有关” ; D.有 95 0 0 以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” ; 10.设 U 为全集,对集合 X 、 Y ,定义运算“ ? ” ,满足 X ? Y ? ( C U X ) ? Y ,则对于任 意集合 X 、 Y 、 Z ,则 X ? (Y ? Z ) ? ( A . ( X ? Y ) ? (CU Z ) D. ( C U X ) ? ( C U Y ) ? Z
高三理科数学试题第 7 页(共 12 页)

) D C . [( C U X ) ? ( C U Y )] ? Z

B . ( X ? Y ) ? (CU Z )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.在△ABC 中, a ? 5 , b ? 6 , c ? 7 ,则 cos C ? . 1/5

12. 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,
2

那么双曲线的焦点坐标为______;渐近线方程为_______. ( ? 2, 0) , 3 x ? y ? 0 13. 不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是
2

.(-1,3)

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的距离是_____________;1 15. (几何证明选讲选做题) 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的 中 点 , AE 交 BC 于 F , 则
BF FC ?

A D C

.

1 2

E B F

高三理科数学试题第 8 页(共 12 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x ) ?
1 ? sin 2 x co s x


4 3

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)设 ? 是第二象限的角,且 tan ? = ? 16.解:(1)由 cos x ? 0 得 x ? k ? ?
?
2

,求 f (? ) 的值.

(k∈Z), ?3 分
?
2

故 f ( x ) 的定义域为{|x| x ? k ? ? (2)由 tan ? = ?
4 3

,k∈Z}?5 分
2

,得

sin ? cos ?

? ?

4 3

,而 sin ? ? cos ? ? 1
2

且α 是第二象限的角, 解得 sin ? =

4 5

, cos ? = ?
4 5 ? 3 5 ? (? 3 5 )

3 5

,?9 分

故 f (? ) =

1 ? sin 2? cos ?

=

1 ? 2 sin ? co s ? co s ?

1? 2?

=

=?

49 15

.?12 分

17. (本小题满分 12 分) 一个盒子中装有标号为 1,2,3,4 的 4 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件 求两张标签上的数字为相邻整数的概率: (1) 标签的选取是无放回的; (2) 标签的选取是有放回的. 17.解: (1) 无放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1, 4}, {2,3},{2,4}, {3,4},总数为 2×6 个 ??3 分 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为 2×3 个 ??5 分 ∴P=
6 12 ? 1 2



??6 分

(2) 有放回地从 4 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1,2},{1,3},{1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4},和(1,1)(2,2)(3,3)(4,4) , , , ,总数为 2×6+4=16 个??9 分 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2},{2,3},{3,4}总数为 2×3 个 ??11 分 P=
6 16 ? 3 8

ks5u ??12 分

18.(本小题满分 14 分) 如 图 1, 在 直 角 梯 形 A B C D 中 , ? A D C ? 90 ? , C D / / A B , A B ? 2, A D ? C D ? 1 . 将
? A D C 沿 A C 折起,使平面 AD C ? 平面 A B C ,得到几何体 D ? A B C ,如图 2 所示.

(1) 求证: B C ? 平面 A C D ; (2) 求几何体 D ? A B C 的体积. D C

D

C

A 图1

B

A 图2

B

18. 解:(Ⅰ)在图 1 中,可得 A C ? B C ?

2 ,从而 A C ? B C
2

2

? A B ,故 A C ? B C
2

取 A C 中点 O 连结 D O ,则 D O ? A C ,又面 A D C ? 面 A B C , 面 A D C ? 面 A B C ? A C , D O ? 面 A C D ,从而 O D ? 平面 A B C , ∴ OD ? BC 又 AC ? BC , AC ? OD ? O , ∴ B C ? 平面 A C D
2 2 2

……4 分

……8 分

另解:在图 1 中,可得 A C ? B C ? 2 ,从而 A C ? B C ? A B ,故 A C ? B C ∵面 ACD ? 面 A B C ,面 ACD ? 面 A B C ? A C , B C ? 面 A B C ,从而 B C ? 平面 A C D (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知 B C 为三棱锥 B ? A C D 的高. B C ? 所以 V B ? A C D ?
1 3 Sh ? 1 3 ? 1 2 ? 2 ? 2 6

2 , S ? ACD ?

1 2

……11 分 ……13 分

由等积性可知几何体 D ? A B C 的体积为

2 6

……14 分

19.(本小题满分 14 分) 已知,圆 C: x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2 a ? 0 .
2 2

(1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程. 19.解:将圆 C 的方程 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x ? ( y ? 4 ) ? 4 , 则此圆的圆心为(0 , 4) ,半径为 2. ???????????2 分
2 2 2 2

(1) 若直线 l 与圆 C 相切,则有 解得 a ? ?
3 4

| 4 ? 2a | a
2

? 2.

?????????????????4

分 分

?1

.

??????????????????????????????????????6 ???7

(2) 解法一:过圆心 C 作 CD⊥AB, 则根据题意和圆的性质,得
| 4 ? 2a | ? , ? CD ? 2 a ?1 ? ? 2 2 ? CD ? DA ? AC ? 1 ? DA ? AB ? 2 . 2 ? ?



