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高考中常见数列通项公式的几种求解方法


高考中常见数列通项公式的几种求解方法
摘要:求解数列的通项公式乃高考中常见的热门问题,本文将求数列通项的各种常见题型 及解决方法作一系统总结,以期对各位同行的高考复习准备工作起到一定的帮助作用. 关键词:数列 递推关系 通项公式 一、观察法 例 1、根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: 1 4 9 16 (1)9,99,999,9999,…; (2) 1 , 2

, 3 , 4 ,? 2 5 10 17 2 1 2 1 2 3 4 (3) 1, (4) , ? , , , ,? ; , ? ,? . 3 2 5 2 3 4 5 解: (1)变形为:101-1,102―1,103―1,104―1,…… ∴通项公式为: an ? 10n ?1 ; (2) an ? n ?
2 n2 ; (3) an ? ; 2 n ?1 n ?1

(4) an ? (?1) n ?1 ?

n . n ?1

解答此类题目关键是观察各项的特点,找出各项与项数 n 的规律性关系. 二、直接法 如果已知数列为等差(或等比)数列,可直接根据所给条件求得 a1 , d (或 q ) ,从而依据 等差(或等比)数列的通项公式写出所求通项. 例 2 09 年全国二文 17) ( 已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 Sn . 分析:该题虽是求前 n 项和,但求之前必须先求得通项 an 的要素 a1 和 d ,所以本题其实质 是求通项公式.

?(a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) ? ?16 ?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则 ? 即? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?a1 ? ?4d ?a ? ?8, ? a1 ? 8, 解得 ? 1 或? . d ? 2, ? d ? ?2 ?
因此 Sn ? ?8n ? n(n ?1) ? n(n ? 9) ,或 Sn ? 8n ? n(n ?1) ? ?n(n ? 9) 三、公式法 若已知数列的前 n 项和 Sn 关于 n 的表达式或者与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式
?S n ???? n ? 1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ? n ? 2 求解.

例 3(09 年安徽文 19)已知数列{ an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 2n ,数列{ bn }的前 n 项和

Tn ? 2 ? bn .
1

(1)求数列{ an }与{ bn }的通项公式. 解析:(1)由于 a1 ? s1 ? 4 ; 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ,且 n ? 1 时亦成立, ∴ an ? 4n(n ? N * ) . 又当 n ? 2 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? bn ) ? (2 ? bn?1 ) ?2bn ? bn?1 ,∴数列 ?bn ? 为等比数列,其首项为 1,公
1 1 ,? bn ? ( ) n ?1 . 2 2 注意要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一. 从此题的解决办法中我们可以发现如下的规律: “遇和作差,遇积作商” .下面举两例予以 说明:

比为

例 4.在数列 ?an ? 中, a1 +2 a2 +3 a3 +…+ nan = n(n ? 1)(n ? 2) ,求 an . 解析:令 S n = a1 +2 a2 +3 a3 +…+ nan = n(n ? 1)(n ? 2) , 则 S n?1 = a1 +2 a2 +3 a3 + … + (n ? 1)an?1 = (n ? 1)n(n ? 1) , 则 S n - S n?1 = nan = n(n ? 1)(n ? 2) -

(n ? 1)n(n ? 1) ,∴

an = (n ? 1)(n ? 2) - (n ? 1)(n ? 1) = 3n ? 3 .

例 5.数列{ an }中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 a1a2a3 ?an ? n2 , 求 an . 解析: 由已知 a1a2a3 ?an ? n2 得 an ?
,n ? 1, ?1 ? 不适合此式,所以 an ? ? n 2 . ? (n ? 1) 2 , n ? 2 ?

a1a2 a3 ? an n2 ( n ? 2 ,n ? N * ) .由于 a1 ? 1 ? a1a2 a3 ? an?1 (n ? 1)2

四、累加(乘)法 对于形如 an?1 ? an ? f (n) 型或形如 an?1 ? an f (n) 型的数列, 我们可以根据递推公式, 写出 n 从 1 取到 n ? 1 时的 n ? 1 个递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘) ,即可得到所求通项公式. 1 n ?1 例 6(09 年全国卷一理 20)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? n . n 2 a (1)设 bn ? n ,求数列 {bn } 的通项公式. n a a 1 1 解析: (1)由已知可得 n ?1 ? n ? n ? bn ?1 ? bn ? n 故 n ?1 n 2 2 1 1 1 1 b2 ? b1 ? , b3 ? b2 ? 2 , b4 ? b3 ? 3 , … , bn ? bn ?1 ? n ?1 , 将 以 上 n ? 1 式 子 相 加 便 得 2 2 2 2