2

? 2 ,
2

?????????????????????????????10



解得 a ? ? 7 , ? 1 .

????????????????????????????????????12



(解法二:联立方程 ?
2 2 2

? ax ? y ? 2 a ? 0 , ?x ? y
2 2

? 8 y ? 12 ? 0
2

并消去 y ,得

( a ? 1) x ? 4 ( a ? 2 ) x ? 4 ( a ? 4 a ? 3 ) ? 0 .
2

设此方程的两根分别为 x 1 、 x 2 ,则用 AB ? 2 2 ? 求出 a.) ∴直线 l 的方程是 7 x ? y ? 14 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 .

(a

2

? 1)[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] 即可
2

???????????????14



20.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x ) ? a ?
b 2
x

?1

( a ? R , b ? 0 且 b ? 1)

(1)判断函数的单调性并证明; (2)是否存在实数 a 使函数 f (x)为奇函数?并说明理由。 20.解:(1)函数 f (x)的定义域是 R 证明:设 x1 < x2 ; f (x1) – f (x2) = a?
2 b
x1

??2 分

?1

?( a?
b
x1

2
x2

?1

)=
(b
x1

2 (b
x1

x1

?b

x2

) ? 1)

? 1)( b
x2

x2

当 b ? 1时

? x1<x2

? b

?b

x2

得b ? b

<0

得 f (x1) – f (x2) < 0 所以 f (x1) < f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调增函数;

??6 分

当 0 ? b ? 1时 ? x1<x2 ? b ? b
x1

x2

得b ? b
x1

x2

?0

得 f (x1) – f (x2) ? 0 所以 f (x1) ? f (x2) 故此时函数 f (x)在 R 上是单调减函数 注:用求导法也可证明。 (2) f (x)的定义域是 R, 由 f (0) ? 0 ,求得 a ? 1 .
2 b
?x

??10 分

?11 分
b b
?x ?x

当 a ? 1 时, f ( ? x ) ? 1 ?

?1

?

?1 ?1

?

1? b 1? b

x x

, f (x) ? 1 ?

2 b ?1
x

?

b ?1
x

b ?1
x



满足条件 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,故 a ? 1 时函数 f (x)为奇函数 21.(本小题满分 14 分)

?14 分

已知 a1 ? 1 ,点 ( a n, a n ? 1 ?2) 在函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的图象上,其中 n ? 1, 2, 3, 4, ? ? ?
2

(1)证明:数列 {lg( a n ? 2)} 是等比数列;ks5u (2)设数列 { a n ? 2} 的前 n 项积为 T n ,求 T n 及数列 { a n } 的通项公式;

(3)已知 b n 是
3 8 1 2

1 an ? 1



1 an ? 3

的等差中项,数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ,求证:

? Sn ?


2 2

21.解: (1)证明:由已知 a n ? 1 ? 2 ? a n ? 4 a n ? 4 ,∴ a n ? 1 ? 2 ? ( a n ? 2 )

?2 分 ?4 分 ?5 分

∵ a1 ? 1 ? a n ? 2 ? 1 ,两边取对数,得 lg( a n ? 1 ? 2) ? 2 lg( a n ? 2) ∴ {lg( a n ? 2)} 是等比数列,公比为 2,首项为 lg ( a1 ? 2 ) ? lg 3 (2)由(1)得 lg ( a n ? 2 ) ? 2
n ?1

lg 3 ? lg 3

2

n ?1

,∴ a n ? 3

2

n ?1

?2

?6 分

∵ lg T n ? lg[( a1 ? 2)( a 2 ? 2) ? ? ? ( a n ? 2)] ? lg( a1 ? 2) ? lg( a 2 ? 2) ? ? ? ? ? lg( a n ? 2)
? ( 2 ? 1) lg 3
n

2 ?1
2 ?1
n

? lg 3

2 ?1

n

?8 分

∴ Tn ? 3 (3)∵ b n ?

?9 分
1 1 an ? 3 1 1
n ?1

1

2 an ? 1

(

?

)?

2 32

(

?1

? 3

1
2
n ?1

?1

) ?

3 3
2

2
n

n ?1

?1

? 3

1
2
n ?1

?1

? 3

1
2
n

?1

?

1 an ? 1

?

1 a n ?1 ? 1
1 1 ?

?11 分 ks5u

(另法: b n ?

2 an ? 1 1

(

1 an ? 3 ?

)?

1 an ? 1 ?

?

1

2 an ? 1 ?

(

1

?

1 an ? 3 1 ?

)

?

1 an ? 1

?

1 an ? 1
?

1 an ? 4an ? 3
2

1 a n ?1 ? 1
1

( a n ? 1)( a n ? 3)

an ? 1
1



∴ S n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? (

1 a1 ? 1

1 a2 ? 1

)?(

1 a2 ? 1

?

a3 ? 1

) ? ??? ? (

an ? 1

?

1 a n ?1 ? 1

)

?

1 a1 ? 1

?

1 a n ?1 ? 1

?

1 2

? 3

1
2
n

?1

ks5u

?12 分

显然 b n ? 0 ,∴ S n ? S 1 ? 又 Sn ?
1 2 ? 3 1
2
n

3 8
1 2

?1

?

1 2

,∴

3 8

? Sn ?

?14 分


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