2

1 1 [1 ? ( )n?1 ] 1 1 1 1 1 1 2 ? bn ? b1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2 ? 1 ? ( ) n?1 ,又可得 b1 ? 1 ,故 bn ? 2 ? n ?1 . 1 2 2 2 2 2 2 1? 2
例 7.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2 n an ( n ? N * ) ,求通项 an . 解析:由已知

an?1 a a a ? 2 n , n ? 2 n?1 , n?1 ? 2 n?2 ,…, 2 ? 2 ,又 a1 ? 1 , an an?1 an?2 a1

n ( n ?1) a n a n ?1 a2 n ?1 n ?2 所以 an = ? a1 = 2 ? 2 ? … ? 2 ? 1 = 2 2 . ? ?… a n ?1 a n ? 2 a1

五、辅助数列法 有些数列本身并不是等差或等比数列, 但可以经过适当的变形, 构造出一个新的等差或等比 数列,从而利用这个新数列求其通项公式. 【类型一】二元线性常系数递推 an?1 ? pan ? q 解决原理:设 an?1 ? t ? p(an ? t ) ①则 an?1 ? pan ? t (1 ? p)
? q ? t (1 ? p) ? t ? q q q ? p(an ? ), 代入①便得 an ?1 ? (1 ? p) 1? p 1? p

令 bn ? an ?

q q 则 bn?1 ? pbn ,故 {bn } 为以 p 为公比, b1 ? r ? 为首项的等比数列. 1? p 1? p
3 ? an ?1 , n ? 2,3, 4,? . 2

例 8(07 年全国卷二理 21)设数列{an}的首项 a1 ? (0,1) , an ?

(1)求{an}的通项公式. 3 ? an ?1 1 3 1 1 3 解析: (1)由 an ? 得 an ? ? an ?1 ? ,设 an ? t ? ? (an ?1 ? t ) 即 an ? ? an ?1 ? t 对比 2 2 2 2 2 2 1 1 an ? ? an ?1 ? 3 得 t ? 1 ,又 a1 ? 2 ? 0 ,所以 {an ?1} 是首项为 a1 ? 1,公比为 ? 的等比数列,得 2 2

? 1? 1 an ? 1 ? (a1 ? 1) ? (? ) n ?1 ∴ an ? 1 ? (a1 ? 1) ? ? ? 2 ? 2?
【类型二】分式线性递推 an ?1 ?
a ? an ? b an ? c

n ?1



解决原理:将 an ?1 ?

a ? an ? b a ?p a ?p 转化为 n?1 的形式,由 a 、 b 、 c 求出待定系数 p 、 ?r n an ? c an?1 ? q an ? q

q 、 r ,便可转化为等比数列.

例 9(08 年陕西理 22)已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3 3an 2, , an ?1 ? , n ? 1, ? . 5 2an ? 1
3

(1)求 {an } 的通项公式. 解法 1)设
an?1 ? p a ?p 化简得 (r ?1)an?1an ? (rp ? q)an?1 ? (rq ? p)an ? pq(r ?1) ? 0 ?r n an?1 ? q an ? q

即 an ?1an ?

1 3 (rp ? q) (rq ? p) an ?1 ? an ? pq ? 0 ,与已知等式 an ?1an ? an ?1 ? an ? 0 比较得: 2 2 (r ? 1) (r ? 1)

? rp ? q 1 ? r ?1 ? 2 ?q ? 0 ?p ? 0 ? ? 1 3 a a a ? rq ? p ? ? ? ? ,解得 ? r ? 3 或 ?r ? .不妨取第一组代入,原式为 n?1 ? 3 n ,故 { n } ? 2 an?1 ? 1 an ? 1 an ? 1 3 ? q ? ?1 ? ? r ?1 ? ? pq ? 0 ? p ? ?1 ? ? ?

为公比为 3,首项为
3n . 2 ? 3n

a a1 3 3 ? ? 的等比数列,所以 n ? ? ? 3n?1 , a1 ? 1 2 an ? 1 2

∴ an ?

另外注意到此题中常数 b 为 0 ,故又可考虑用以下的方法求解: 解法 2)将 an ?1 ?
3an 1 化为 2an?1an ? an?1 ? 3an ? 0 ,两边同乘以 , 2an ? 1 an an ?1

便得 2 ?

1 2 1 1 1 1 1 2 1 ?3 ? 0 ,即 ? ? ? ,令 ? bn 得 bn ?1 ? ? bn ? .到此再用类型一的方法 3 3 an an?1 an?1 3 a n 3 an

处理即可. 【类型三】 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 0 且 p ? 1 )型递推 解决原理:两边同乘以
a a 1 f ( n) 得 nn?11 ? nn ? n ?1 n ?1 ? p p p p

令 bn ? 数列.

an f ( n) f (n) 则 bn ?1 ? bn ? n ?1 ,到这儿就可以用累加法解决,但若 n ?1 为常数则直接转化为等差 n p p p

1 例 10(09 年湖北理 19)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数) . 2

(1)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式.
1 1 解析: (1)在 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 2 2 1 n?2 1 n ?1 ? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( ) ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) , 2 2
4

1 n ?1 1 1 n n n n?1 ∴ 2an ? an ?1 ? ( ) , an ? an ?1 ? ( ) ,两边同乘以 2 得 2 an ? 2 an?1 ? 1 2 2 2

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 ?bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ,∴ 2n an ? n ,∴ an ?
n . 2n

1 这里由 2an ? an ?1 ? ( )n ?1 求解 an 的过程中就用到了 an?1 ? pan ? f (n) 型递推通项的求 2

解方

法. 【类型四】三元线性齐次中项拆析递推 an?1 ? pan ? qan?1 ( p ? 0 且 q ? 0 ) 解决原理:设 an?1 ? ? an ? ? (an ? ? an?1 ) 则 an?1 ? (? ? ? )an ? ?? an?1

?? ? ? ? p ∴? ,利用“构造一元二次方程法”解出 ? , ? 后,便得 {an ? ? an?1} 是以 ? 为公比的等比 ??? ? ?q
数列. 例 11(全国卷二理 19)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 . (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式. 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2 , a2 ? 3a1 ? 2 ? 5 , ∴ b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 . 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ..①, . 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ..② .

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,设 an?1 ? ? an ? ? (an ? ? an?1 ) 即 an?1 ? (? ? ? )an ? ?? an?1 对比

?? ? ? ? 4 ?? ? 2 解得 ? .∴ an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) . an?1 ? 4an ? 4an?1 可得 ? ??? ? 4 ?? ? 2
又?bn ? an?1 ? 2an ,∴ bn ? 2bn?1 ,∴{ bn }是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (2)由上可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,到此本问题就可以用类型三的方法解决:
a a a 1 3 1 3 得: n ?1 ? n ? .∴数列{ n }是首项为 ,公差为 n ?1 n n?1 n 2 2 4 2 4 2 2 a 1 3 3 1 的等差数列.∴ n ? ? (n ? 1) ? ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 . n 2 2 4 4 4 该题(1)问中用了三元线性齐次中项拆析递推的处理方法,得以使这类问题的解答据规律

在 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 两边同乘以

性.另外注意到由 an?1 ? 4an ? 4an?1 求解 an 的过程中,构造方程所得两组解相同,故只能按类型
5

三或累加(不一定都适用)的方法求解 an .但若是两组解不同,有没有其他的解决方法呢?下 面再看一例:
a 例 12(09 年陕西文 21)已知数列 ?an } 满足, a1=1’ 2 ? 2, an+2= an ? an ?1 ,n? N*. 2

(1)令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列; (2)求 ?an } 的通项公式. (1)证明:设 an?2 ? ? an?1 ? ? (an?1 ? ? an ) 即 an?2 ? (? ? ? )an?1 ? ?? an 对比 an ? 2 ?
1 1 an ?1 ? an 可 2 2

1 ? 1 ?? ? 1 ? ?? ? ? ? 2 1 ? ?? ? ? ? 得? 解得 ? 2或? 1 .取第二组解便得 an ? 2 ? an ?1 ? ? (an ?1 ? an ) ,即 2 ??? ? ? 1 ?? ? 1 ?? ? ? 2 ? ? ? ? 2
1 1 bn ?1 ? ? bn .∴ {bn } 是以 1 为首项, ? 为公比的等比数列. 2 2 1 (2)由(1)知 an ?1 ? an ? (? ) n ?1 ..①,若再取第一组解又可同样得到 . 2 1 5 5 3 5 1 5 2 1 an ?1 ? an ? ?1n ?1 ? ..②,②-①得 an ? ? (? ) n ?1 , an ? ? (? )n ?1 . . 2 2 2 2 2 2 3 3 2 另外(2)问还可以用累加法求解,具体过程不再详述.

6


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